Ряд распределения

xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
pi	0.01	0.01	0.01	0.01	0.01	0.02	0.03	0.04	0.08	0.7	0.08

Для непрерывных случайных величин создание таблицы ряда распределения невозможно, т. к. она должна содержать бесконечное число столбцов.

Некоторым аналогом многоугольника распределения можно считать кривуюплотности распределения.

Вероятность попадания случайной величины Х в сегмент [a,b] равна площади желтой криволинейной трапеции.

3. Числовые характеристики случайных величин

   1. Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

М[X] = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n = ∑ x_ip_i

Д

+∞

ля непрерывной случайной величины суммирование должно быть заменено интегрированием.

М

-∞

[X] =∫ x f(x) dx

Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины.

Эта характеристика указывает некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируется большая часть всех возможных значений случайной величины.

2. Мода

Определение. Модой случайной величины ( Mо ) называется ее наиболее вероятное значение.

Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к дискретным величинам. Для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна.

3. Медиана

Определение. Медианой случайной величины называется такое ее значение Me, для которого

Р(Х<Me ) = Р(Х>Me ),

т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me.

Для непрерывной случайной величины медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Определение Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Обозначим: m_x= M(X).

Тогда дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

D[X] = ∑ (x_i – m_x)² p_i

Д

+∞

ля непрерывной случайной величины формула вычисления дисперсии примет вид :

D

-∞

[X] = ∫ (x – m_x)² f(x)dx

Определение Величина, полученная извлечением из дисперсии квадратного корня, называется средним квадратическим отклонением.

σ[X]= ÖD[X]

4. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

f(x)= e

где m_x – математическое ожидание случайной величины, а σ – ее среднее квадратическое отклонение.

Для случайной величины, имеющей нормальный закон распределения справедливы следующие оценки:

• вероятность попадания в интервал [- σ, σ] » 0,68 ;

• вероятность попадания в интервал [- 3 σ, 3 σ] » 0,999.

2. Элементы математической статистики

   1. Предмет и задачи математической статистики

Определение Предмет математической статистики составляет разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.

Определение Под статистическими данными понимается некоторая совокупность чисел, представляющих собой количественные характеристики изучаемых процессов и явлений.

Задачи математической статистики:

• определение закона распределения случайной величины;

• проверка правдоподобия гипотез о распределении случайной величины;

• нахождение неизвестных параметров распределения.

2. Основные понятия математической статистики

Определение Генеральной совокупностью называется множество числовых значений рассматриваемой количественной характеристики всех исследуемых объектов.

Определение Выборочной совокупностью (или просто выборкой) называется множество числовых значений рассматриваемой количественной характеристики для объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Так, например, при исследовании IQ студентов 1-го курса очного отделения юридического факультета генеральной совокупностью является весь списочный состав, а выборочной совокупностью будет совокупность студентов, отобранных для исследования.

Определение Выборка репрезентативна (представительна), если она достаточно полно представляет изучаемые характеристики генеральной совокупности.