Системный анализ / Лекции / 1 Методология системного анализа

является целью ее моделирования. В процессе создания модели ее соответствие системе искусственно уменьшается. Соответствие нарушается из-за выбранного уровня отображения системы и ее окружающей среды, режимов функционирования, исключения тех или других параметров, пренебрежения некоторыми случайными факторами. Отсутствие точных сведений о внешних воздействиях, особенностях структуры и алгоритмов функционирования системы, принятые приближения, предположения и гипотезы тоже ведут к уменьшению соответствия между моделью и системой. Перечисленные и другие факторы могут стать причиной того, что точность результатов моделирования будет весьма низкой.

Естественным простейшим показателем точности модели может служить разность некоторой характеристики y0 системы-оригинала и со-

ответствующей характеристики ym модели:

y = y0 − ym

или, что лучше, отношение этой разности к характеристике системыоригинала

y = y0 − ym y0 .

Тогда можно считать, что модель адекватна системе и имеет удовлетворительную точность, если вероятность того, что отношение y не пре-

вышает предельной величины , не меньше допустимой вероятности P :

P( y ≤ ) ≥ P .

Однако практическое использование данного критерия адекватности и точности модели часто невозможно по следующим причинам. Вопервых, для проектируемых или модернизируемых систем отсутствует информация о значении характеристики y0 . А моделируются, как правило,

именно такие системы. Можно сравнивать характеристики модели и некоторой системы-аналога, но тогда будет одинаковая степень недоверия к этим характеристикам. Во-вторых, система оценивается не по одной, а по множеству характеристик, у которых могут быть разные значения разностей соответствующих характеристик. В-третьих, характеристики могут быть случайными величинами и функциями. Для стохастических систем может оказаться, что характеристики, полученные на модели с высокой точностью, более точны, чем соответствующие характеристики, вычисленные по результатам измерений на реальной системе. Это объясняется тем, что результаты моделирования могут определяться по выборкам большего объема, чем при измерениях реальной системы. В-четвертых, отсутствует

65

Тем не менее, проверять адекватность и точность модели необходимо, так как по неверным результатам моделирования могут быть приняты ошибочные решения. На практике оценка адекватности и точности модели обычно проводится путем экспертного анализа разумности результатов моделирования. Можно выделить следующие виды проверок:

– проверка моделей элементов (в сомнительных случаях следует детализировать элемент или провести дополнительный анализ);

–проверка модели окружающей среды (используемые предположения, приближения и гипотезы необходимо оценить математическими методами);

–проверка концептуальной модели системы (выявляются ошибки постановки задачи);

–проверка математической модели;

–проверка способов измерения и вычисления выходных характеристик (выявляются ошибки решения);

–проверка программной реализации модели (анализируется соответствие программ и алгоритмов математической или имитационной модели, проводятся контрольные эксперименты при типовых и предельных значениях переменных, выявляются ошибки программирования).

Если по результатам проверки адекватности и точности модели выявляется недопустимое несоответствие модели и системы, возникает необходимость в корректировке модели. При этом могут быть выделены следующие типы изменений: глобальные, локальные и параметрические.

Необходимость в глобальных изменениях возникает в случае обнаружения методических ошибок в концептуальной или математической модели. Устранение таких ошибок приводит к разработке новой модели. Локальные изменения связаны с уточнением некоторых параметров или алгоритмов. Они выполняются, например, путем замены моделей компонентов системы и внешних воздействий на эквивалентные, но более точные модели. Локальные изменения требуют частичного изменения математической модели, но могут привести к необходимости разработки новой программной реализации. К параметрическим относятся изменения некоторых специальных параметров, называемых калибровочными. Для обеспечения возможности повышения адекватности и точности модели путем параметрических изменений следует заранее определить калибровочные параметры и предусмотреть простые способы варьирования ими. Стратегия корректировки модели должна быть направлена на первоочередную реализацию глобальных изменений, затем – локальных и, наконец, параметриче-

66

ских изменений. Для выработки тактики параметрических изменений большое значение имеет анализ чувствительности модели к вариациям ее параметров.

Завершается этап проверки адекватности, точности и корректировки модели определением и фиксацией области применимости модели. Под областью применимости понимается множество условий, при соблюдении которых точность результатов моделирования находится в допустимых пределах.

5.5. Анализ результатов моделирования

При имитационном моделировании стохастической системы в ходе эксперимента с имитационной моделью измеряются множества значений каждой выходной характеристики. Эти выборки необходимо обрабатывать для удобства последующего анализа и использования. Поскольку выходные характеристики часто являются случайными величинами или функциями, обработка заключается в вычислении оценок математических ожиданий, дисперсий и ковариаций. Оценки, полученные в результате статистической обработки измерений, должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Для того чтобы исключить необходимость хранения всех измерений, обработку проводят по рекуррентным формулам и оценки вычисляют в процессе эксперимента методом нарастающего итога по мере появления новых измерений.

Для стохастических характеристик можно построить гистограмму – эмпирическую плотность распределения. С этой целью область предполагаемых значений характеристики разбивается на интервалы. В ходе эксперимента определяют число попаданий выборочных значений характеристики в каждый интервал и подсчитывают объем выборки. После завершения эксперимента для каждого интервала вычисляют отношение числа попаданий в этот интервал выборочных значений характеристики к объему выборки и длине интервала. Для построенной гистограммы можно попытаться подобрать теоретический закон распределения.

Если искомая характеристика является стационарной случайной функцией времени, то для ее оценки вычисление среднего по времени заменяется вычислением среднего по множеству измерений при одном достаточно продолжительном эксперименте.

Для стохастических нестационарных характеристик период моделирования разбивается на отрезки фиксированной длительности (этапы), и запоминаются значения характеристики в конце каждого этапа. Проводится серия экспериментов с разными последовательностями случайных па-

67

раметров модели. Затем измерения каждого этапа обрабатываются как при оценке случайных величин. Процессы обработки результатов эксперимента с имитационной моделью направлены на получение интегральных характеристик, т. е. на сжатие данных.

По результатам имитационного моделирования стохастической системы может быть проведен анализ зависимости характеристик от параметров системы и внешних воздействий. Для этого можно воспользоваться методами корреляционного, дисперсионного или регрессионного анализа.

С помощью корреляционного анализа можно установить наличие связи между двумя или более случайными величинами. Характеристикой связи служит коэффициент корреляции, который характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость между величинами. Коэффициент корреляции, равный единице по абсолютной величине, свидетельствует о наличии функциональной нестохастической линейной связи между анализируемыми величинами. Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин.

Дисперсионный анализ можно использовать для установления относительного влияния различных факторов на значения выходных характеристик. При этом общая дисперсия характеристики разлагается на компоненты, соответствующие рассматриваемым факторам. По значениям отдельных компонент делают вывод о степени влияния того или иного фактора на анализируемую характеристику.

Когда все факторы в эксперименте являются количественными, можно найти аналитическую зависимость между характеристиками и факторами. Для этого используются методы регрессионного анализа. Найденная зависимость называется эмпирической моделью. Регрессионный анализ заключается в том, что выбирается вид соотношения между зависимыми и независимыми переменными, по экспериментальным данным вычисляются параметры выбранной зависимости и оценивается качество аппроксимации этой моделью экспериментальных данных. Если качество неудовлетворительное, берется зависимость другого вида, и процедура повторяется.

К анализу результатов моделирования можно отнести задачу анализа чувствительности системы к вариациям ее параметров. Под анализом чувствительности понимают проверку устойчивости характеристик функционирования системы к возможным отклонениям значений параметров.

Анализ результатов моделирования позволяет уточнить множество существенных параметров модели, что может привести к значительному изменению первоначального содержания концептуальной модели; найти функциональные зависимости характеристик и параметров, что иногда да-

68

ет возможность построить эффективные аналитические модели системы, или определить весовые коэффициенты критерия эффективности.

5.6. Оптимизация систем

Результаты моделирования, в конечном счете, используются для оценки качества работы системы, для выбора лучшего проектного варианта или для оптимизации системы. Оценка качества работы определяется тем, выходят или не выходят характеристики системы за установленные границы при любых допустимых изменениях параметров. При выборе лучшего варианта из всех вариантов выбирается тот, у которого экстремальное значение критерия эффективности. Наиболее общей и сложной является оптимизация системы: требуется найти такое сочетание значений переменных параметров системы и рабочей нагрузки из множества допустимых, которое максимизирует (минимизирует) значение критерия эффективности:

Eopt = MAX(MIN)E ( y)

при соблюдении ограничений на все n характеристик

yiMIN ≤ yi ≤ yiMAX , i = 1,K, n .

Если выходная характеристика yi является случайной величиной с плотностью распределения f ( x) , целесообразно ввести в задачу оптимизации стохастическое ограничение следующего вида:

yiMAX

P( yiMIN ≤ yi ≤ yiMAX ) = ∫ f ( x)dx ≥ βi ,

yiMIN

где β i – минимально допустимая вероятность того, что конкретные значе-

ния yi не выйдут за пределы заданного интервала.

Для нестационарных систем выходная характеристика yi часто явля-

ется случайной функцией с плотностью распределения f ( x, t) , зависящей от времени. В этом случае можно задать ограничение следующим образом:

69

где T – длительность анализируемого периода функционирования системы.

Приведенная постановка задачи оптимизации стохастических систем допускает выход за установленные пределы не только отдельных значений характеристики yi , но и ее математического ожидания M [ yi , t ] в пиковые моменты даже при величинах β i , близких к единице.

При имитационном моделировании вычисление приведенного двойного интеграла, которое часто оказывается невыполнимой задачей в случае использования других методов исследования, сводится к вероятностной оценке, которая выполняется путем подсчета числа выборочных значений величины yi , не выходящих за допустимые значения, и его деления на объем выборки за время эксперимента Tm .

В случае большого числа сочетаний независимых переменных поиск оптимального варианта требует использования специальных процедур, например, методов математического программирования, в частности, метода наискорейшего спуска и др. Значительно сократить затраты машинного времени на моделирование позволяет проведение зависимых экспериментов. Применение этих методов следует учитывать на этапе планирования экспериментов.

После создания или модификации моделируемой системы целесообразна апостериорная проверка результатов моделирования их сравнением с результатами измерения характеристик системы при ее функционировании. Такая проверка обеспечивает возможность уточнения модели. Наличие модели действующей системы дает возможность прогнозирования качества ее функционирования при развитии системы или изменении внешних воздействий.

Понятие оптимальности получило строгое и точное определение в математике, прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации технических систем, сыграло важную роль в формировании современных системных представлений, широко используется в административной и общественной практике, стало понятием, известным почти каждому человеку. Стремление к повышению эффективности любой целенаправленной деятельности нашло свое выражение в идее оптимальности.

Нахождение оптимальных вариантов особенно важно для оценки состояния любой системы и определения перспектив ее дальнейшего развития. Знание параметров оптимального варианта позволяет получить представление о предельных возможностях системы; сравнение с этими параметрами часто помогает решить вопрос о целесообразности дальнейших усилий по улучшению того или иного показателя качества функционирования системы. Часто оказывается, что в результате оптимизации системы

70

значение показателя качества можно повысить всего на несколько процентов; это означает, что и без оптимизации достигнутое значение уже находится в окрестности оптимума. Однако нередко оптимизация вскрывает значительные резервы улучшения: если изменение показателя качества на несколько процентов на практике трудно заметить, то изменение показателя качества на десятки процентов уже обещает существенное улучшение и является основанием для выполнения оптимизации системы. Иногда же это изменение настолько велико, что возникает вопрос о том, нет ли принципиально других путей развития системы.

При всей очевидной полезности идеи оптимизации ее практическая реализация требует соблюдения осторожности. Для такого заключения имеются достаточно веские основания.

1.Оптимальное решение может оказаться неустойчивым: незначительные на первый взгляд изменения в условиях задачи могут привести

квыбору существенно отличающихся альтернатив. В связи с этим в теории оптимизации в последнее время уделяется все большее внимание таким модификациям понятия оптимальности, которые придают решениям определенную устойчивость.

2.При оптимизации всегда предполагается, что используемые в задаче критерии достаточно хорошо отображают поставленную цель. Так как обычно рассматриваемая система является частью некоторой надсистемы, то оптимизация системы совсем не обязательно приведет к тому же результату, который потребуется от этой системы при оптимизации надсистемы. Это приводит к необходимости согласовывать критерии системы с критериями надсистемы, часто делая ненужной локальную оптимизацию системы.

3.Достижение максимума критерия оптимальности часто отождествляется с целью, что в действительности является некорректным. Фактически критерий и цель относятся друг к другу как модель и оригинал. Многие цели трудно или даже невозможно количественно описать. Однако при необходимости это делается с достаточной точностью. Количественный критерий является лишь приближенным отображением цели. Например, качество работы пожарной команды можно оценивать по скорости ее прибытия в случае вызова. Принято оценивать качество медицинского обслуживания населения по показателям детской смертности. Не только объем, но и качество работы научного сотрудника оценивается по количеству опубликованных им статей. В более сложных системах оценок о качестве научных публикаций судят по их цитируемости другими авторами. Подобные примеры можно продолжить. Общее для них сводится к тому, что критерии характеризуют цель лишь косвенно и всегда приближенно.

71

4. В понятии оптимальности важную роль играют не только критерии, но и ограничения. Даже небольшие изменения ограничений существенно сказываются на решении. Еще более сильный эффект можно получить, устраняя одни ограничения и добавляя другие. Поэтому при оптимизационном подходе к сложным системам возникает опасность, заключающаяся в том, что, не задав всех необходимых ограничений, можно одновременно с максимизацией основного критерия получить непредвиденные и нежелательные сопутствующие эффекты.

Таким образом, с позиций системного анализа отношение к оптимизации можно сформулировать следующим образом: это мощное средство повышения эффективности, но осторожность его использования должна возрастать по мере возрастания сложности проблемы.

Многие задачи анализа систем могут быть достаточно хорошо формализованы, для их решения могут быть разработаны математические модели, позволяющие ставить и решать оптимизационные задачи. Однако даже после успешного преодоления сложностей формализации задач системного анализа и разработки необходимых моделей остаются две проблемы: неустойчивость оптимальных решений, т. е. их сильная чувствительность к изменениям условий, и неоднозначность постановки многокритериальных задач. Методы решения этих проблем существенно зависят как от класса проектируемой системы, так и от содержания оптимизационной задачи.

При анализе сложных систем некоторых классов, например, организационных или социальных систем, ситуация существенно усложняется. Системы этих классов и задачи их анализа не поддаются полной формализации. Следовательно, оптимизационные задачи, которые удается поставить при их исследовании, неизбежно имеют частичный, подчиненный характер, если описывают хорошо структурированные подсистемы, либо являются заведомо приближенными, если относятся к системе в целом. Поэтому оптимизация в таких исследованиях не конечная цель, а средство, промежуточный, а иногда и начальный этап работы. Результаты оптимизации рассматриваются как предварительные, вспомогательные данные для дальнейшего анализа.

72