Системный анализ / Лекции / 1 Методология системного анализа

вании динамические процессы системы-оригинала отображаются процессами с соблюдением таких же соотношений длительностей и временных последовательностей отдельных операций и событий. Поэтому метод имитационного моделирования мог бы называться алгоритмическим или операционным. В процессе имитации, как при эксперименте с системойоригиналом, фиксируют определенные события и состояния или измеряют выходные воздействия, по которым вычисляют характеристики качества функционирования моделируемой системы. Имитационное моделирование позволяет отображать процессы, протекающие в исследуемой системе, практически на любом уровне детализации. Используя возможности вычислительных систем, в имитационной модели можно отобразить любой алгоритм управления или функционирования системы. Все это является причиной того, что методы имитационного моделирования находят все более широкое применение при исследовании сложных систем.

Методы имитационного моделирования различаются в зависимости от класса исследуемых систем, способа формирования модельного времени и типа переменных, отображающих параметры системы и внешние воздействия. В первую очередь можно разделить методы имитационного моделирования дискретных и непрерывных систем. Если все элементы системы имеют конечное или счетное множество состояний, и переход из одного состояния в другое осуществляется мгновенно, то такая система относится к системам с дискретным изменением состояний, или дискретным системам. Если состояния всех элементов системы изменяются постепенно и могут принимать несчетное множество значений, то такая система называется системой с непрерывным изменением состояний, или непрерывной системой. Системы, у которых имеются элементы того и другого типа, считаются дискретно-непрерывными. У непрерывных систем могут быть искусственно выделены определенные состояния элементов. Например, некоторые характерные значения характеристик элемента фиксируются как достижение определенных состояний.

Одним из основных параметров при имитационном моделировании является модельное время, которое отображает реальное время функционирования исследуемой системы. Методы формирования модельного времени включают метод с увеличением модельного времени на временной интервал и метод с увеличением модельного времени до момента реализации очередных событий. В первом случае модельное время увеличивается на некоторую величину t . Определяются и реализуются изменения состояний элементов и выходных воздействий модели, которые произошли за это время. После этого модельное время снова увеличивается на величину t и процедура повторяется. Так продолжается до конца периода мо-

55

делирования Tm . Шаг приращения времени t часто выбирается постоян-

ным, но в общем случае он может быть и переменным. Этот метод называют «методом малых приращений модельного времени».

Во втором случае в текущий момент модельного времени t сначала анализируются те будущие очередные события (например, поступление дискретного входного воздействия (требования), завершение обслуживания и т. п.), для которых определены моменты их реализации ti > t . Опре-

деляется наиболее раннее событие, и модельное время продвигается до момента реализации этого события. Считается, что состояние модели не изменяется между двумя последовательными событиями. Затем анализируется реакция модели на реализацию очередного события. В частности, в ходе анализа определяются моменты реализации новых очередных событий. Затем анализируются будущие очередные события, и модельное время продвигается до момента реализации ближайшего. Процедура повторяется до завершения периода моделирования Tm . Данный метод называют «ме-

тодом очередных событий». При применении этого метода существенно сокращаются затраты машинного времени на проведение на ЭВМ экспериментов с имитационными моделями. Однако он используется только тогда, когда имеется возможность определения моментов реализации будущих очередных событий.

Параметры системы и внешних воздействий могут быть детерминированными или случайными. По этому признаку различают детерминированное и вероятностное моделирование. При вероятностном моделировании для получения достоверных вероятностных характеристик процессов функционирования системы требуется многократное выполнение программы имитационной модели с различными конкретными значениями случайных факторов и статистической обработкой результатов измерений.

56

ГЛАВА 5

ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

5.1. Средства реализации моделей

После выбора метода моделирования необходимо выбрать программные средства для программной реализации модели и технические средства для проведения экспериментов с моделью. Программные и технические средства моделирования выбираются с учетом ряда критериев. Непременное условие при этом – полнота и достаточность программных средств для реализации математической или имитационной модели. Среди других критериев можно назвать наличие у исследователя информации о тех или других средствах и их доступность. Немаловажное значение имеет простота и легкость освоения программных средств моделирования, скорость и корректность создания программной реализации модели, существование методики использования средств для моделирования систем определенного класса.

Для проведения исследований методом математического моделирования к техническим средствам часто не предъявляется каких-либо особых требований, и, как правило, такими средствами являются универсальные или специализированные вычислительные системы с соответствующими характеристиками. К специальным техническим средствам математического моделирования относятся, например, аналоговые вычислительные машины, используемые, в частности, для исследования непрерывных детерминированных систем. Основными требованиями к универсальным вычислительным системам, которые используются для имитационного моделирования, является наличие оперативной памяти большого объема и высокое быстродействие. Каждый эксперимент с моделью при имитационном моделировании требует существенных затрат машинного времени, поэтому желательно использовать для моделирования высокопроизводительные вычислительные системы, в частности, супер-ЭВМ. Остальные требования к составу и техническим характеристикам универсальных вычислительных систем не являются существенными.

В качестве программных средств могут быть использованы проце- дурно-ориентированные алгоритмические языки общего назначения или специальные языки моделирования. Для программной реализации математических моделей могут использоваться алгоритмические языки общего назначения такие, как Паскаль, Си, Бейсик, Дельфи.

57

Алгоритмические языки общего назначения могут быть использованы и для разработки программ имитационных моделей. При создании имитационных моделей на этих языках возникает ряд трудностей, не типичных для практики программирования традиционных вычислительных задач и задач обработки данных. Эти трудности связаны с тремя основными особенностями алгоритмов имитационных моделей. Первой из них является наличие в моделируемых системах временных отношений между объектами и между событиями, для отображения которых в имитационных моделях в алгоритмических языках общего назначения отсутствуют необходимые языковые средства. Вторая особенность заключается в том, что алгоритмы функционирования сложных систем относятся к параллельным алгоритмам, одним из основных свойств которых является возможность выполнения более чем одного действия в каждый момент времени. Поэтому трудности разработки имитационных моделей таких систем на алгоритмических языках являются следствием того, что алгоритмические языки общего назначения ориентированы на описание чисто последовательных процессов. Программная имитация параллельных процессов при использовании языков общего назначения сводится к организации псевдопараллельного развития параллельных процессов. Третья особенность состоит в том, что в процессе имитационного моделирования необходимы сбор и обработка данных, объем которых весьма трудно оценить априорно. Это обусловлено динамическим характером имитационных моделей и их ориентацией на изучение массовых явлений в системах. Поэтому для имитационных моделей механизм динамического распределения оперативной памяти инструментальной ЭВМ имеет первостепенное значение, и этот механизм должен быть весьма эффективным в используемом алгоритмическом языке.

Достоинства применения процедурно-ориентированных языков для разработки программ имитационных моделей состоят в возможности использования стандартного программного обеспечения вычислительных систем, разработки эффективных по затратам памяти и времени выполнения программ, учета в имитационных моделях детальных особенностей функционирования моделируемых систем.

При разработке программ имитационных моделей возникают задачи, общие для широкого класса моделей: организация псевдопараллельного выполнения алгоритмов; динамическое распределение оперативной памяти инструментальной ЭВМ; операции с модельным временем, отображающим астрономическое время функционирования системы-оригинала; имитация случайных процессов; формирование и корректировка массива событий; сбор и обработка результатов моделирования. Для облегчения решения этих и других задач, возникающих при имитационном моделиро-

58

вании, разработаны специальные проблемно-ориентированные средства (системы имитационного моделирования), включающие языки моделирования с соответствующими трансляторами или интерпретаторами. Решение перечисленных выше задач осуществляется полностью или частично внутренними средствами языка моделирования.

Средства языков моделирования позволяют отображать в имитационных моделях параметры моделируемой системы и внешних воздействий, алгоритмы функционирования и управления системы, режимы и требуемые результаты моделирования. По структуре и языковым средствам языки моделирования подобны процедурно-ориентированным алгоритмическим языкам высокого уровня. Они имеют некоторый набор операторов, выполняющих заданные действия над соответствующими операндами. Но операторы языков моделирования определяют выполнение более сложных процедур, поэтому языки моделирования имеют более высокий уровень по сравнению с уровнем алгоритмических языков, что облегчает разработку программ имитационных моделей.

В настоящее время разработано и используется большое число языков моделирования, что частично обусловлено разнообразием классов моделируемых систем, методов их формализованного описания, целей и методов моделирования. По классу моделируемых систем языки разделяются на семейства, ориентированные на моделирование дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных систем. Важным классификационным признаком является также реализованный в языке алгоритмический или структурный подход к описанию процессов функционирования моделируемых систем.

После выбора языка разрабатывается программная реализация модели. Этот процесс включает разработку алгоритмов, конкретизацию форм представления входных данных и результатов, написание и отладку программы. Это важный и трудоемкий этап, но по технологии он практически не отличается от разработки других программ и поэтому детально не рассматривается.

5.2. Исходные данные для моделирования

При создании концептуальной модели определяются существенные функциональные и числовые параметры системы и окружающей среды. Для числовых параметров необходимо определить их конкретные значения, которые будут использованы в виде исходных данных при моделировании. Это трудоемкий и ответственный этап работы. Он существенно влияет на успех моделирования. Очевидно, что достоверность результатов

59

моделирования в большой степени зависит от точности и полноты исходных данных. Уже на ранней стадии создания концептуальной модели нередко выявляется набор существенных параметров, по которым сбор исходных данных можно вести параллельно с разработкой концептуальной модели. По мере уточнения концептуальной модели определяются остальные существенные параметры. Сбор исходных данных осложняется по следующим причинам. Во-первых, параметры могут быть не только детерминированными, но и стохастическими. Во-вторых, не все параметры оказываются стационарными. Особенно это относится к параметрам окружающей среды. В-третьих, как правило, речь идет о моделировании несуществующей (проектируемой, модернизируемой) системы или системы, которая должна функционировать в новых условиях.

Многие параметры являются случайными величинами. Однако в целях упрощения модели часто некоторые из них представляются детерминированными величинами, равными математическим ожиданиям этих случайных величин. Это можно делать, если случайная величина имеет небольшую дисперсию, или в случае, когда для достижения цели моделирования достаточно вести расчет по средним значениям. Например, производительность процессора может быть задана определенным числом операций, выполняемых в единицу времени. Но это число детерминировано только для определенной смеси операций, которые может выполнять процессор. Замена случайных параметров детерминированными величинами должна производиться корректно, так как она может привести к большим погрешностям моделирования.

При создании модели может иметь место и обратное явление – детерминированные параметры представляются случайными величинами. Делается это при интеграции элементов системы или внешних воздействий с целью сокращения размера модели. Например, при выполнении программы вычислительной системой обрабатывается вполне определенное число данных. При следующем выполнении этой программы может обрабатываться другое, но тоже определенное число данных. Для моделирования многократного выполнения программы можно задать всю совокупность этих чисел или заменить это множество значений случайной величиной с определенным законом распределения.

Для стохастических параметров производится сбор статистических данных (формирование выборок) и последующая их обработка. В результате обработки выявляется возможность описания параметра некоторым теоретическим законом распределения. Вопросы определения вида закона распределения детально разработаны в математической статистике. При определенных законах распределения основных параметров системы и нагрузки появляется возможность построения аналитической модели систе-

60

мы. При имитационном же моделировании может оказаться проще задать закон распределения, например, в виде таблицы.

Особую сложность представляет сбор данных по стохастическим параметрам, которые являются функциями времени. В первую очередь такие параметры характерны для окружающей среды. Пренебрежение фактами нестационарности параметров, которое часто имеет место в практике моделирования, приводит к существенному снижению точности модели.

Для каждого элемента системы существует связь между параметрами входных воздействий на этот элемент и его выходными характеристиками. Вид этой связи для одних элементов бывает очевиден, для других может быть легко выявлен, исходя из алгоритма функционирования элемента. Однако для некоторых элементов может быть получена только совокупность экспериментальных данных о числовых значениях выходных характеристик при различных значениях параметров входных воздействий. В этом случае возникает необходимость использования некоторой гипотезы о характере зависимости между выходными характеристиками и значениями входных параметров, т. е. аппроксимации этой зависимости определенным математическим выражением. Поиск математических зависимостей между двумя или более переменными по собранным опытным данным может выполняться с помощью методов регрессионного, корреляционного или дисперсионного анализа.

Предварительно для описания определенного элемента вид выражения задает исследователь. При двух переменных это делается достаточно просто по результатам сравнения графика, на который нанесены экспериментальные точки, с графиками наиболее распространенных аппроксимирующих функций, такими как прямая, парабола, гипербола, экспонента и т. д. Затем методами регрессионного анализа вычисляются константы выбранного выражения таким образом, чтобы обеспечить наилучшее приближение кривой к экспериментальным данным независимо от того, насколько хорошо выбран вид кривой. Часто приближение производится по методу наименьших квадратов. Для выяснения того, насколько точно выбранная зависимость согласуется с опытными данными, используется корреляционный анализ.

По части параметров, которые отражают новые элементы будущей системы или новые условия ее функционирования, отсутствует возможность сбора фактических данных. Для таких параметров выдвигаются гипотезы об их возможных значениях. Важно, чтобы гипотезы выдвигали эксперты-специалисты, которые достаточно хорошо представляют создаваемую систему или новую окружающую среду системы. Больший успех может быть достигнут, если представляется возможность получить сведения от группы специалистов. В этом случае можно уменьшить степень

61

субъективности и воспользоваться хорошо отработанными методиками экспертных оценок. При проведении данной работы определенные сведения можно получить в результате анализа функционирования аналогичных систем или прототипов будущей системы.

Заканчивается этап сбора и обработки исходных данных их классификацией на внешние и внутренние, постоянные и переменные, непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, детерминированные и стохастические. Для числовых параметров, значения которых может варьировать исследователь в ходе моделирования, определяются границы их изменений, а для дискретных – возможные значения.

5.3. Планирование экспериментов с моделями

Цели моделирования достигаются путем проведении экспериментов на ЭВМ с моделью системы, в результате которых определяются требуемые характеристики системы при разных значениях управляемых параметров модели. Эксперименты следует проводить по определенному плану. Особую важность приобретает планирование экспериментов при численном и имитационном моделировании, когда возможно большое число сочетаний значений управляемых параметров, а каждый эксперимент на ЭВМ проводится при определенном сочетании значений параметров. Например, при пяти управляемых параметрах, каждый из которых может иметь три значения, количество сочетаний параметров равно 243, при десяти параметрах (при пяти значениях каждого параметра) число сочетаний приближается к 10 млн. При ограниченных вычислительных и временных ресурсах обычно не представляется возможным провести все эксперименты. Возникает необходимость в выборе определенных сочетаний параметров и последовательности проведения экспериментов. Это называется стратегическим планированием.

Разработка плана начинается на ранних этапах создания модели, когда выбираются характеристики качества функционирования системы и параметры, с помощью которых предполагается влиять на функционирование системы. Эти параметры называют в теории планирования экспериментов факторами. Затем определяются возможные значения количественных параметров и варианты качественных (функциональных) параметров; их называют уровнями. При этом число сочетаний

N S = q1 × q2 × K× qk ,

62

где k – число факторов, qi – число уровней i -го фактора.

Если число факторов велико, то для проведения исследований системы используется один из методов составления плана по неполному факторному анализу. Эти методы хорошо разработаны в теории планирования экспериментов. Особую важность приобретает тщательное планирование экспериментов при исследовании нестационарных систем в связи с необходимостью существенного увеличения общего числа экспериментов.

Совокупность методов уменьшения длительности экспериментов на ЭВМ при обеспечении статистической достоверности результатов имитационного моделирования получила название тактического планирования. На длительность одного эксперимента, в частности, влияют тип моделируемой системы (система стационарная или нет), взаимные зависимости ее характеристик, начальное состояние модели и т. п.

Данные, собранные в течение эксперимента, как правило, являются выборочными значениями определенных характеристик. Множество выборочных значений характеристики y является выборкой из стохастической последовательности. Если эта последовательность стационарна, то математическое ожидание y характеристики y не зависит от времени.

Оценкой y N математического ожидания y является выборочное среднее для выборки y1 ,K, y N . Точность этой оценки возрастает с увеличением объема выборки N .

Если заданы доверительный интервал и доверительная вероятность того, что доверительный интервал будет включать математическое ожидание y исследуемой характеристики, то можно определить минимальный объем выборки для определения оценки этой характеристики с требуемой точностью. Этот объем определит минимальную длительность эксперимента. Для оценки нескольких характеристик период моделирования определяется по максимальной длительности периодов времени, необходимых для получения требуемых объемов выборок для определения оценок исследуемых характеристик.

Требуемый объем выборки существенно зависит от дисперсии оцениваемой характеристики. Чем больше дисперсия, тем больше должен быть объем выборки. Для коррелированных случайных характеристик следует оценивать дисперсии. Имеются специальные приемы обработки результатов моделирования, которые получили название методов уменьшения дисперсии. Они используют априорную информацию о системе и позволяют уменьшить размер выборки при сохранении требуемой точности оценок. К ним относятся методы коррелированных, стратифицированных выборок и др.

63

Большинство имитационных моделей используются для изучения функционирования моделируемых систем в стационарном режиме. Но в начальный период функционирования систем и соответственно выполнения их моделей обычно имеет место переходный режим эволюции систем и их моделей даже при неизменных значениях параметров входных воздействий, причем длительность переходного режима может быть значительной. Значения выходных характеристик, измеренные в переходный период, могут весьма существенно смещать их общие оценки. Существуют три основных метода уменьшения ошибки, обусловленной начальным периодом моделирования. Первый состоит в увеличении периода моделирования. С увеличением объема выборки влияние начального смещения на значение оценки уменьшается. Второй метод состоит в том, чтобы начинать сбор статистических данных не с начального момента, а по истечении некоторого времени, равного длительности переходного режима. Третий метод заключается в задании начального состояния модели при экспериментах с ней, близкого к состоянию модели, стационарная вероятность пребывания в котором является максимальной.

Первый метод приводит к увеличению длительности эксперимента и не дает гарантии существенного уменьшения ошибки. Второй метод может быть достаточно эффективным, если априорно известна даже приближенно длительность переходного режима. Третий метод можно применять при наличии информации о требуемом начальном состоянии. Такая информация может быть получена в ряде случаев на основании предварительных аналитических расчетов по упрощенным моделям. В последующих экспериментах для задания начальных состояний могут использоваться уточненные данные из предшествующих экспериментов.

Естественным способом определения характеристик нестационарных систем методом имитационного моделирования является способ повторных экспериментов. В этом случае число экспериментов с моделью на ЭВМ существенно увеличивается, что приводит к особым требованиям по их планированию.

5.4. Проверка адекватности моделей

Проверка адекватности модели исследуемой системе заключается в анализе отображения в модели существенных элементов системы и ее окружающей среды, существенных атрибутов элементов и существенных отношений между элементами и между атрибутами, т. е. существенных структурных, функциональных и числовых параметров системы и ее окружающей среды, а также характеристик системы, исследование которых

64