Примечание. Все кортежи результата однократной выборки удовлетворяют условию выборки. Повторная проекция не связана с вычеркиванием столбцов. Двукратное переименование атрибутов сводится к однократному переименованию с функцией переименования, равной композиции исходных функций переименования (аналог свойства идемпотентности)

Группа 3. Свойства монотонности:

1)r1 r2 ) hP ir1 hP ir2

2)r1 r2 ) hS0ir1 hS0ir2

3)r1 r2 ) h'ir1 h'ir2

Примечание. Все три унарных оператора монотонны

2.5.2. Бинарные операции

Бинарные теоретико-множественные операции объединения, пересечения и разности применяются к двум отношениям с одной и той же схемой. Результатом является отношение с той же схемой, что

иу операндов (табл. 2.7):

1)r1(S) [ r2(S) = ft(S) j t 2 r1 _ t 2 r2g – объединение

2)r1(S) \ r2(S) = ft(S) j t 2 r1&t 2 r2g – пересечение

3)r1(S) n r2(S) = ft(S) j t 2 r1&t 62r2g – разность

Бинарными операциями типа произведения являются операции декартова произведения и естественного соединения:

Таблица 2.7.: Пример выполнения операций объединения, пересечения и разности

4)r1(S1) r2(S2) = ft(S1 [ S2) j t[S1] 2 r1&t[S2] 2 r2g, S1 \ S2 = ;

5)r1(S1) ./ r2(S2) = ft(S1 [ S2) j t[S1] 2 r1&t[S2] 2 r2g

Примечание. Операция декартова произведения также относится к теоретико-множественным

Операции возвращают отношение со схемой, равной объединению схем операндов. В декартово произведение попадают комбинации всевозможных пар кортежей, так как схемы операндов не пересекаются. В естественное соединение попадают лишь те кортежи операндов, которые совпадают на пересечении схем отношений. Такие кортежи называются соединимыми. Декартово произведение является частным случаем естественного соединения в случае непересекающихся схем отношений. Если требуется взять декартово произведение отношений с пересекающимися схемами, то предварительно следует переименовать атрибуты хотя бы одного из отношений так, чтобы схемы не пересекались. Примеры для операций типа произведения приведены в табл. 2.8, 2.9.

Из определений операций следуют следующие свойства. Группа 1. Соотношения мощностей:

1)jr1 [ r2j 6 jr1j + jr2j

2)jr1 \ r2j 6 min(jr1j; jr2j)

3)jr1 n r2j 6 jr1j

4)jr1 r2j = jr1j jr2j

5)jr1 ./ r2j 6 jr1j jr2j

Примечание. При объединении отношений дубликаты кортежей исключаются. При декартовом произведении все кортежи соединимы, так как схемы операндов не пересекаются. При естественном соединении в общем случае не все кортежи соединимы

Группа 2. Свойства группы представлены в табл. 2.10. Знаками «+» и « » обозначены случаи, когда операция обладает и не обладает соответствующим свойством. Для декартова произведения обладание свойством идемпотентности не формулируется (что обозначено знаком « »), так как в этом случае декартово произведение не определено.

Таблица 2.10.: Группа 2 свойств бинарных операций