Функциональная зависимость с совпадающими левой и правой частями называется рефлексивной. Согласно правилу рефлексивности, ограничение рефлексивной зависимости выполняется автоматически. Правило пополнения вводит избыточность в левую часть функциональной зависимости. Правило псевдотранзитивности обобщает правило транзитивности, соответствующее частному случаю W = ;:

ПВ3 X ! Y; Y ! Z ` X ! Z транзитивность

4.1.2. Производные правила вывода

Если из одних правил вывести другие, то новые правила, называемые производными, можно использовать наряду с исходными.

Теорема. Следующие правила являются производными от правил вывода Армстронга:

ПВТ. ` X [ Z ! X тривиальность

ПВА. X ! Y; X ! Z ` X ! Y [ Z аддитивность

ПВП. X ! Y [ Z ` X ! Y; X ! Z проективность (обращение аддитивности)

При построении цепочек вывода после формулировки посылок применяется правило рефлексивности с тем, чтобы ввести функциональную зависимость с правой частью, фигурирующей в заключении. В правой части цепочки даются ссылки на правила, посылки правил и шаги, обосновывающие шаг вывода.

Доказательство правила тривиальности:

Конец теоремы.

Функциональная зависимость с левой частью, являющейся надмножеством правой части, называется тривиальной. Согласно правилу тривиальной зависимости, ограничение тривиальной зависимости выполняется автоматически. Правило тривиальности является обобщением правила рефлексивности и, как и последнее, могло бы быть получено непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости. Тот факт, что это правило является производным, не случаен и связан с полнотой системы правил Армстронга (о чем позже).

Правила аддитивности и проективности применительно к функциональным зависимостям с одинаковыми левыми частями позволяют объединять и расщеплять правые части зависимостей.

4.1.3. Независимость правил Армстронга

Теорема. Правила Армстронга образуют систему независимых правил вывода, то есть ни одно из правил рефлексивности, пополнения и псевдотранзитивности не является производным от двух других.

Доказательство основано на невозможности построения цепочки вывода, в которой, исходя из посылок рассматриваемого правила, путем применения других правил выводится его заключение.

Случай 1. Для правила рефлексивности цепочка вывода имела бы следующий вид:

n.X ! X заключение ПВ1

Но правила пополнения и псевдотранзитивности требуют посылок. Следовательно, заключение вывести нельзя.

Случай 2. Для правила пополнения цепочка вывода в общем случае имела бы вид:

n.X [ Z ! Y заключение ПВ2

Для доказательства достаточно рассмотреть частный случай Y = X, поскольку правило рефлексивности все равно породило бы произвольные рефлексивные зависимости:

1.X ! X посылка ПВ2 при Y = X

n.X [ Z ! X заключение ПВ2

Для применения правила псевдотранзитивности требуется 2 посылки. Поэтому вначале следует применить один или несколько раз правило рефлексивности. Но применительно к рефлексивным зависимостям правило псевдотранзитивности также даст рефлексивную зависимость. Таким образом, в цепочке вывода заключению будут предшествовать рефлексивные зависимости. Следовательно, заключение вывести нельзя.

Случай 3. Для правила псевдотранзитивности аналогично предыдущему имеем

1.X ! Y посылка 1 ПВ3

2.Y [ W ! Z посылка 2 ПВ3

n.X [ W ! Z заключение ПВ3

Частный случай выбирается таким образом, чтобы поглотить правило рефлексивности (Z = Y [X) и в противовес правилу пополнения уменьшить левую часть заключения (W = X):

Поэтому в цепочке вывода заключению будут предшествовать тривиальные зависимости и зависимости, полученные пополнением левой части первой посылки. Следовательно, заключение вывести нельзя.