Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
complete.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
20.09.2019
Размер:
11.84 Mб
Скачать

  1. Дать определение погрешности решения, погрешности аппроксимации, аппроксимации и сходимости разностной схемы. Провести исследование аппроксимации и сходимости явной и неявной разностной схемы метода Эйлера.

Пример. Аппроксимирует ли разностная схема

Задачу Коши (ЗК) . С каким порядком?

Общий случай: - разностная схема, L(u)=0 – непр. задача, y – точное решение разностной схемы, u – точное решение ЗК.

Величина наз погрешностью аппроксимации разностной схемы исх задачи. (Смысл опр: хотим определить, насколько дискретная модель отличается от исходной)

Погр аппрокс разностной исх зад на точном решении равна невязке.

Математическое понятие аппроксимации: Разностная схема аппроксимирует исходную задачу, если ,аппроксимация порядка P, если (т.е при бесконечном дроблении сетки арг )

Для метода Эйлера p=1

Уст разностной схемы

Запишем

Разностная схема устойчива, если , не зависящие от h и выбора u_0 и f, что им место нер-во а) если , а , то имеет место ; б) , то имеет место уст по правой части

Если шаг то уст по начальным данным.

Если шаг ( ), то условная устойчивость.

Всё сказанное справедливо и для систем ДУ, только вместо абс вел-ны ставим норму.

Сходимость разностных схем и погрешность.

Теорема: Пусть исх зад z(u)=0 пост корр-но и разн схема аппроксимирует разн схему с пар-ом , h → 0. И пусть разн сх уст, тогда разн сх сх-ся, т.е h → 0. Причем сх-ся с порядком = погрешности аппрокс-ии

Док-во: подставим в разн сх метода Эйлера:

Из усл. устойч.: и на основании леммы (из уст. по нач. данным след. уст. по пр. части) и (*) . С другой стороны р.сх. также аппрокс. решение, т.е. с порядком р . (В случае разн. сх. Эйлера р=1).

Замечание:1. Из сходимости разн сх => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответствующим дроблением сетки аргумента; 2. Из полученной оценки погрешности (*) =>что порядок погрешности носит суммарный или глобальный характер. Поэтому будем рассматривать как глобальную погрешность.

Разн сх является корректно заданной, если она аппрокс уст и сх-ся. Разн сх Эйлера условно уст (шаг выбирают из условия – оценка правой части). Нужно выбирать маленький шаг, чтобы если функция решения сильно изменится, не изменилась правая часть на большую величину.

Пример: да аппроксимирует с порядком p=1. (т.к. это р.сх. Эйлера, а для нее доказано, что погрешность аппроксимации ).

3. Определить локальную и глобальную погрешность решения задачи Коши разностным методом. Провести построение метода Рунге получения апостериорной погрешности решения. Как используется метод Рунге для автоматического выбора шага сетки аргумента.

Сходимость разностных схем и погрешность.

Теорема: Пусть исх зад L(u)=0 пост корр-но и разн схема аппроксимирует разн схему с пар-ом , h → 0. И пусть разн сх уст, тогда разн сх сх-ся, т.е h → 0. Причем сх-ся с порядком = погрешности аппрокс-ии

Док-во: подставим в разн сх метода Эйлера:

Нашли, что усл устойчиво: и на основании леммы, что правая часть уст (*)

из условия теоремы об устойчивости: т.к аппрокспорядка р, то , в случае разн сх Эйлера р=1.

Замечание:1. Из сходимости разн сх => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответствующим дроблением сетки аргумента; 2. Из полученной оценки погрешности (*) =>что порядок погрешности носит суммарный или глобальный характер. Поэтому будем рассматривать как глобальную погрешность.

Разн сх является корректно заданной, если она аппрокс уст и сх-ся. Разн сх Эйлера условно уст (шаг выбирают из условия – оценка правой части). Нужно выбирать маленький шаг, чтобы если функция решения сильно изменится, не изменилась правая часть на большую величину.

Построение разностной схемы с переменным шагом h.

Введём понятие локальной погрешности.

Опр. Погрешность локальная (на шаге) определяется так:

- получение конечного решения разностной схемы с точным начальным условием.

Для м. Эйлера:

Проведём исследование локальной погрешности в виде порядка малости шага h.

Пусть

Представим локальную погрешность используя формулу Тейлора (на шаге):

Обобщим для метода порядка

Опр. называется главным членом локальной погрешности. называется избыточной гладкостью решения (т.к для оценки погрешности нужно брать степеней , а тут ).

Правило или метод Рунге.

Н а отрезке длиной h с н.у.

Чтобы исп. формулы для получения практического решения нужно из оценки исключить неизвестную величину .

Из 2 вычитаем 1:

- мы м. получить её реально при вычислениях и оценить локальную погрешность.

На основании этого строится схема вычисления локальной погрешности на каждом шаге, если задана точность и после вычисления величин окажется, что , тогда применим автоматический выбор шага.

Автоматический выбор шага.

Используется для получения заданной точности решения в каждой точке аргумента.

Это адаптивная (самонастраиваемая) процедура.

Если

При каких-то .

Получим и решение дальше, но функция меняется и шаг может быть не экономичен, тогда мы удваиваем шаг. И если получаем, что

не изменяем.

Пример. Привести алгоритм автоматического выбора шага аргумента при решении методом Эйлера задачи Коши

Запишем разностную схему:

. Пусть

Тогда согласно методу Рунге считаем на каждой итерации один раз с шагом h и два раза с шагом h/2. Затем берем разность полученных значений как оценку погрешности (надо делить на – для метода Эйлера p=1, т.е. делить не нужно). Примерный алгоритм автоматического выбора шага:

1) ;

2) .

. Если то и повторяем шаг. Если , то и переходим к следующей итерации. В противном случае переходим на следующую итерацию, не меняя шаг.

.

3) . .

.......................................................

И продолжаем цикл до тех пор, пока не найдем значения в точке 7 (пока ).

4.Провести построение разностной схемы Рунге-Кутта с погрешностью аппроксимации 2-го порядка точности.

Пример. Построить такую разностную схему с точностью аппроксимации 10-3 для задачи

Ответ:

Рассмотрим задачу Коши для ДУ:

Интегрируем уравнение на очень малом шаге :

По формуле левых прямоугольников:

Если то получим:

Можно использовать: .

Тогда замена будет

В этом случае надо решать нелинейное уравнение для нахождения . Это нелинейное уравнение – решать методом Ньютона (например) эта формула неэкономична.

Тогда будем решать:

– формула одношаговая, т.к. для нахождения последующего значения нужно знать одно предыдущее; формула явная (т.к. нет нелинейных уравнений) и здесь - выбираются таким образом, чтобы совокупность этих формул давала погрешность аппроксимации 2-го порядка малости по h и чтобы разн. схема сходилась по h и была устойчивой.

Найдем . Заметим, что .

Разностную схему представим в следующем виде:

Вспомним, что погрешность аппроксимации = невязке разностной схемы на точном решении:

Стандартный прием – разложение в ряд всех точных решений, встреч. в этой записи.

Пусть . Тогда :

а) -ограниченные величины, поэтому порядок малости .

б) представим по формуле Тейлора

Подставим а), б) в выражение погрешности аппроксимации:

1) , тогда погрешность аппроксимации будет второго порядка малости

– формула Рунге-Кутта 2-го порядка. Она 2-х этапная, одношаговая, явная:

Данная формула также называется «предиктор-корректор».

2)

–формула Рунге-Кутта, одношаговая, явная 2-х этапная.

Итак, теперь , а из того, что следует, что и разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком h.

Пример. Построим такую разностную схему с точностью аппроксимации 10-3 для задачи

Так как , то .

В нашем случае .

5. Исследовать устойчивость разностной схемы Рунге-Кутта 2 порядка. Доказать теорему сходимости разностной схемы.

Теорема. Пусть исходная задача z(u)=0 пост. корректно и разн.сх. Lh(y)=0 аппроксимирует разн.сх. с п-ом ψh(u)=O(hp): lim ψh(u)=0 (h->0)/ и пусть разн.сх. устойчива, тогда разн.сх. сх-ся, т.е. сущ-ет lim |yh-uh| =0 (h->0). Причем сх-ся с порядком равным порядку погрешности аппроксимации (u – точное решение исх.з.Коши, y – точное решение разн.сх.) zh = |yh-uh| = O(hp)

Док-во. yh = zh + uh подставим в разн.сх.м.Эйлера: (zk+1 – zk)/h = f(tk, uk + zk) - (uk+1 – uk)/h

f(tk, uk + zk) = f(tk, uk ) + f(tk, uk + θzk) zk

(zk+1 – zk)/h = f(tk, uk) - (uk+1 – uk)/h + α(tk, uk) zk

(zk+1 – zk)/h = α(tk, zk) + ψh(u­k), y0-u0=z0, k=0, .., n-1, tk ∈ ωn

(zk+1 – zk)/h = -λ zk +| ψh|

|zk+1| ≤ |1-λh| | zk| + h| ψh(u­k)|, т.к. исслед.ист и нашли, что усл.уст-ти: h ≤ 2/λ, | fh(tk, uk + zk)| ≤ λ и на осн.леммы, что пр.часть уст.: | zk| ≤ h| ψh(u­0)| + h| ψh(u­1)| + … + h| ψh(u­n-1)|

Т.к. y0 = u0: | zk| ≤ (*)

| zk| ≤ - из усл.теоремы об уст-ти: т.к. аппрокс. порядка р, то сущ-ет lim |zh|=0 (h->0), |zk|>O(hp). в сл.разн.сх.Эйлера р=1.

Замечание: 1. Из сх=ти разн.сх. => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответственным дроблением сетки аргументов.

2. Из получения оценки погрешности (*) следует, что погр-ть носит суммарный или глобальный характер. Поэтому zk будем рассм-ть как глоб.погр-ть.

zh = yh – uh, yh – точное решение, uh – точное решение на сетке аргументов. Тогда используем: (yk+1 – yk)/h = f(tk + h/2, yk + (h/2)f(tk, yk)). Замена: yh = zh + uh, тогда (zk+1 – zk)/h = f(tk + h/2, zk + uk + (h/2)f(tk, zk + uk)).

Приведем уравнение к удобному виду для исследования устойчивости по лин.модели

а) f(tk, zk + uk) представим по ф-ле Лагранжа:

f(tk, zk + uk) = f(tk, uk) + fu(tk, uk + θ1zk)zk = /* fu(tk, uk + θ1zk) = βk */ = f(tk, uk) + βk zk

б) f(tk + h/2, uk + (h/2)f(tk, uk) + zk + (h/2)βk zk) = /* uk + (h/2)f(tk, uk) = ũk, zk + (h/2)βk zk = žk */ = f(tk + h/2, ũk + žk)

Представим эту функцию по ф-ле Лагранжа:

f(tk + h/2, ũk) + fu(t + h/2k, ũk + θ2 žk) žk

(zk+1 – zk)/h = f(tk + h/2, uk + (h/2)f(tk, uk)) – (uk+1 – uk)/h + γk(1 + (h/2) βk)zk = γk(1 + (h/2) βk)zk + ψh(uk), т.о., если мы заменим | γk | ≤ λ, | βk | ≤ λ и будем иметь в виду, что γk , βk ≤ 0, то мы образуем линейную модель разностной схемы в виде:

zk+1 = (1 + γkh(1 + (h/2) βk))zk + hψh(uk) – заменим лин.моделью

zk+1 = (1 - λh(1 - (h/2) λ))zk + hψh(uk) – модельная задача для исследования устойчивости

|zk| ≤ |z0| + M2max| ψh(uj)|, (0≤j≤N-1).

Чтобы получить уст-ть по нач.данным при М=1 и, след-но, уст-ть по правой части, сделаем

|1 – λh(1 – λh/2)| ≤ 1

В случае – λh( 1 – λh/2) < 0 взять др.часть нер-ва в опр. абс.величины: 1 – λh/2 ≥0 => h ≤ 2/λ

Метод Рунге-Кутта 2-го порядка обладает условной уст-тью. По теореме (из аппр. 2-го порядка и из уст-ти => сх-ть разностной схемы)

Сущ-ет lim zh=0, h->0, если z0=0, z0=y0 – u0.

Т.о., доказана корр-ть разностного метода Рунге-Кутта 2-го порядка.

Пример. Построить разностную схему метода Рунге-Кутта 2-го порядка, определив параметр а, при котором имеет место сходимость для задачи Коши. Точность решения ε=0,001.

u’(x) = x2 – au2(x), u(0) = 0, 0<x≤1.

.

В нашем случае .

u' = f(x, y) = x2 – au2(x)

|fu(x, y)| ≤ λ => |-2au| ≤ λ

u ≤ ||u||

λ = 2a||u||

h ≤ 2/λ, h = 0.03 =>

0.03 ≤ 2/(2|a| ||u||)

|a| ≤ 1/ (0.03||u||) – a, при которых имеет место сх-ть з.Коши

6. Многошаговые методы решения задачи коши характеризуются тем, что решение в текущем виде зависит от данных не в одном предыдущем узле, а в нескольких.

Задача коши для скалярного уравнения

- Формула Ньютона-Котеса, интегрального типа, с постоянным расстоянием между узлами.

Определение. Разностная схема (*) называется m – шаговой разностной схемой Адамса. Если , то она явная; если , то неявная.

Особенности:

1)Для получения следующего значения надо решить нелинейную задачу :

неявная разносная схема.

2) До решения методом Адамса надо знать – приближенные значения решения в к-ой точке.

3)Необходимо знать функцию в m первых точках

Дальше, при надо к каждому следующему прибавлять только 1 предыдущий : .

Построить такую схему, значит найти коэффициенты в известном условии аппроксимации, а потом исследовать устойчивость, и если она окажется условной то найти необходимое условие.

Двухшаговый метод Адамса(явный).

. Предположим, что Погрешность аппроксимации на точках решений = невязке разносной схемы на точном решении, т.е. по формуле Тейлора: . Надо получить 2 порядка малости по . Следовательно,

таким образом

она аппроксимирует исходную задачу: возьмем

.

Задача.

- точное решение разностной схемы.

X(t ) – точное решение исходной задачи Коши.

- по формуле Лагранжа. Тогда исход задачи Коши: . А разностная схема, тогда должна выглядеть так при подстановке в нее.

У нас по условию =0, таким образом разностная схема аппроксимирует исходную задачи коши с , то есть с первым порядком точности.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]