18. Провести построение метода для приближенного решения лиуф-2 с вырожденным ядром.

Пример: Составить алгоритм решения интегрального уравнения с приближенной заменой ядра на вырожденное из суммы первых 3-х членов ряда Тейлора.

Рассм. ЛИУФ-2 .

Опр. Ядро называется вырожденным, если оно допускает представление , где – системы лин.нез. функций.

Если ядро вырождено, то ЛИУФ-2 будет иметь вид (4). Обозначим . Тогда (4) примет вид (*)-предполагаемый вид решения, – известны и нужно найти . Для этого (*) подставляется в ЛИУФ-2:

Введем обозначение

(1) , (2)=>

. Из лин.нез. .

Получили СЛАУ (E,L – матрицы, r,c-векторы).

(3)

Если все операции интегр. и реш СЛАУ выполняется точно (напр. по ф-м Крамера), то получаем точное решение ЛУФ-2 с вырожденным ядром.

Вывод: При точном инт и точном реш будем приводить точное реш, а если при сложных ф-ях и при большом числе выполнить их приближенно и решать алг систему методом Гаусса, то получим метод приближенного решения, который так же удобен.

Представление произвольного ядра в виде вырожденного.

1 способ: Если ядро явл аналитической ф-ей, то можно его представить в виде отрезка ряда Тейлора со степенными ф-ями:

Для каждого вида такой замены и проводим исследование.

2 способ: разл. ядро в ряд Фурье - сист. ортонорм. ф-й и -коэфф. ряда Фурье. Отбросив хвост ряда получим

3 способ: Интерполирование (с помощью мнг Лагранжа):

, - узлы интерполяции.

.

Пример. Разложим ядро ряд Фурье в окрестности точки 0.

Ограничимся первыми тремя слагаемыми ряда: Получили вырожденное ядро, где в качестве сист. лин.нез. ф-й берется система . В частности,

Теперь осталось посчитать и решить СЛАУ . Тогда приближенное решение данного ЛИУФ-2 запишется в виде

19. Провести построение метода квадратур для приближенного решения лиув-2.

a = x₀ < x₁ < … < x_N = b (сетка может быть неравномерной)

Заменим интеграл квадратурной формулой:

При i = 0 суммы нет, . Пусть теперь .

СЛАУ:

Метод подстановки:

И для разрешимости нужно

Т.к. мы свели решение методом квадратур для ЛИУВ-2 к решению СЛАУ, то все исследования повторяют исследования для метода квадратур для ЛИУФ-2.

Пример. Построить СЛАУ в матрично-векторном виде для метода итераций и метода квадратур с формулой трапеций при приближенном решении линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. h=0,25.

. (такие же узды для s)

,

Составная формула трапеций: . (т.е. коэффициенты на концах интервала =рh h/2, а для внутренних точек=h).

Ядро . Подсчитав и записав полученные данные в векторно-матр. виде:

.

Решив систему мы найдем приближенные значения искомой функции в точках .

Для метода итераций все построения аналогичны, в качестве начальных приближений можно взять .

42

Fvr_!