Метод координат Введение в векторную алгебру

2

ay

a

z

2

a

x

a

z

2

a

x

a

y

2

=

+

+

.

(2.30)

a ×

b

b

b

b

b

b

b

y

z

x

z

x

y

ay

az

2

ax

az

2

ax

ay

2

=

+

+

.

a ×

b

by

bz

bx

bz

bx

by

Векторное произведение можно применить при вычислении площа-

ди треугольника и параллелограмма.

Площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

a =

(ax , ay , az ),

b = (bx ,by ,bz ) ,

обозначим через

Sпар , а площадь тре-

угольника, построенного на этих векторах, – через Sтр .

Sпар =

b

,

a ×

Sтр

=

1

.

2

a × b

Тогда

Sпар

=

ay

az

2

+

ax

az

2

ax

ay

2

by

bz

bx

bz

+

bx

by

,

Sтр =

1

ay

az

2

+

ax

az

2

ax

ay

2

2

by

bz

bx

bz

+

bx

by

.

П р и м е р . Найти площадь треугольника, построенного на векторах

a =

(0; 2; 4)

,

b

(

1;

−

)

1; 1 .

1

2 4

2

0

4

2

0

2

2

1

Sтр =

+

+

=

62 + (− 4)2 + (− 2)2

= 14 .

2

− 1 1

1

1

1

− 1

2

Обозначается

abc .

По определению

(2.31)

abc =

(a

´ b )× c .

Построим параллелепипед

П

(рис. 2.10), ребрами которого, исхо-

дящими из общей вершины

O , яв-

ляются векторы

a ,

b

и

c .

Тогда

S =

представляет собой пло-

a ´ b

щадь параллелограмма, построенно-

го на векторах

a

и

b ,

т.е. яв-

ляется площадью основания парал-

лелепипеда. Высота

H

этого па-

раллелепипеда равна

= ± ccosϕ

,

(2.32)

S

где

S =

и знак плюс соответствует острому углу

ϕ =

a ´ b

Ð (c,S ) , а

знак минус – тупому углу

ϕ .

В первом случае векторы

a , b , c

обра-

зуют правую, а во втором – левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

S

(2.33)

V

(a

´ b )× c =

× c =

S × прS c = ± SH = ± V ,

где

– объем параллелепипеда

П ,

построенного

на

векторах

a ,

b , c .

Отсюда

± V ,

(2.34)

abc =

Свойства смешанного произведения.

1.

Знак смешанного произведения

зависит от ориентации

abc

тройки

a ,b ,c :

– правая,

<0, если

abc >0, если тройка

a,b

,c

abc

тройка

a ,b ,c – левая.

2.

Смешанное произведение не меняет знак при циклической пере-

становке его сомножителей:

abc =

bca =

cab .

3.

При перестановке двух соседних множителей смешанное произ-

ведение меняет свой знак на противоположный, т.е.

bac = acb = cba = - abc .

4.

Чтобы умножить векторное произведение на число

λ ,

доста-

точно любой сомножитель умножить на λ :

λ(abc) = (

λ a) bc =

a

(λb) c

= ab(λc) .

5. Дистрибутивные законы:

,

(a +

a¢)bc =

abc +

a¢bc

,

a(b

+ b¢)c =

abc +

ab¢c

ab(c +

c¢) =

abc +

abc¢ .

ТЕОРЕМА 2.15 (необходимое и достаточное условие компланарно-

сти векторов). Для того чтобы векторы

a , b

и c

были компланарны,

равнялось нулю:

(2.35)

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю).

Найдем выражение смешанного произведения векторов через коор-

динаты векторов-сомножителей:

axi +

ay j +

az k ,

a =

b = bxi + by j +

bz k ,

(2.36)

cxi +

cy j +

cz k .

c =

b )× c =

by

bz

-

ay

bx

bz

+ az

bx

by

,

abc =

(a ´

a × (b ´ c) = (b ´

c)× a = ax

cy

cz

cx

cz

cx

cy

т.е.

ax

ay

az

bx

by

bz

.

(2.37)

abc =

cx

cy

cz

Объемы соответственно равны:

1

Vпар =

,

Vтетр =

.

abc

6

abc

П р и м е р ы .

1

0

3

= - 16 ¹ 0 .

3

5

7

abc =

1

2

- 1

2. Определить ориентацию тройки

a = (1; 0; 3) ,

b =

(3; 5; 7) ,

c = (1; 2; − 1) .

Р е ш е н и е .

– левая, так как смешанное произведение

Тройка a,b,c

abc = - 16

Р е ш е н и е . Vпар =

=

- 16

= 16 .

abc

5.

Что называется проекцией вектора

a

на ось l ?

6.

Основные свойства проекции на ось

l .

7.

Что называется суммой векторов

a

и b ?

8.

Что называется разностью векторов a

и

b ?

9.

Что называется произведением вектора

a

на число l ¹ 0 ?

a

и

b ?

a

16.

Свойства векторного произведения векторов

и

b .

17.

Что называется смешанным произведением векторов

a ,

b и c ?

18.

Свойства смешанного произведения векторов a ,

b

и

c .

19.

Какова геометрическая интерпретация смешанного произведения век-

торов

a , b

и c ?

20.

Даны точки

A(x1; y1; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) .

Написать координаты точ-

ки M (x; y; z) ,

делящей отрезок AB

в отношении

l .

21.

Даны точки

A(x1; y1; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) .

Написать координаты точ-

ки

M (x; y; z) ,

делящей отрезок AB

пополам.

24.

Определить длину вектора a заданного своими координатами.

25.

Как найти направляющие косинусы вектора a ?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.

Найти

полярные

координаты

точек:

N(2

M (− 7;0) ,

3;2),

K(−

).

2;−

6

2.

Найти

прямоугольные

координаты

точек

A(2;

π

2

),

B(3;3π

4

),

(2;

5π

), заданных своими полярными координатами.

C

4

3.

Записать следующие уравнения в полярных координатах:

а)

x2

−

y2

=

a2 ;

б)

y =

x ;

в)

xcosα

+

ysin α −

p = 0 .

4.

Записать следующие уравнения в прямоугольных координатах:

а) ρ cosθ = a ;

б) ρ

=

2asin θ ;

в) ρ

=

a(1 +

cosθ ) .

5.

Сделан параллельный перенос осей координат, причем новое начало

расположено в точке

O1 (3;− 4) .

Известны старые координаты точки

M (7;8). Определить новые координаты этой же точки.

6.

Система координат повернута на угол

α

=

π 6 .

Определить новые

координаты точки

M (

;3) .

3

7.

Отрезок AB , где A(7;1) , B(4;5)

разделен на три равные части. Найти

координаты точек деления.

8.

В треугольнике

ABC

дано:

AB

,

AC =

b ,

точка

M −

середина

= a

стороны

BC .

Выразить вектор

AM

через векторы

a и

b .

9.

В параллелограмме

ABCD :

K

и

M −

середины сторон

BC

и

CD ,

AK =

,

AM =

b .

Выразить векторы

BD

и

AD

через век-

a

торы

a

и

b .

M составляет с осью

OX угол

, с осью OY –

10.Радиус-вектор точки

45°

угол

60°

. Его длина

= 6 . Найти координаты точки M, зная, что тре-

r

тья координата отрицательная.

px =

3,

py

− 9, а его

11.Найти вектор

p ,

зная, что две его координаты

=

длина

p

= 12 .

a =

(6;− 2;− 3).

12.Найти орт вектора

13.Даны три вектора

a =

(1;3) ,

b = (2;− 1)

и

c = (4;1) .

Найти числа

α

и

β

такие, что

β b

α a +

+ c = 0 .

14.Проверить, что векторы

a =

(− 5;− 1)

и

b =

(− 1;3) образуют базис на

плоскости, Найти координаты векторов

c =

(− 1;2)

и

d =

(2;− 6)

в

этом базисе.

координаты вектора

- 2i -

k

в базисе

e1,e2 ,e3

и написать соот-

a =

ветствующее разложение по базису.

16.Разложить вектор

c = (9;4)

по векторам

b ,

если a = (1;2)

и

a,

b = 2i -

3 j .

A(1;− 6;3)

17.Зная одну из вершин треугольника

и векторы, совпадающие

с двумя сторонами

AB =

3i +

5k

и

k ,

найти осталь-

BC = 4i + 2 j

-

ные вершины и вектор

CA .

A(3;− 1;2),

B(1;2;− 1) ,

C(− 1;1;− 3),

18.Проверить,

что

четыре

точки

D(3;− 5;3)

служат вершинами трапеции.

19.Найти расстояние между концами векторов

a = (2;1;8) , и

b = (- 2;2;3) ,

если векторы отложены от начала координат.

20.Определить,

при каких

значениях

α

и

β

векторы

- 2i

+ 3 j +

b k

и

b = a i -

6 j +

2k

коллинеарны.

a =

21.Даны векторы

AB

=

+

и

5i

2 j

BC = 2i -

4 j , образующие стороны

треугольника

ABC .

Найти длину медианы

AM

треугольника.

22.Является ли треугольник с вершинами в точках

A(5;− 4) , B(3;2) ,

C(2;− 5)

прямоугольным?

23.Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам

2i +

j +

k

a =

и b = (1;1;2) .

24.Найти вектор

d ,

зная, что

d

^

b

и

d

- 6 ,

где

d ^ a ,

× c =

a = (2;3;− 1) , b = (1;-

2;3)

j + k .

, c = 2i -

m × a =

4

,

m × b = 35 , где

25.Найти вектор

m ,

зная, что

m

c ,

a = (3;− 2;4) , b = (5;1;6) и c = (− 3;0;2).

26.Даны векторы

j + 3k ,

b =

i -

3i + 2 j - 4k . Найти

a = 2i -

3 j + 3k , c =

вектор

x ,

если

x ;

x × b = - 11;

x × c =

20 .

27.Являются ли векторы

a = (1;2;− 5),

b = (4;- 1;3),

c = (2;4;− 10) колли-

неарными?

a = 3p + q

28.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

p

=

4;

q

= 1;

π

и

b = p -

2q ,

где

и

( p,q) =

.

4

29.Вычислить

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

+

k

и

AC

=

k

как на сторонах.

AB = 8i

4 j +

2i -

2 j +

30.Найти площадь треугольника

ABC ,

в котором

A(1;2;0) , B(3;2;1) ,

C(− 2;1;2).