Метод координат Введение в векторную алгебру

ρ2

=

x2 +

y2 ,

(1.12)

x

y

cos θ =

,

sinθ =

,

z = z

ρ

ρ

или обратно

(1.13)

x = ρ× cos θ, y = ρ× sinθ , z =

z .

Сферическими координатами

точки

M

является тройка чисел

r , q

и

j

(рис. 1.12), определяемые следующим об-

разом:

от начала

r – расстояние точки M

ρ2 = x2 + y2 + z2 ,

cos θ =

x

, sinθ =

y

,

x

2 +

y2

x2

+ y2

(1.14)

cos φ =

z

,

sin φ =

x2 + y2

ρ

ρ

или обратно

y = ρ× sin φ×

z = ρ× cosφ .

x = ρ× sin φ× cos θ ,

sin θ,

(1.15)

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение 2.1. Связанным вектором

называется

упорядоченная

пара точек ( A,B).

Точка

A

называется началом вектора, точка

B – концом вектора.

Обозначается

АВ .

Если начало и конец связанного вектора совпадают, то вектор назы-

вается нулевым.

Определение 2.2. Направлением ненулевого связанного вектора

АВ

называется направление луча, вершина которого совпадает с началом

A

и содержит его конец

B . Направление нулевого связанного вектора счи-

тается произвольным.

Определение 2.3. Модулем (длиной) или абсолютной величиной не-

нулевого связанного вектора

АВ

называется расстояние между его нача-

лом и концом.

Обозначается

AB

.

Определение 2.4. Два ненулевых связанных вектора

АВ и СD на-

зываются коллинеарными, если прямые AB

и CD параллельны или

ся вектор

a (рис. 2.1). Построить свободный вектор

a от точки

A – значит построить связанный вектор

представители

с

общим

началом

лежат

в

одной

плоскости.

a

Определение 2.9. Противоположным для вектора

называется

вектор той же длины, но противоположного направления

(– a ).

a ,

Определение 2.10. Единичным вектором (ортом) вектора

назы-

вается такой вектор, который имеет то же направление, что и

a ,

и еди-

ничную длину.

Обозначается

0 .

a

2.2. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Пусть в пространстве задана ось координат Ou и вектор

АВ . Про-

ведем через точки

A

и B прямые, перпендикулярные к оси.

Пусть A1

и B 1

точки пересечения этих прямых с осью (рис. 2.2).

Определение 2.11. Проекцией вектора АВ на ось

Ou называет-

ся:

1)

A 1B1

, если направление вектора АВ и оси Ou

совпадают;

2)

-

A 1B1

в противном случае.

произвольный вектор

АВ . Пусть

X – проекция вектора АВ на ось

Ox ,

Oy :

а Y – проекция вектора

АВ на ось

X = прx AB , Y = прy AB .

Определение 2.12. Проекции вектора

АВ на оси координат опре-

Обозначается

АВ = ( X;Y ) .

A(x1; y1 )

B( x2 ; y2 ) коор-

ТЕОРЕМА 2.1. Для любых двух точек

и

динаты вектора

АВ

определяются формулой

X = x2 − x1;Y = y2 − y1 .

СЛЕДСТВИЕ. Если начало вектора

АВ совпадает с началом коор-

динат

O , т.е.

x1 =

y1 = 0 ,

то координаты вектора

АВ

равны коорди-

натам его конца:

X = x2 ;Y = y2 .

Замечание. В случае пространства рассматривается прямоугольная

система координат

Oxyz

в пространстве, и к координатам вектора на

плоскости добавляется координата Z = z2 − z1.

П р и м е р . Даны точки

A(1;2;3)

и

B(3;5;9) .

Найти координаты

вектора

АВ .

Р е ш е н и е .

X = 3 − 1 = 2 , Y = 5 − 2 = 3,

По

формулам теоремы 2.1. находим

Z = 9 − 3 =

6. Следовательно, АВ = ( X ;Y;Z ) = (2;3;6) .

Суммой двух неколлинеарных векторов

a =

и

=

AB

BC

b

(рис. 2.3) является вектор, идущий из начала

a

в конец

, если вектор

b

приложен к концу вектора a (

+

=

).

b

AB

BC

AC

ется такой вектор

x ,

который при сложении с вычитаемым вектором b

дает уменьшаемый вектор

a :

x

+ b = a .

Разность векторов

совпадает с суммой

a − b

a + (− b).

Геометрически

разность

неколлинеарных векторов

a − b

b =

AD

представляет собой вектор

BD ,

определяемый диаго-

a = AB,

налью

BD

параллелограмма

ABCD :

b = BD (см. рис. 2.4).

a −

Определение 2.14. Произведением

λ a (или

a λ )

ненулевого век-

тора a

на число λ ¹ 0 называется новый вектор c

такой, что:

1)

длина вектора

c равна произведению длины вектора

a на аб-

солютную величину числа λ :

c

=

a

×

λ

2)

направление вектора c совпадает с направлением вектора a ,

если

λ – положительное число, или противоположно ему, если

λ – число отрицательное.

Если a =

0 или

λ = 0 , то полагают по определению

λ a =

0.

Свойства операции умножения.

1.

λ a =

a λ .

2.

μ(λ a) =

l (m a) = l m a .

3.

b) =

λ(a +

λ a + λb .

4.

(λ+ μ)a = λ a + μ a .

5.

Если

λ a = 0, то a = 0

или λ =

0 .

0

6.

Если

a

имеет единичный вектор

.

a0 , то

a =

a

a

7.

1× a = a ; (- 1)a = - a .

ТЕОРЕМА 2.2 (первый признак коллинеарности векторов). Два век-

тора a

и

b

коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорцио-

нальны, т.е.

λ a

= b (или a = μb ).

Деление вектора на число

Определение 2.15. Частным от деления вектора

a

на число

λ ¹ 0

называется вектор

x , произведение которого на делитель

λ дает дели-

мый вектор

a :

λ x = a . Частное

a

æ

1

ö

λ

совпадает с произведением ç

λ

÷ a .

è

ø

Длина частного

a

равна частному от деления длины вектора a

λ

a

на абсолютную величину числа

λ :

a

=

,

а направление совпадает с

λ

λ

направлением вектора

a , а если λ – положительное число, и противо-

положно ему, если

λ

– число отрицательное.

Свойства операции деления вектора на число:

a

a + b a b

a α× a

a

α× l =

3. μ : α =

1.

= λ + λ .

2.

λ .

.

λ

α× μ

П р и м е р . Пусть

AA 1

– медиана треугольника

ABC .

Доказать,

что

AA1

= AB + AC .

2

Р е ш е н и е .

По правилу сложения векторов имеем

AA1 =

AB +

BA1 ,

а с другой

стороны,

AA1 =

AC +

CA1 .

Складывая

эти

выражения,

получим

2AA1 = AB + AC + BA1 +

CA1 .

Но векторы

BA1 и

CA1

равны по моду-

гда AA1 =

AB + AC .

2

Зафиксируем в

пространстве произвольную

точку

O

и назовем

ее началом.

Определение 2.16. Радиус-вектором произвольной точки

M

на-

зывается вектор OM .

Радиус-вектор точки

M

обозначает-

M

ся через

rM или

rM ,

т.е.

r

= OM

rM

(рис. 2.6).

M

Если выбрано начало, то между всеми

О

точками пространства и всеми радиус-векто-

рами установлено взаимно однозначное со-

Рис. 2.6

ответствие: каждой точке

M

отвечает

единственный радиус-вектор rM , а каждому

точка M – его конец.

радиус-вектору rM

отвечает единственная

Выражение вектора через радиус-векторы его конца и начала

А

Пусть выбрано начало

O

и дан

вектор

AB . Обозначим радиус-векторы

его начала и конца через

rA, rB

(рис. 2.7). Из треугольника

AOB

полу-

rB

B чаем выражение

вектора

через

ради-

О

ус-векторы его конца и начала

Рис. 2.7

AB =

r −

r

,

B

A

Пусть выбрано начало O

и дан вектор

AB , радиус-векторы нача-

ла и конца отрезка

rA, rB , число

λ ¹

- 1. Разделить отрезок

AB в от-

ношении λ – означает найти такую точку

M на отрезке или его про-

должении, что

AM

= λ . Определим радиус-вектор rM точки

M .

MB

Для решения задачи выразим векторы

AM = rM − rA , MB = rB − rM .

Отношение этих коллинеарных векторов по условию равно λ ,

т.е.

AM = λ MB ,

rM − rA = λ(rB − rM ) .

Отсюда получается формула деления отрезка в данном отношении:

r

=

rA +

λ rB

.

M

1+

λ

Середина отрезка

Рассмотрим частный случай, когда точка

M находится в середине

пополам.

Р е ш е н и е .

ABCD

Четырехугольник

является параллелограммом тогда и

только тогда, когда его стороны

AB

и

CD

равны и параллельны:

AB = CD .

Выражая эти векторы через радиус-векторы вершин параллело-

грамма, получим rB - rA =

rC - rD

или

rB + rD = rC + rA . Отсюда

rB + rD =

rC + rA

.

2

2

Последнее равенство показывает, что середина диагонали BD сов-

падает с серединой диагонали AC ,

т.е. диагонали в точке пересечения

делятся пополам.

2.6. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

Определение 2.17. Вектор

u

называется линейной комбинацией

векторов

a1, a2 ,..., an , если его можно представить следующим образом:

u = α1× a1 +

α2 × a2 + ... + αn × an , где

α1, α2 , , αn – действительные числа,

которые называются коэффициентами линейной комбинации.

Определение 2.18. Система векторов

a1,a2 , ,an называется линей-

но зависимой, если существуют числа

α1,α2 , ,αn

одновременно не рав-

α1× a1 + α2 × a2

+

... + αn × an =

0 .

(2.1)

В противном случае, векторы

a1,a2 , ,an

называются линейно не-

зависимыми, т.е. векторы a1,a2 , ,an

называются линейно независимы-