- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Классическое и геометрическое определения вероятности
- •1.1.Классическое определение вероятностей. Задачи
- •1.2.Геометрическая вероятность
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.1. Операции над событиями. Независимость событий
- •2.2. Условная вероятность
- •2.3. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.3. Задачи для самостоятельной работы
- •Глава 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Глава 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики
- •5.1. Дискретные случайные величины
- •5.2. Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 6. Непрерывные случайные величины и их характеристики
- •6.1. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Глава 7. Элементы математической статистики
- •7.2. Доверительное оценивание
- •1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
- •2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)
- •3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Список литературы
Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики
Пусть ,- вероятностное пространство,–множество действительных чисел.
Определение. Случайной величиной называется действительная функция , () такая, что для каждого действительного
.
Напомним, что –-алгебра событий, то есть– некоторое событие вероятностного пространства.
Определение. Функция
(5.1)
называется функцией распределения вероятностей случайной величины .
Свойства функции распределения вероятностей:
1. для любого ;
2. - неубывающая, непрерывная слева;
3. т.е.,;
4. .
Определение. Случайные величины иназываются независимыми, если при любых действительныхиимеет место
.
К основным числовым характеристикам случайных величин относят математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число
, (5.2)
(при условии, что ряд сходится). Здесь –значения случайной величины,–вероятность, с которой случайная величинапринимает значение.
Свойства математического ожидания.
1. Если , то. Иначе, где.
2. , где.
3. .
4. Если случайные величины инезависимы, то.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число
, (5.3)
(при условии, что ряд сходится).
Определение. Дисперсией случайной величины называется число
, (5.4)
Свойства дисперсии.
0. .
1. Если , то. Иначе, где.
2. , где.
3. Если случайные величины инезависимы, то
.
4. .
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют величину .
5.1. Дискретные случайные величины
Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб совпадает с вероятностью . Для случайного числа появления герба построить: а) ряд распределения; б) функцию распределения; в) вычислить числовые характеристики.
В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения вероятностей и ее график. Вычислить числовые характеристики.
В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать ряд распределения числа нестандартных деталей среди отобранных четырех.
Случайные величины инезависимы, причем,,,. Найтии, если: а); б)в), где,,– постоянные величины.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины :
а) |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
б) |
-3 |
1 |
3 |
4 | ||
|
0.1 |
0.2 |
0.2 |
0.4 |
|
0.3 |
0.2 |
0.1 |
0.4 |
Требуется: 1) записать функцию распределения вероятности величины и построить ее график; 2) построить ряд распределения случайной величины ; 3) определить числовые характеристики случайной величины.
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:
а) |
3 |
5 |
7 |
9 |
б) |
0 |
1 |
2 | ||
|
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
|
0,3 |
0,5 |
0,2 |