- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Классическое и геометрическое определения вероятности
- •1.1.Классическое определение вероятностей. Задачи
- •1.2.Геометрическая вероятность
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.1. Операции над событиями. Независимость событий
- •2.2. Условная вероятность
- •2.3. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.3. Задачи для самостоятельной работы
- •Глава 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Глава 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики
- •5.1. Дискретные случайные величины
- •5.2. Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 6. Непрерывные случайные величины и их характеристики
- •6.1. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Глава 7. Элементы математической статистики
- •7.2. Доверительное оценивание
- •1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
- •2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)
- •3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Список литературы
Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
Пусть ,– вероятностное пространство, где– множество элементарных исходов эксперимента,––алгебра событий,– вероятностная мера. Пусть– некоторое событие, вероятность которого .
Определение. Условной вероятностью события при условии, что наступило событиеназывают число:
. (2.1)
Определение. События иназываются независимыми, если выполняется равенство
Теорема. События инезависимы тогда и только тогда, когда справедливо соотношение, при.
Теорема (умножения вероятностей). Пусть –события вероятностного пространства, причем. Тогда
. (2.2)
Пусть –события вероятностного пространства, причеми. Тогда
. (2.3)
Теорема (сложения вероятностей). Пусть –события вероятностного пространства. Тогда
. (2.4)
2.1. Операции над событиями. Независимость событий
Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Рассматриваются следующие события:
- появление герба на первой монете;
- появление цифры на первой монете;
- появление герба на второй монете;
- появление цифры на второй монете;
- появление хотя бы одного герба;
- появление хотя бы одной цифры;
- появление одного герба и одной цифры;
- непоявление ни одного герба;
- появление двух гербов.
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события:
1) 2)3)4)5)6)7)
По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события - попадание при-м выстреле (). Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событийиследующие события:
- все три попадания;
- все три промаха;
- хотя бы одно попадание;
- хотя бы один промах;
- не меньше двух попаданий;
- не больше одного попадания;
- попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.
Опыт состоит в последовательном подбрасывании двух монет. Рассматриваются события:
- появление герба на первой монете;
- появление хотя бы одного герба;
- появление хотя бы одной цифры;
- появление герба на второй монете.
Определить, зависимы или независимы пары событий:
1) иE; 2)иF; 3) D и ; 4)D и .
Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре.
Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:
- появление туза;
- появление карты красной масти;
- появление бубнового туза;
- появление десятки.
Зависимы или независимы попарно следующие события:
1) иB; 2)иC; 3) B и ; 4)B и D; 5) C и D.
2.2. Условная вероятность
Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на три последовательно заданных ему вопроса.
В общежитии проживает 10% студентов университета. 75% студентов, проживающих в общежитии, увлекается спортом, среди них 46% юношей. Какова вероятность встретить в студенческом городке юношу, увлекающегося спортом и живущего в общежитии?
У человека имеется N ключей, из которых только один подходит к двери. Он последовательно испытывает их. Процесс испытания может закончиться при 1, 2, …., N испытаниях. Показать, что каждый из этих исходов имеет вероятность 1/N.