§ 3. Тригонометрические ряды Фурье

Если функция кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производнуюв интервале, причем все точки разрыварегулярны (т. е.), то функцияна этом интервале может быть представленарядом Фурье

,

где ;.

В частности:

а) если функция четная, то имеем

,

где ;

б) если функция нечетная, то получаем

,

где .

Функцию , определенную в интервалеи обладающую в нем приведенными выше свойствами четности, можно в этом интервале разложить в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам.

Дифференцирование рядов Фурье. Если функция непрерывна, а её производная кусочно-непрерывна на отрезкеи, то ряд Фурье дляполучается из ряда Фурье дляпочленным дифференцированием.

Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье, даже расходящийся, интегрируемой по Риману в интервале функцииможно интегрировать почленно в этом интервале.

Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от и, удается иногда получить с помощью формул Эйлера:

; ;.

Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения для косинуса и синуса и получившуюся функцию от разложить в ряд по степеням, а затем вернуться к переменнойс помощью формулы

.

В результате получится искомое разложение заданной функции в ряд Фурье.

Пример 3.1. Разложить в ряд Фурье функцию

.

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера. Подставим выражения для синуса и косинуса в функцию и представим получившуюся рациональную функцию параметра в виде суммы двух дробей следующим образом:

.

Поскольку ,, то дробииможно разложить в степенные ряды. (Эти дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий.) В результате получим ряд Фурье функциив комплексной форме:

.

Заметив, что , получим.

Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию .

Решение. Применим для разложения метод, основанный на применении формул Эйлера. Положив ,(следовательно,), будем иметь

.

Заметив, что ,и, получим, разложив в степенной ряд логарифм,

.

В результате будем иметь

.

Поскольку в левой части этого равенства стоит действительное число, мнимая часть его правой части равна нулю:

.

Следовательно,

, .

Попутно получилось разложение в ряд Фурье функции :

.

Пример 3.3. Найти сумму ряда .

Решение. Ряд сходится при. Рассмотрим ряд, сходящийся при любом. Обозначими. Тогда

, .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма:

.

Таким образом,

.

Откуда сразу находится сумма ряда:

, .

Заодно мы доказали, что

, .

Разложить в ряд Фурье функцию , указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции, и найти сумму ряда в указанной точке:

3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4. .

5. Разложить в ряд Фурье функцию , и, пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда Лейбница.

Разложить в ряд Фурье функцию на указанном промежутке, считая длину промежутка периодом:

3.6. на интервале.
3.7. на интервале.
3.8. на интервале.
3.9. на отрезке.

3.10. ,на отрезке. Доказать с помощью получившегося разложения, что.

3.11. Разложить в ряд Фурье функцию

периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3. Нарисовать график суммы ряда.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:

3.12. .	3.13. .
3.14. .	3.15. .
3.16. .

3.17. Разложить в ряд Фурье на интервале по синусам функцию:

3.18. Разложить функцию в ряд Фурье:

а) на отрезке по косинусам;

б) на интервале по синусам;

в) на интервале по синусам и косинусам.

Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:

, ,.

3.19. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Пользуясь формулами Эйлера, разложить в ряд Фурье функцию:

3.20. .
3.21. .
3.22. .

3.23. Исходя из разложения

,

почленным интегрированием получить разложение в ряд Фурье на интервале функцийи.

Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические функции:

3.24. .	3.25. .
3.26. .

Найти сумму ряда:

3.27. .	3.28. .
3.29. .	3.30. .

Ответы: 3.1. ; 0.3.2. ,;.3.3. ,;.3.4. ,;.3.5. ;.3.6. .3.7. .3.8. .3.9. .3.10. .3.11. .

3.12. .3.13. .3.14. .3.15. .3.16. .3.17. .3.18. .

3.19. .3.20. ,.

3.21. .3.22. .3.23. ;.3.24. ,,.3.25. .3.26. ,

, .3.27. .3.28. .

3.29. .3.30. .

154