3. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция определена в некоторой окрестности точкии имеет в этой точке производные всех порядков, то степенной рядназываетсярядом Тейлора функции в точке .

В случае, когда , ряд Тейлора называютрядом Маклорена.

Остаточный член ряда Тейлора может быть представлен:

а) в форме Лагранжа

, ;

б) в форме Коши

, ;

в) в интегральной форме

.

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора. Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции, остаточный член рядадолжен стремиться к 0 при.

Если для отрезка при любом, то для всех.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

1. .

2. ,.

3. .

4. .

5. , где,.

В последнем разложении , иначе разложение будет содержать лишьслагаемое.

Важные частные случаи формулы (5):

, .

, .

Приемы и методы разложения функций в ряд Тейлора. Обычно коэффициенты ряда Тейлора находят с помощью формул (1) – (5), применяя различные приемы: представление данной функции в виде суммы более простых функций, замену переменной, почленное дифференцирование и интегрирование ряда и др.

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Рассмотрим задачу Коши

,

, .

Если функции ,,представляются степенными рядами вида, сходящимися к этим функциям в некоторой окрестности точки, то существует единственное решение задачи Коши, представимое в виде степенного ряда, сходящегося в некоторой окрестности точки.

Найдя из равенства с помощью дифференцирования степенные ряды дляи, подставив в дифференциальное уравнение вместо,,,,,их разложения в степенные ряды и произведя арифметические действия над рядами, получим равенство степенных рядов. Из полученного равенства можно последовательно найти коэффициентыи тем самым решить задачу Коши.

Нахождение сумм рядов. При вычислении сумм числовых рядов иногда удается представить ряд в виде линейной комбинации известных рядов:

	.		.
	.		.

Пример 2.5. Найти сумму ряда .

Решение. Дифференцируя почленно ряд , получаем. Следовательно,

.

Пример 2.6. Разложить функцию в ряд по степеням.

Решение.

=

.

Из последней формулы видно, что для первого ряда , а для второго ряда. Значит, радиус сходимости для суммы рядов равен. Окончательно получим

.

Пример 2.7. Найти сумму ряда .

Решение. Дифференцируя почленно ряд , получаем. Следовательно,

.

Пример 2.8. Найти сумму ряда , а затем вычислить сумму ряда.

Решение. Ряд сходится на интервале(геометрическая прогрессия). Его сумма равна. На любом отрезке, где, ряд сходится равномерно, а его члены – непрерывные функции. Интегрируем почленно этот ряд на отрезке, где:

; .

Положим , тогда; следовательно,.

Пример 2.9. Найти сумму ряда .

Решение. Рассмотрим степенной ряд

.

Ряд сходится равномерно для . Возьмем. Тогда

.

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда:

2.49. .	2.50. .
2.51. .	2.52. .
2.53. .	2.54. .
2.55. .	2.56. .
2.57. .	2.58. .
2.59. .	2.60. .
2.61. .	2.62. .

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти радиус сходимости полученного ряда:

2.63. .	2.64. .
2.65. .
2.66. .
2.67. .	2.68. .

Перемножив соответствующие ряды, разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда:

2.69. .

2.70. .

С помощью дифференцирования ряда доказать, что:

2.71. .
2.72. .

Применив почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда:

2.73. .

2.74. .

Применив почленное интегрирование, вычислить сумму ряда:

2.75. .

2.76. .

Вычислить сумму ряда:

2.77. .	2.78. .
2.79. .	2.80. .

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд с точностью до 0,001 вычислить интеграл:

2.81. .	2.82. .
2.83. .	2.84. .

Найти разложение в ряд Маклорена решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

2.85. .
2.86. .
2.87. .
2.88. .

Ответы: 2.49. ,.2.50. ,.2.51. ,.2.52. ,.

2.53. ,.2.54. ,.

2.55. ,.2.56. ,.

2.57. ,.2.58. ,.2.59. ,.2.60. ,.2.61. ,.2.62. ,.2.63. ,.

2.64. ,.2.65. ,.2.66. ,.2.67. ,.2.68. ,.2.69. ,.2.70. ,.2.73. ,.

2.74. ,.2.75. .2.76. ,.

2.77. ,.2.78. ,.2.79. ,.2.80. ,.2.81. .2.82. .2.83. .2.84. .2.85. .2.86. .2.87. .

2.88. .