§ 2. Функциональные ряды

2.1. Признаки сходимости функциональных рядов

Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве.

Функциональный ряд называетсясходящимся в точке ,если сходится числовой ряд . Если сходится ряд, то рядназываетсяабсолютно сходящимся в точке .

Если функциональный ряд сходится в каждой точке , то этот ряд называютсходящимся на множестве .

Множества значений , для которых сходятся ряды и, называются соответственнообластью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда .

Функция называется-й частичной суммой ряда , а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестверяда называют егосуммой:

.

В простейших случаях для определения области сходимости ряда достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости числовых рядов, считаяфиксированным.

Последовательность функций называетсяравномерно сходящейся на множестве , если:

1. существует предельная функция ;

2. для любого числа можно указать числотакое, чтодля всехи для всех .

Функциональный ряд называетсяравномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм или остаток рядаравномерно сходится к нулю.

Критерий Коши. Ряд равномерно сходится на множестветогда и только тогда, когда.

Признак Вейерштрасса. Пусть для всехвыполняется неравенство. Пусть, кроме того, числовой рядсходится. Тогда рядсходится на множествеабсолютно и равномерно.

В случае, когда выполняется неравенство ,, говорят, что рядмажорируется рядом .

Признак Абеля. Ряд сходится равномерно на множестве, если:

1) ряд равномерно сходится на множестве;

2) функции ограничены в совокупности и при каждомобразуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле. Ряд сходится равномерно на множестве, если:

1) частичные суммы в совокупности ограничены;

2) последовательность функций монотонна для каждогои равномерно настремится к нулю при.

Свойства функциональных рядов

1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Если члены ряда непрерывны и этот ряд равномерно сходится к своей суммена отрезке, то ряд можнопочленно интегрировать, т. е. выполняется равенство

,

причем полученный функциональный ряд тоже будет сходиться равномерно.

3. Если члены сходящегося ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке, а ряд производныхравномерно сходится на отрезке, то рядсходится равномерно на отрезкеи допускаетпочленное дифференцирование, т. е.

.

Пример 2.1. Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках:

а) на отрезке;

б) на всей числовой прямой;

в) на всей числовой прямой.

Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Тогда:

а) Т. к. при выполняется неравенство, а рядсходится, то рядравномерно и абсолютно сходится на отрезке.

б) Ряд равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т. к., а рядсходится.

в) Неравенство выполняется при любом. Числовой рядсходится. Следовательно, рядравномерно и абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 2.2. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда:

а) ; б).

Решение. а) Обозначив , будем иметь

.

На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится абсолютно, если , т. е. при; ряд расходится, если, т. е. если. Приполучаем гармонический ряд, который расходится, а при– ряд, который (по признаку Лейбница) сходится условно.

Таким образом, область сходимости,область абсолютной сходимости.

б) Обозначим . Имеем

.

Ряд сходится абсолютно, если, т. е. при; ряд расходится, если. Приполучаем ряд, а при– ряд. Оба ряда расходятся.

Таким образом, область сходимости и абсолютной сходимости ряда.

Пример 2.3. Доказать, что ряд не сходится равномерно в интервале, но сходится равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.

Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим при

.

Интервал содержит точки, сколь угодно близкие к точке, а так как, то, как бы велико ни было число, найдутся точки, для которыхбольше любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое, чтобы принеравенствоимело место во всех точках интервала. Это означает, что сходимость ряда в интервалене является равномерной.

Возьмем лежащий внутри интервала отрезок, где– сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке, следовательно,. Поскольку числовой рядсходится, то, по признаку Вейерштрасса, рядсходится абсолютно и равномерно на любом отрезке.

Найти область сходимости и область абсолютной сходимости функционального ряда:

2.1. .	2.2. .
2.3. .	2.4. .
2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .
2.9. .	2.10. .

Исходя из определения равномерной сходимости доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:

2.11. .	2.12. .
2.13. .
2.14. .

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:

2.15. .	2.16. .
2.17. .	2.18. .
2.19. .	2.20. .
2.21. .	2.22. .

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функциональный ряд в указанном промежутке:

2.23. .	2.24. .
2.25. .	2.26. .

Ответы: 2.1. Сходится абсолютно при .2.2. Сходится абсолютно при всех .2.3. Сходится абсолютно при .2.4. Сходится абсолютно при .2.5. Сходится абсолютно при , сходится условно при.2.6. Сходится абсолютно на отрезках ,.2.7. Сходится абсолютно при .2.8. Сходится абсолютно при .2.9. Сходится абсолютно при .2.10. Сходится абсолютно при .2.23. Сходится равномерно. 2.24. Сходится равномерно. 2.25. Сходится равномерно. 2.26. Сходится равномерно.