126

5.5. Анализ надежности систем сложной структуры

5.1. Методы расчета показателей надежности сложных систем

При анализе надежности сложных систем возникают трудности, часто непреодолимые. Их основными причинами являются:

–отсутствие достоверных данных о надежности элементов;

–слишком большие размерности уравнений, описывающих функционирование сложной системы в смысле ее надежности;

–недостаточные математические знания разработчика сложных высоконадежных технических и информационных систем.

Сложные системы состоят из большого числа простых элементов, из которых конструируются узлы и блоки. Из узлов и блоков образуются подсистемы, из которых затем создается сложная система. Законы распределения времени до отказа элементов часто бывают известными, но созданные из них узлы, блоки и, тем более, подсистемы имеют произвольные законы распределения времени до отказа, параметры которых исследователю неизвестны. Знания лишь показателей надежности узлов, блоков и подсистем недостаточно для определения показателей надежности сложной системы.

Сложные восстанавливаемые технические и информационные системы часто бывают избыточными с различными видами резервирования и дисциплинами обслуживания. Число состояний таких систем настолько велико, что определить их показатели надежности точными методами практически невозможно. В таких случаях приходится применять приближенные методы, делать обоснованные допущения, выбирать необходимый математический аппарат. Кроме того, необходимо глубоко понимать физическую сущность задачи. Специалист, который ведет анализ надежности сложной системы, должен иметь большие знания в различных областях науки. Он должен также владеть компьютерной технологией решения математических задач. Вот почему анализ надежности сложной системы в большинстве случаев требует научных исследований.

Трудности анализа надежности в ряде случаев можно преодолеть, если хорошо владеть теорией и глубоко знать физическую сущность задачи. Такими случаями являются:

–сравнительная оценка вариантов структурных схем с целью выбора наилучшего;

–оценка границ показателей надежности системы;

–приближенные расчеты, основанные на допущениях, не противоречащих физической сущности задачи и обеспечивающих допустимую точность вычисления показателей надежности.

Внастоящей главе будут показаны способы оценки надежности сравнительно сложных систем, которые не поддаются расчетам точными методами. Описать эти способы, доведя их до инженерных методик, вряд ли возможно, т. к. в каждом конкретном случае они имеют особенности.

5.2. Оценка надежности сложных систем по данным о надежности подсистем, независимых по восстановлению

5.2.1. Экспоненциальные распределения

Рассмотрим сложную восстанавливаемую техническую систему, структурная схема которой представляет собой основное соединение г подсистем типовых структур. Под типовой структурой понимается техническое устройство, обслуживаемое независимо от остальных подсистем, т. е. имеющее свои ремонтные органы и свою дисциплину восстановления. Будем считать, что при отказе системы из-за отказа какой-либо типовой структуры остальные подсистемы не работают и поэтому не могут отказать в течение периода ремонта системы. Однако в подсистемах могут восстанавливаться отказавшие ранее элементы. Такими системами являются автоматизированные системы управления технологическими процессами и многие информационные системы.

127

Если система состоит из большого числа подсистем, то применение известных методик вызывает вычислительные трудности, обусловленные чрезвычайно большим количеством состояний системы. Но для стационарных показателей надежности можно привести достаточно близкие между собой нижнюю и верхнюю оценки. Здесь описывается способ получения этих оценок и приводятся простые расчетные формулы, позволяющие по заданным показателям надежности типовых структур определить показатели надежности всей системы.

Для получения таких, оценок анализируются две другие системы, показатели надежности одной из которых выше, а другой – ниже аналогичных характеристик надежности исходной системы, причем эти характеристики сравнительно легко могут быть вычислены. Такие системы образуются из исходной, если сделать следующие допущения относительно ее функционирования:

1.После отказа какой-либо подсистемы другие подсистемы полностью отключаются, т. е. даже при наличии свободных ремонтных бригад элементы этих подсистем не могут восстанавливаться и к моменту окончания ремонта данной подсистемы сохраняют все свои вероятностные характеристики такими же, как и в начале ремонта.

2.Если какая-либо подсистема пришла в предотказовое состояние, из которого обязательно последует переход в отказовое состояние, то все остальные подсистемы отключаются

исохраняют свои вероятностные характеристики на время пребывания системы в соответствующем предотказовом состоянии. При этом предотказовое состояние считается состоянием работоспособности всей системы.

Очевидно, что если система удовлетворяет первому допущению, то, получив для нее коэффициент готовности и наработку на отказ, будем иметь нижние оценки Kr(н) и Т(н) для соответствующих показателей надежности исходной системы. Второе допущение позволяет найти верхние оценки Kr(в) и Т(в) для коэффициента готовности и средней наработки на отказ исходной системы.

Для каждой i-ой типовой структуры (i = 1, 2, ..., r) должны быть предварительно получены следующие показатели надежности: коэффициент готовности Kri, наработка на отказ Ti

ивероятность P0i. Коэффициент готовности и наработка на отказ вычисляются в соответствии с методикой, изложенной в [3]. Вероятность P0i вычисляется по формуле:

где pj – стационарная вероятность j-го предотказового состояния; λj – суммарная интенсивность переходов из j-го предотказового состояния во все состояния отказа; μj – суммарная интенсивность переходов из j-го предотказового состояния во все исправные состояния. Суммирование в формул (5.1) производится по всем предотказовым состояниям, за исключением начального.

Нижняя и верхняя оценки коэффициента готовности рассчитываются по формулам:

Относительная погрешность расчета определяется по коэффициенту простоя системы. Эта погрешность (для высоконадежных систем) более наглядно по сравнению с погрешностью по Кr отражает физическую сущность расчетов. Относительная погрешность вычисляется по формуле:

128

Нижняя и верхняя оценки наработки на отказ рассчитываются по формулам:

За истинное значение наработки на отказ принимается среднее арифметическое нижней и верхней оценок:

5.2.2. Произвольные распределения

В предыдущем разделе была показана возможность приближенного расчета показателей надежности систем, представляющих собой последовательное соединение типовых структур в случае, когда законы распределения времени безотказной работы и времени восстановления элементов каждой типовой структуры экспоненциальные. Однако формулы (5.2) и (5.5) получены без учета экспоненциальности распределений и, следовательно, справедливы в общем случае.

Описанный ранее метод применим и в том случае, когда система представляет собой последовательно-параллельное соединение типовых структур (резерв нагруженный). Для этого резервированные узлы следует рассматривать как самостоятельные типовые структуры. Покажем, как можно найти показатели Кr, Т и Р0 для резервированных узлов по аналогичным показателям типовых структур. Функционирование резервированного узла, элементы которого имеют независимое обслуживание, можно описать графом состояний, в ветви которого ставятся величины, обратные наработке на отказ и среднему времени восстановления соответствующих элементов. В данном случае под элементом подразумевается типовая структура.

Предположим, что резервированный узел имеет кратность резервирования m, т. е. он состоит из m + 1 типовой структуры, причем i-я типовая структура имеет коэффициент готовности Kгi, наработку на отказ Ti, среднее время восстановления Tвi, i = 0, 1, 2,..., m. Тогда коэффициент готовности и наработка на отказ всего узла определяются по формулам:

Теперь для узла в целом вычислим вероятность Р0. Узел окажется в j-ом предотказовом состоянии (j = 0, 1, 2,..., m), если все его типовые структуры кроме j-ой откажут, и будут восстанавливаться, а j-ая структура будет исправна. Следовательно, вероятность j-го предотказового состояния равна:

m

Pj = ∏(1− Kri )Krj .

i=0, i≠ j

129

По формулам (5.9) и (5.10) находятся требуемые показатели Кг, Т и Р0 для каждого резервированного узла. После этого определяются нижние и верхние оценки коэффициента готовности и наработки на отказ всей исследуемой системы.

5.3. Примеры решения задач

Убедимся на примерах в справедливости двусторонних оценок показателей надежности по формулам (5.2) и (5.5).

Пример 5.1. Структурная схема системы состоит из двух устройств (рис. 5.1). Первое устройство представляет собой дублированную систему, а второе – один элемент. Интенсивности отказов и восстановлений всех элементов одинаковы и равны λ и μ соответственно.

Каждое устройство обслуживается одной ремонтной бригадой. Требуется определить нижние и верхние оценки коэффициента готовности и наработки на отказ.

Рис. 5.1. Схема расчета надежности

Решение. Граф состояний на рис системы представлен. 5.2.

По графу составим систему уравнений для определения стационарных значений вероятностей состояний системы:

Из решения этой системы найдем:

где ρ = λμ .

Следовательно, коэффициент готовности будет равен

131

Пример 5.2. Требуется определить коэффициент готовности, наработку на отказ и среднее время восстановления системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.4. Система представляет собой основное соединение четырех независимо обслуживаемых технических устройств (ТУ). Законы распределения времени безотказной работы и времени восстановления каждого элемента экспоненциальные.

Рис. 5.4. Схема расчета надежности

Интенсивности отказов и восстановлений элементов, а также дисциплина обслуживания каждого устройства различны:

–структура 1: λ1 = 0,02 час-1, μ1 = 0,5 час-1, λ2 = 0,01 час-1, μ2 = 1 час-1, одна ремонтная бригада, прямой приоритет обслуживания;

–структура 2: λ3 = 0,03 час-1, μ3 = 0,6 час-1, λ4 = 0,04 час-1, μ4 = 0,8 час-1, одна ремонтная бригада, обратный приоритет обслуживания;

–структура 3: λ5 = 0,01 час-1, μ5 = 1 час-1, одна ремонтная бригада;

–структура 4: λ6 = 0,02 час-1, μ6 = 0,2 час-1, одна ремонтная бригада, прямой приоритет обслуживания.

Решение. Определим характеристики K ri, Ti , P0i для каждой типовой структуры. Как следует из примера 5.1, требуемые характеристики для типовой структуры 1 имеют следующие значения:

– оценки средней наработки на отказ:

T ( H ) = 37,79 час , T ( B) = 38,30 час, Т = 38,04 час;

– уценка среднего времени восстановления:

TB = 1,45 час.

Относительные погрешности расчетов оставляют:

δKn = 0,54%,δT = 0,67% .

132

Пример 5.3. Рассмотрим сложную систему, структурная схема которой изображена на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Структурная схема расчета надежности

Система состоит из пяти типовых структур, причем структуры 1, 2, 3 нерезервированы, а типовые структуры 4 и 5 образуют дублированную систему (резерв нагруженный). Структура 1 представляет собой дублированную систему с облегченным резервом. Время безотказной работы обоих элементов имеет экспоненциальное распределение с параметрами λ = 0,01 час-1 для основного и 0,5λ для резервного элемента. Время восстановления каждого элемента имеет распределение Эрланга 2-го порядка с параметром μ = 0,5 час-1. Обслуживание структуры осуществляет одна ремонтная бригада.

Структура 2 представляет собой дублированную систему с ненагруженным резервом. Время безотказной работы основного и резервного элементов имеет распределение Эрланга третьего порядка с параметрами λ1 = 0,05 час-1 и λ2 = 0,08 час-1 соответственно. Время восстановления каждого элемента подчинено распределению Эрланга второго порядка с параметрами μ1 = 0,2 час-1 и μ2 = 0,25 час-1 соответственно. Ремонт отказавших элементов осуществляет одна ремонтная бригада с прямым приоритетом.

Структура 3 состоит из трех элементов. Законы распределения времени безотказной работы экспоненциальные с параметрами λ1 = 0,005 час-1, λ2 = 0,0025 час-1, λ3 = 0,0004 час-1. Время восстановления каждого элемента имеет распределение Эрланга второго порядка с параметрами μ1 = 0,2 час-1, μ2 = 0,25 час-1, μ3 = 4 час-1. Обслуживание структуры осуществляет одна ремонтная бригада с обратным приоритетом.

Структура 4 представляет собой дублированную систему с нагруженным резервом. Время безотказной работы обоих элементов экспоненциальное с параметрами λ1 = 0,02 час-1, λ2 = 0,04 час-1 соответственно. Времена восстановления имеют распределения Эрланга 2-го порядка с параметрами μ1 = 0,2 час-1, μ2 = 0,25час -1 соответственно. Восстанавливает структуру одна ремонтная бригада с прямым приоритетом.

Структура 5 состоит из одного элемента. Время безотказной работы и время восстановления имеет экспоненциальное распределение с параметрами λ = 0,01 час-1, μ = 0,25 час-1 соответственно.

Требуется определить коэффициент готовности, наработку на отказ и средне время восстановления всей системы.

Решение. Показатели надежности типовых структур рассчитываются обычными методами путем графического изображения состояний и переходов между ними, составления и решения системы интегральных уравнений и определения требуемых показателей. Можно использовать также программы, предназначенные для расчета надежности типовых структур, элементы которых имеют произвольные законы распределения времени безотказной работы восстановления.

Вычислим показатели надежности Кr, Т и Р0 для типовых структур1, 2, 3. Для типовой структуры 1 имеем:

133

Усмотрим структуру З. Ее дисциплина обслуживания такова, что стационарные характеристики не зависят от законов распределения, поэтому KГ = p0 + p1 + p2 ,

Для структуры 4 определим значения интенсивностей переходов в графе состояний:

а затем обычным способом, например путем решения системы линейных уравнений или непосредственно по графу, определить требуемые характеристики Т, Тв и Кr. Для структуры 5 эти характеристики находятся непосредственно по исходным данным.

Требуемые показатели Кr, Т, Р0 для узла, объединяющего типовые структуры 4 и 5, определяются по формулам (5.9) и (5.10). Необходимые для дальнейших расчетов показатели сведены в табл. 5.3.

В соответствии с формулами (5.2)–(5.5) определяются нижние и верхние оценки коэффициента готовности и наработки на отказ всей системы. Они имеют значения:

K (H )Г = 0,9880 час, K (B)Г = 0,9881 час, T ( H ) = 328,29 час , T ( B) = 332,61 час.

Поэтому принимаем Кг = 0,988, T = 330,45 час. При этом относительная погрешность не

134

превышает δKn = 0,0042 по коэффициенту простоя δT = 0,0065 по наработке на отказ. Среднее время восстановления равно Tв = 4,01 час.

Пример 5.4. Восстанавливаемая система представляет собой систему с раздельным (поэлементным) резервированием и прямым приоритетом обслуживания. Структурная схема (схема расчета надежности) системы приведена на рис 5.6.

Рис. 5.6. Структурная схема системы

Значения интенсивностей отказов и восстановления элементов приведены в табл. 5.4.

По техническим условиям система должна удовлетворять следующим требованиям надежности: коэффициент готовности Кг > 0,97. Необходимо определить, удовлетворяет ли система этим требованиям. Решение. Число состояний системы более 100. Составить и решить систему Уравнений такой размерности очень трудно, хотя и возможно при использовании компьютерных технологий. Однако обратимся к теории. Известно, что нижняя оценка коэффициента годности Кгс системы может быть вычислена по следующей формуле:

n

K rc = ∏K ri , i=1

где Kгi – коэффициент готовности i-го элемента; n – число элементов системы. Под элементом понимается любая часть системы, имеющая показатель надежности самостоятельно учитываемый при расчетах. В нашем примере это резервированные элементы.

Таким образом, проверить условие Кг > 0,97 можно путем вычисления коэффициентов готовности элементов системы с последующим их перемножением. Если окажется, что полученное значение больше 0,97, то система удовлетворяет требованиям. Выражения для Kгj элементов нашей системы просты и имеют вид:

135

Значения р, и коэффициентов готовности элементов приведены в табл. 5.4. Коэффициент готовности системы, вычисленный как произведение коэффициентов готовности элементов, имеет значение: Кrс = 0,9865. Результат расчета показывает, что система удовлетворяет требованиям надежности. Действительные значения ее надежности будут несколько выше расчетных. Итак, мы решили поставленную задачу достаточно простым способом, не составляя и не решая систему, состоящую из более 100 уравнений.

Пример 5.5. Разработчик предложил два варианта структурной схемы системы: схему, изображенную на рис. 5.6, и схему с основным соединением элементов с использованием нагрузочного резервирования, при котором интенсивности отказов элементов уменьшились в ni

раз. Значения ni: n1 = 2, n2 = 2,5, n3 = 3, n4 = 1,5, n5 = 2.

Необходимо установить, какая из предложенных структурных схем имеет более высокую надежность. Критериями надежности являются вероятность и среднее время безотказной работы. Необходимо рассмотреть два случая: система невосстанавливаемая и восстанавливаемая с одной ремонтной бригадой и прямым приоритетом обслуживания. Интенсивности отказов и обслуживания элементов приведены в табл. 5.5.

Таблица 5.5 Интенсивности отказов и обслуживания элементов системы

Решение. Обратим внимание на то обстоятельство, что в задаче не указано время работы системы. Поэтому решим задачу, не вычисляя вероятностей состояний и вероятности безотказной работы системы.

Из теории известно, что интенсивность отказа резервированной системы λс(t) при t = 0 также равна 0 и с ростом t увеличивается, стремясь к своему пределу – интенсивности отказа нерезервированной системы. На рис. 5.7 изображены графики интенсивностей отказа трех систем. Цифрой 1 обозначена интенсивность отказа исходной нерезервированной системы, равная сумме интенсивностей отказов элементов, приведенных в табл. 5.5, и равная λисх = 0,008 час-1. Цифрой 2 обозначена интенсивность отказа системы с нагрузочным резервированием, равная 0,00388 час-1.

График структурно резервированной системы обозначен цифрой 3. При t = 0 интенсивность отказа системы равна интенсивности отказа нерезервированного элемента λ2 = 0,001 час-1 и с ростом t возрастает, стремясь к интенсивности отказа исходной нерезервированной системы.

Из рис. 5.7 видно, что интенсивность отказа структурно резервированной системы при t ≤ τ ниже интенсивности отказа системы с нагрузочным резервом. Это значит, что вероятность ее безотказной работы P(t) при t ≤ τ, выше вероятности безотказной работы системы с нагрузочным резервом.

Определим критическое значение τ, при котором вероятности безотказное работы обеих систем одинаковы. Это значение не будет совпадать с τ на рис. 5.7, т. к. критерии разные.

Рассмотрим случаи невосстанавливаемые системы. Выражение вероятности безотказной работы структурно резервированной системы имеет вид:

Pc (t) = (1−(1−e−λ1t )2 )e−λ2te−λ3t (1+λ3t)e−λ4t (1+λ4t)(3e−2λ5t −2e−3λ5t ) .

136

Рис. 5.7. Интенсивности отказа исходной системы (кривая 1), системы с нагрузочным резервированием (кривая 2) и системы структурно резервированной (кривая 3)

Вероятность безотказной работы системы с нагрузочным резервированием определяется выражением:

Pc (t) = e−λct ,

где λc = ∑5 λi . В нашем случае λс = 0,00388 час-1.

i=1 ni

Технология определения т с помощью системы Derive имеет вид:

^ −λ1 t

#1: 1−(1−e )2

^ −λi t

#2: e

^ −λ3 t

#3: e (1+λ3 t)

#10: t = 372.8926679

В строках #1–#5 находятся введенные выражения вероятностей безотказной работы элементов структурно резервированной системы. В строке #6 представлено выражение веро-

137

ятности безотказной работы с нагрузочным резервированием, в строке #7 – исходное уравнение для определения т. Это уравнение с подставленными исходными данными находится в строке #8. В строке #9 представлена функция NSOLVE решения уравнения из диапазона τ=0,1÷500 час. После нажатия кнопки Approximate на панели инструментов получаем ответ, который находится в строке #10.

Критическое значение τ = 373 час. При этом времени вероятность безотказной работы системы равна P(373) = 0,235. Таким образом, система со структурным резервированием является более надежной в течение времени работы t = 373 час. При t > 373 более надежной станет система с нагрузочным резервом. Но при этом ее надежность будет достаточно низкой. Зависимости Pc(t) для обеих схем показаны на рис. 5.8. Из рисунка видно, что вероятность безотказной работы системы со структурным резервированием (кривая 1) в диапазоне времени t < 373 час существенно выше вероятности безотказной работы системы с нагрузочным резервированием (кривая 2).

Рис. 5.8. Вероятность безотказной работы резервированных систем

Принятие решения о наилучшем варианте структурной схемы существенно висит от выбранного критерия надежности. Покажем это на нашем примере. Пусть наша система – это система длительного использования, и ее критерием надежности является среднее время безотказной работы. Вычислим T1 по формуле:

T1 = ∞∫Pc (t)dt .

0

Интегрируя выражения вероятностей безотказной работы рёзервированных систем, получим: среднее время безотказной работы структурно резервированной системы T1 = 263,7 час, а системы с нагрузочным резервированием T1 = 257,7 час. В этом случае структурное резервирование малоэффективно. Большой объем резервных элементов приводит к незначительному повышению среднего времени безотказной работы системы.

Рассмотрим случай системы с восстановлением. При этом сделаем следующие допущения:

–на время восстановления подсистемы элементы других подсистем не могут восстанавливаться;

–приоритет в обслуживании слабо влияет на вероятность безотказной работы системы. Первое допущение означает, что при отказе системы восстанавливается только тот

элемент, из-за отказа которого произошел отказ системы. На период его ремонта восстановление других элементов запрещено. Это допущение снижает эффективность восстановления.

138

В действительности вероятность безотказной работы системы будет выше, чем при таком допущении.

Второе допущение обосновано нами ранее при решении ряда примеров и задач в предыдущих главах книги.

При принятых допущениях вероятность безотказной работы структурно резервированной системы равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов, т. е.

n

Pc (t) = ∏Pi (t) .

i=1

Внашем примере граф состояний любого дублированного элемента имеет вид, приве-

денный на рис. 5.9.

Вероятность безотказной работы такого элемента можно получить из решения следующей системы уравнений (переход из состояния (2) в состояние (1) запрещен – экран):

P0 '= −aP0 + mP1 ;

P1 '= −aP0 −(b + m)P1 .

При начальных условиях P0(0) = 1, P1(0) = 0 система уравнений в преобразовании Лапласа имеет вид:

(s + a)P0 − mP1 =1;

− aP0 + (s +b + m)P1 = 0 .

Рис. 5.9. Граф состояний элементов системы

Из этой системы уравнений получим:

Так как состояния (0) и (1) соответствуют исправным состояниям элемента, то выражение для вероятности безотказной работы в преобразовании Лапласа имеет вид:

Первый элемент структурной схемы на рис. 5.6 – это дублирование с постоянно включенным резервом. В этом случае a = 2λ1, b = λ1, m = μ1. Третий и четвертый элементы образуют дублирование замещением. Тогда а = λ3, b = λ3, m = μ3 и, соответственно, для схемы 4 а = λ4, b = λ4, m = μ4. Пятый элемент структурной схемы – это резервирование с дробной

кратностью m = 1/2. В этом случае, а = 3λ5, b = 2λ5, m = μ5.

Подставляя в выражение P(s) численные значения интенсивностей переходов из табл. 5.5, получим следующие выражения Pi(s) каждого резервированного элемента:

Второй элемент системы нерезервирован, его вероятность безотказной работы равна:

P2 (t) = e−λ2t = e−0,001t э

Теперь нужно найти оригиналы функций P1(s), P3(s), Р4(s), P5(s),образовать их произведение и получить вероятность безотказной работы системы, сравнив ее с вероятностью безотказной работы системы с нагрузочным резервированием.

Так как система с нагрузочным резервированием представляет собой систему с основ-

ным соединением элементов и экспоненциальным законом времени до отказа, то ее вероятность безотказной работы не зависит от восстановления и равна Pc(t) = е-0.00388

Далее приводятся результаты расчетов, выполненные с помощью системы Derive 5.

Встроках #1–#5 находятся выражения вероятностей безотказной работы элементов

системы. Выражения получены путем обратного преобразования Лапласа, функций Pi(t) с помощью системы Mathcad.

Встроке #6 находится выражение вероятности безотказной работы системы с нагрузочным резервированием, в строке #7 – вероятность безотказной работы структурно резервированной системы в виде произведения вероятностей безотказной работы элементов. По выражениям #6 и #7 построены графики вероятностей безотказной работы систем (рис. 5.10).

На рис. 5.10 приняты следующие обозначения:

–кривая 1 – вероятность безотказной работы структурно резервированной системы;

–кривая 2 – вероятность безотказной работы системы с нагрузочным резервированием;

–кривая 3 – вероятность безотказной работы второго нерезервированного элемента структурно резервированной системы.

По виду графиков можно сделать следующие выводы:

–надежность структурно резервированной системы выше надежности системы с нагрузочным резервированием во всем диапазоне времени их работы;

–вероятность безотказной работы структурно резервированной системы определяется главным образом вероятностью безотказной работы ее нерезервированного элемента (кри-

140

вые 1 и 3 почти совпадают);

– восстановление отказавших резервированных элементов существенно повышает надежность системы.

Рис. 5.10. Вероятности безотказной работы резервированных систем

Большой выигрыш дает структурное резервирование с восстановлением, если надежность системы оценивать средним временем безотказной работы. Расчеты по формуле

T1 = ∞∫Pc (t)dt дают следующие результаты:

0

– среднее время безотказной работы системы с нагрузочным резервированием

T1 = 257,7 час;

–среднее время безотказной работы структурно резервированной восстанавливаемой системы T1 = 921 час;

–среднее время безотказной работы структурно резервированной восстанавливаемой

системы без учета нерезервированного элемента 2 T1 = 11750 час.

Универсальные программные средства компьютерной алгебры позволяют решать задачи надежности технических систем, содержащих сотни резервированных элементов. В этом можно убедиться на нашем примере.

Пусть система состоит из 10 и 20 систем нашего примера, соединенных последовательно в смысле надежности. Тогда число элементов в системах будет соответственно 50 и

100.Derive 5 вычислила среднее время безотказной работы этих систем соответственно за 40 секунд и 12 минут. Среднее время их безотказной работы равно 53 часам и 31,6 часа. Вероятность безотказной работы любой системы является убывающей функцией времени, быстро стремящейся к нулю. Поэтому при вычислении среднего времени безотказной работы можно вычислять интеграл не до бесконечности, а руководствуясь видом функции Р(1). Это позволит сократить время вычисления T1.

5.4. Задачи для самостоятельного решения

5.1. Структурная схема восстанавливаемой системы состоит из пяти элементов, каждый из которых дублирован идентичным элементом. Применено резервирование с постоянно включенным резервом. Последействий отказов отсутствует. Варианты интенсивностей отказов и восстановления элементов приведены в табл. 5.6.

Необходимо установить, удовлетворяет ли система требованиям надежности. Критериями надежности могут быть: вероятность безотказной работы P(t), среднее время безот-

141

казной работы T1 коэффициент готовности Кг, наработка на отказ Т. Значения этих показателей приведены в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Интенсивности отказов и восстановления элементов и требования на надежность системы