Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Н а д е ж н о с т ь / Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf

Скачиваний:

773

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

5.3. Расчет показателей надежности нерезервированных восстанавливаемых систем

3.1. Основные теоретические сведения

Критериями надежности нерезервированных восстанавливаемых систем являются:

–Kг(t) – функция готовности (вероятность того, что система готова к работе в произвольный момент времени t);

–Кг – коэффициент готовности (финальная вероятность того, что система исправна в произвольный момент времени t);

–Т – наработка на отказ (среднее время между отказами);

–Тв – среднее время восстановления системы;

–ω(t) – параметр потока отказов.

Между этими показателями существуют следующие зависимости:
K Г	=	T	,	(3.1)
K Г	=	T +Tв	,	(3.1)
		T +Tв
K Г	= lim K Г (t) .			(3.2)
		t→∞

Показатели надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем связаны между собой следующим интегральным уравнением:

ω(t) = f (t) + ∫t	ω(τ) f (t −τ)dτ,	(3.3)
0

где f (t) – плотность распределения времени до отказа невосстанавливаемой системы.

Решение этого интегрального уравнения не позволяет получить в явном виде зависимость функции готовности от таких показателей надежности системы, как вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, наработка на отказ, среднее время восстановления и др.

Простых расчетных соотношений в виде формул для определения функции готовности не существует даже для простейших случаев. Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере системы как одного элемента.

3.1.1. Надежность восстанавливаемой системы как одного элемента

Пусть f (t) – плотность распределения времени до отказа, P(t) – вероятность безотказ-

ной работы, Т – математическое ожидание времени до отказа, g(t) – плотность распределения времени восстановления системы, Тв – математическое ожидание времени восстановления.

Основная сложность расчета показателей надежности состоит в вычислении функции

готовности Kг(t).

Из теории известно, что функция готовности удовлетворяет интегральному уравнению:

КГ (t) = f g KГ (t) + P(t).	(3.4)
Решением уравнения (3.4) является функция
∞
КГ (t) = P(t) + ∑ f (k ) g (k ) P(t).	(3.5)

k =1

Функция Kг(t) представлена в аналитическом виде, но в общем случае непригодна для инженерных расчетов. Рассмотрим частные случаи, допускающие аналитическое или численное решение уравнения (3.4).

Постоянные интенсивности отказа и восстановления.

Пусть λ – интенсивность отказа, а μ – интенсивность восстановления системы. Тогда

КГ (t) =	μ		+	λ		е	−(λ+μ)t	.	(3.6)
	λ +	μ		λ +	μ

Это следует из решения системы дифференциальных уравнений, а также из формулы

(3.4).

Нормальные законы распределения времени до отказа и времени восстановления.

Пусть время до отказа и время восстановления имеют нормальные распределения с параметрами соответственно Т и σ , Тв и σв .

Члены ряда (3.5) представим в виде разности двух функций распределения:

f (k ) g (k ) P(t) = f (k ) g (k ) 1(t) − f (k +1) g (k ) 1(t).

Так как f (k ) (t)

– плотность нормального распределения с параметрами kT

kσ , a

g (k ) (t) плотность

нормального

распределения

параметрами

kσ

то

f (k ) g (k ) 1(t)

–

функция

нормального

распределения

параметрами kT + kT

kσ 2

+ kσв2 . Аналогично f (k )

g (k ) 1(t) – функция нормального распределения с парамет-

рами

(k +1)T + kT

(k +1)σ 2

+ kσ 2

. Тогда:

t − kT

− kT

−(k +1)T − kT

f (k ) g (k ) P(t) = Ф

−Ф

(3.7)

kσ

+ kσ

(k +1)σ

+ kσ

где Ф0(t) – функции Лапласа.

На основании (3.2), получим следующую формулу для коэффициента готовности:

t −T

∞

t − kT − kT

t −(k +1)T − kT

КГ (t) = 0,5 −Ф0

+ ∑

Ф0

−Ф0

(3.8)

kσ

+ kσ

(k +1)σ

k =1

+ kσв

Произвольные интенсивности отказа и восстановления.

Самый простой способ решения интегрального уравнения (3.4) для случая разных интенсивностей отказов и восстановлений элементов состоит в использовании численных методов. По определению свертки из (3.4) получим:

	КГ (t) = ∫1	f g(t − x)Kr (x)dx + P(t).		(3.9)
	0
Для вычисления интеграла применим формулу трапеций:
		k −1	+ P(kh), k =1,2,..., n,	(3.10)
КГ (kh) = h 0,5	f g(kh) + ∑ f g((k −i)h)K Г (ih)		+ P(kh), k =1,2,..., n,	(3.10)
		i=1

где h – шаг интегрирования; п – требуемое количество значений функции готовности. Выбор формулы трапеций связан с тем, что на каждом шаге значение Kг(t) зависит

только от значений, вычисленных на предыдущих шагах. Точность вычислений обеспечивается надлежащим выбором шага интегрирования. Пусть время восстановления системы постоянное, т. е. g(t) = δTв (t) . Тогда

f g(t) =	f δT	f (t −Tв ), при t ≥ Tв		;	(3.11)
		(t) =	при t < Tв.
	в	0,

Аналогично можно получить формулы свертки, а значит, и алгоритм вычисления Kг(t) для некоторых других распределений времени до отказа и восстановления. Но в общем случае рассчитывать значения функции f g(t) приходится на основе численных методов с

применением квадратурных формул Симпсона, Котеса и др. Если плотности распределения являются непрерывными функциями и время восстановления системы невелико по сравнению со временем ее работы, то можно применить формулу Гаусса. Для функции ϕ(t) = f g(t) формула Гаусса с k узлами имеет вид:

1	t	1	t			t		t	k	t			t
∫ϕ(x)dx =		∫ϕ			x +		dx =		∑ciϕ			xi +		,	(3.12)
	2			2		2					2		2
0		−1						2 i=1

где ci и xj – соответственно веса и узлы квадратурной формулы Гаусса. В табл. 3.1 приведены веса и узлы для случая k = 7.

		Таблица 3.1
	Веса и узлы формулы Гаусса

i	ci	xi
1	0,129484966168870	–0,949107912342759
2	0,279705391489277	–0,741531185599394
3	0,381830050505119	–0,405845151377397
4	0,417959183673469	0,000000000000000
5	0,381830050505119	0,405845151377397
6	0,279705391489277	0,741531185599394
7	0,129484966168870	0,949107912342759

3.1.2. Показатели надежности восстанавливаемой системы, состоящей из п элементов

Схема расчета надежности системы очевидна. Она представляет собой последовательное, в смысле надежности, соединение элементов. Приведем расчетные соотношения для показателей надежности системы, состоящей из п элементов. Стационарные показатели надежности восстанавливаемой системы выражаются через среднее время безотказной работы и среднее время восстановления элементов. При этом наработка на отказ Т, среднее время восстановления Тв и коэффициент готовности Кг системы определяются по формулам:

∑

вi

Т =

i=1

(3.13)

∑

1 + ∑

i=1

i 1

В большинстве практических случаев при расчетах показателей надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем известными являются интенсивности отказов λi и

интенсивности восстановления μi элементов, i = 1, 2, ... n. Тогда формулы для показателей надежности имеют вид:

Т =

, λс = ∑λi , Tв =

∑

, Kr

(3.14)

λс

i=1

λс i=1

μi

T +Tв

1+ ∑

λi

μi

i=1

Для функции готовности системы простые расчетные соотношения отсутствуют. Рассмотрим способы и алгоритмы вычисления Kг(t).

Экспоненциальный закон распределения времени до отказа и времени восстановления элементов.

Математической моделью функционирования системы является система обыкновенных дифференциальных уравнений:

	n
p0′(t) = −λc p0 (t) + ∑μi pi (t);				(3.15)
	i=1			(3.15)
		(t), i =1, 2,K, n,
pi′(t) = λi p0 (t) − μi pi		(t), i =1, 2,K, n,
			n
где: λi – интенсивность отказа i-го элемента;		λс	= ∑λi – интенсивность отказа систе-
			i=1
мы; μi – интенсивность восстановления i-го элемента;			p0 (t) = Кг (t) – вероятность того, что
в момент t система исправна; pi (t)	– вероятность того, что в момент t система находится в

неисправном состоянии вследствие отказа i-го элемента.

Систему (3.15) линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решить двумя способами: аналитическим и численным.

Однако получить решение в виде формулы для произвольного и можно лишь для случая ограниченного числа элементов или при фиксированных значениях интенсивностей их отказа и восстановления.

Существуют приближенные методы, позволяющие получить решение в аналитическом виде. Однако при этом возникают проблемы с оценкой погрешностей результатов вычисления показателей надежности.

Проще всего решить систему (3.13) численным методом, например, методом РунгеКутта.

Экспоненциальный закон распределения времени до отказа и произвольный закон времени восстановления элементов.

Математической моделью является система интегральных уравнений. Если время безотказной работы i-го элемента имеет экспоненциальный закон распределения с параметром λi , то из системы интегральных уравнений следует, что функция готовности удовлетворяет

интегральному уравнению:

		КГ (t) = λсе−λсе g КГ (t) + e−λct .	(3.16)
	1	n
где g(t) =	1	∑λi gi (t) – плотность распределения времени восстановления системы;
где g(t) =	λc
	λc	i=1

gi (t) – плотность распределения времени восстановления i-го элемента.

Согласно (3.16) функционирование нерезервированной системы с постоянными интенсивностями отказов с позиций надежности эквивалентно функционированию системы,

имеющей интенсивность отказов λс = ∑λi и закон распределения времени восстановления

		i=1
	1	n
g(t) =	1	∑λi gi (t). Плотность g(t) представляет собой среднее взвешенное плотностей рас-
g(t) =	λс
	λс	i=1

пределения времени восстановления элементов.

Пусть интенсивность восстановления i-го элемента постоянна и равна μi .

	1	n
Тогда g(t) =		∑λi μi е−μit , и функция готовности нерезервированной системы с лю-
	λс
		i=1

бым числом элементов совпадает с функцией готовности одного элемента, имеющего гиперэкспоненциальную плотность распределения времени восстановления. Способ нахождения Kг(t) в этом случае был описан ранее в разд. 3.1.1. Применение численного метода связано с

определением свертки функций f (t) = λсе−λсе и				g(t) . В предположении, что μi ≠ λc , полу-
чим:				n	λi μi
n				n
f g(t) = ∑λi μi e−μit			e−λct = ∑			(e−λct		−e−μit ).	(3.17)
f g(t) = ∑λi μi e−μit			e−λct = ∑		μi −λc	(e−λct		−e−μit ).	(3.17)
i=1				i=1	μi −λc
Пусть время восстановления			элементов		системы			постоянное,	т. е.
	1	n
gi (t) = δвi (t), i =1, 2,..., n. Тогда g(t) =	1	∑λiδTdi		(t) , и, значит,
gi (t) = δвi (t), i =1, 2,..., n. Тогда g(t) =		∑λiδTdi		(t) , и, значит,
	λc i=1
n				n	−λc (t −Твi )
f g(t) = ∑λiδТвi (t) e−λct = ∑λi					e		, при t ≥ Tвi ;		(3.18)
i=1				i=1	0,		при t < Tвi .

Аналогично можно получить формулы свертки, а следовательно, и алгоритм вычисления Kг(t) для некоторых других распределений времени восстановления.

Произвольные законы распределения времени до отказа и времени восстановления элементов.

В общем случае функция готовности нерезервированной системы, состоящей из п элементов, имеет вид:

∞ ∞	∞
K Г (t) = ∑∑K∑( f1 (i1 ) P1 f2 (i2 ) P2 K fn (in ) Pn ) g1 (i1 ) g2(i2 ) K gn(in ) (t). (3.19)
i1 =0 i2 =0	in =0

где: f j (t) – плотность распределения времени безотказной работы; Pj (t) – вероятность безотказной работы j-го элемента; gi (t) – плотность распределения времени восстановления j-го элемента, i =1, 2,..., n.

Формула (3.19) не годится для вычислений. Однако на ее основе для ряда распределений могут быть получены конечные выражения. Предположим, что время восстановления

элементов постоянное g j (t) = δTвj (t) . Тогда

∞ ∞	∞
K Г (t) = ∑∑K∑( f1 (i1 ) P1 f2 (i2 ) P2 ...
i1 =0 i2 =0	in =0

	n		(3.20)
fn (in ) Pn ) t −∑ik Tвi k		,	(3.20)
	k =1

причем слагаемое, соответствующее набору (i1 ,i2 ,K,in ) , обращается в нуль, если

t < ∑ik T вik .

k =1

Рассмотрим два частных случая.

Случай 1. Время безотказной работы j-го элемента имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами Tj и σ j . Тогда

(i j )

(t) = Ф

t −i jTj

−Ф

t −(i j +1)Tj

(3.21)

kσ j

k +1σ j

где Ф0(t) – функция Лапласа. В результате из (3.20) получим следующую формулу для функции готовности системы:

				n		n
∞ ∞	∞	n	t −i jTj −∑ik Tвik		t −(i j +1)Tj −∑ik Tвik
				=		=
K Г (t) = ∑∑K∑∏ Ф0				k 1		k 1
					−Ф0		. (3.22)
				i j σ j	−Ф0	i j +1σ j	. (3.22)
i1 =0 i2 =0	in =0 j=1			i j σ j		i j +1σ j

Случай 2. Время безотказной работы j-го элемента имеет гамма-распределение вероятностей с параметрами α j и β j . Тогда

(i j )

(t) = I

− I

+1)α

∞ ∞

∞

t −∑ik Tвik

(i j +1)α j

t − ∑ik Tвik

K Г (t) = ∑∑K∑∏ I

i jα j ,

k =1

− I

k =1

β j

i1 =0 i2 =0

in =0 j=1

где I (k,t) – неполная гамма-функция.

(3.23)

, (3.24)

Несмотря на то, что (3.22) и (3.24) выражаются многократными рядами, слагаемые в них являются совсем несложными для разработки быстро работающего алгоритма.

Существенным недостатком полученных выражений является, во-первых, отсутствие общности законов распределения и, во-вторых, возможность использования этих формул только для систем с числом элементов, не превышающих нескольких десятков.

Функция готовности нерезервированной системы с большим числом элементов, подчиненных не экспоненциальным законам распределения времени до отказа, может быть получена только приближенно в соответствии с формулой:

K Г (t) =		1		,	(3.25)
K Г (t) =	n		Kпi (t)	,	(3.25)
1+ ∑			Kпi (t)
1+ ∑			Kгi (t)
	i=1		Kгi (t)

где Kпi (t) – функция простоя, Kгi (t) – функция готовности i-го элемента.

Для расчета надежности нерезервированных систем можно использовать программное средство Conspz.exe.

3.2. Примеры решения задач

Пример 3.1. Нерезервированная система состоит из 8 элементов. Интенсивности их отказов приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Интенсивности отказов элементов

Номер элемента	1	2	3	4	5	6	7	8

λi , час−1	0,0003	0,0002	0,0009	0,0006	0,0004	0,0003	0,0005	0,0007

Интенсивности восстановления элементов одинаковы и равны μ = 0,4 час-1.

Требуется определить показатели надежности системы. Решение. Вычислим интенсивность отказа системы:

λс = ∑λi = 0,0003 + 0,0002 + 0,0009 + 0,0006 + 0,0004 + 0,0003 + 0,0005 + 0,0007 =

i=1

0,0039.

Тогда наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности

равны соответственно:																														Т
Т =	1	=	1		= 256,4				час, Т			в	=		1		=	1		= 2,5 час,				К		r	=			Т		=	256,4	= 0,9903.
Т =	λс	=	0,0039		= 256,4				час, Т				=				=	0,4		= 2,5 час,				К			=		Т +			=	256,4 + 2,5	= 0,9903.
	λс		0,0039												μ			0,4											Т +		Тв		256,4 + 2,5
Поскольку интенсивности восстановления элементов одинаковы, то систему можно
рассматривать как один элемент с интенсивностью отказов λс																												и интенсивностью восстанов-
ления μ . Согласно (3.6) получим:
				Кr		(t) =			μ	+			λ			е−(λ+μ)t =					0,4	+			0,0039					e−0,4039t .
				Кr		(t) =		λ	+ μ	+	λ		+ μ			е−(λ+μ)t =					0,4039	+		0,4039						e−0,4039t .
								λ	+ μ		λ		+ μ								0,4039			0,4039
Табулируя функцию от 0 до 40 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в
табл. 3.3.																														Таблица 3.3
									Функция готовности системы																					Таблица 3.3
									Функция готовности системы
																							t, час							Кr (t)
				t, час			Кr (t)						t, час						Кr (t)				t, час							Кr (t)
				0			1							14					0,990378					28						0,990344
				2			0,994649							16					0,990359					30						0,990344
				4			0,992263							18					0,990351					32						0,990344
				6			0,9912							20					0,990347					34						0,990344
				8			0,990726							22					0,990345					36						0,990344
				10			0,990514							24					0,990345					38						0,990344
				12			0,99042							26					0,990344					40						0,990344

График функции готовности изображен на рис. 3.1.

Из рис. 3.1 видно, что время переходного процесса мало и составляет примерно 10 часов. Это значит, что в случае высоконадежной системы (Кг > 0,99) и большой длительности ее работы готовность системы целесообразно оценивать коэффициентом готовности.

Рис. 3.1. Функция готовности системы для одинаковых интенсивностей восстановления

Пример 3.2. Нерезервированная система состоит из 8 элементов. Их интенсивности отказов те же, что и в табл. 3.2. Интенсивности восстановления различны и приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4 Значения интенсивностей восстановления элементов

Номер элемента	1	2	3	4	5	6	7	8

μi , час−1	0,5	0,2	0,1	0,4	0,9	0,7	0,6	0,8

Требуется определить показатели надежности системы.

Решение. По формулам (3.13) находим стационарные показатели надежности:

									1							∑= μλi							1
																n
							Т =					, T =				i 1 i		,	K =					.
							Т =			λс		, T =						,	K =		1	+ ∑λi		.
										λс			в			λс			r		1	+ ∑λi
													в						r				n
																							i=1 μi
Как и в предыдущем примере, интенсивность отказа системы λс = 0,0039																													час−1 . Вы-
числим сумму
n				0,0003			0,0002		0,0009					0,0006					0,0004				0,0003		0,0005			0,0007
∑	λi		=	0,0003		+	0,0002	+	0,0009				+	0,0006			+		0,0004		+		0,0003	+	0,0005		+	0,0007	= 0,0147.
∑			=	0,5		+	0,2	+	0,1				+				+		0,9		+		0,7	+	0,6		+	0,8	= 0,0147.
i=1 μi				0,5			0,2		0,1						0,4				0,9				0,7		0,6			0,8
Тогда			1						= 0,0147														1
T =			1		= 256,4 час, T										= 3,77 час, К					Г	=		1			= 0,9855 ю
T =					= 256,4 час, T										= 3,77 час, К						=					= 0,9855 ю
		0,0039						В			0,0039											1+ 0,0147
		0,0039									0,0039											1+ 0,0147

Определим функцию готовности системы следующими способами:

–решение системы дифференциальных уравнений аналитическим методом;

–решение системы дифференциальных уравнений численным методом;

–решение интегрального уравнения;

–приближенный способ объединения узлов графа состояний системы.

Решение системы дифференциальных уравнений аналитическим методом.

Составим систему дифференциальных уравнений типа (3.15):

p′	(t) = −λ	c	p	0	(t) + μ	p (t)	+ μ	2	p	2	(t) + μ	3	p	3	(t) + μ	4	p	4	(t) + μ	5	p	5	(t) + μ	6	p	6	(t) + μ	7	p	7	(t) + μ	8	p	8	(t);
0		c		0		1 1		2		2		3		3		4		4		5		5		6		6		7		7		8		8
p1′(t) = −λ1 p0 (t) + μ1 p1 (t);
p2′	(t) = −λ2 p0 (t) + μ2 p2 (t);
	(t) = −λ3 p0				(t) + μ3 p3 (t);
p3′	(t) = −λ3 p0				(t) + μ3 p3 (t);
					(t) + μ4 p4 (t);																														.
p4′(t) = −λ4 p0					(t) + μ4 p4 (t);																														.
					(t) + μ5 p5 (t);
p5′(t) = −λ5 p0					(t) + μ5 p5 (t);
p6′	(t) = −λ6 p0 (t) + μ6 p6 (t);
					(t) + μ7 p7 (t);
p7′(t) = −λ7 p0					(t) + μ7 p7 (t);
					(t) + μ8 p8 (t).
p8′(t) = −λ8 p0					(t) + μ8 p8 (t).

Система дифференциальных уравнений в преобразовании Лапласа имеет вид:

(s + λc ) p0 (s) − μ1 p1 (s) − μ2 p2 (s) − μ3 p3 (s) − μ4 p4 (s) − μ5 p5 (s) − μ6 p6 (s) − μ7 p7 (s) − μ8 p8 (s) =1;

(s + μ1 ) p1 (s) − λ1 p0 (s) = 0;
				(s) − λ2 p0 (s) = 0;
(s + μ2 ) p2				(s) − λ2 p0 (s) = 0;
(s + μ	3 ) p3 (s) − λ3 p0 (s) = 0;
	4 ) p4			(s) − λ4 p0 (s) = 0;					.
(s + μ	4 ) p4			(s) − λ4 p0 (s) = 0;					.
				(s) − λ5 p0 (s) = 0;
(s + μ5 ) p5				(s) − λ5 p0 (s) = 0;
(s + μ	6 ) p6 (s) − λ6 p0 (s) = 0;
				(s) − λ7 p0 (s) = 0;
(s + μ7 ) p7				(s) − λ7 p0 (s) = 0;
(s + μ	8	) p	8	(s) − λ	8	p	0	(s) = 0.
	8		8		8		0

Решение этой системы алгебраических уравнений выполнено с помощью функции SOLVE системы Derive 5. Выражение функции готовности в аналитическом виде здесь не приводится в связи с его громоздкостью. После подстановки значений интенсивностей λ и μ

функция готовности принимает следующий вид:
Kr (s) = p0	(s) =	s8 + 4,2s7 + 7,44s6 + 7,218s5	+ 4,1619s4	+1,44468s3 +
Kr (s) = p0	(s) =	s(s + 0,2002)(s + 0,6005)(s + 0,100893)(s + 0,5003)(s + 0,8007)

+0,29027s2 + 0,0301872s + 0,0012096 .

(s + 0,7003)(s + 0,9004)(s + 0,4006)

Обратное преобразование Лапласа получено с помощью системы Mathcad. Оно имеет вид:

Kr (t) = 0,98553 + 0,001e−0,2002t + 0,000833e−0,6005t + 0,00878e−0,10089t + + 0,000598e−0,5003t + 0,000884e−0,8007t + 0,00043e−0,7003t +

+ 0,000456e−0,9004t + 0,00148e−0,4006t .

Результаты табулирования функции Kг(t) приведены в табл. 3.5.

Метод обладает высокой точностью. Погрешности могли возникнуть только при получении оригинала функции Kг(s), когда в функцию уже были подставлены численные значения интенсивностей отказов элементов.

Решение системы дифференциальных уравнений численным методом.

Наиболее популярным, обладающим высокой точностью, является метод Рунге-Кутта. Алгоритм метода Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага реализован авторами в

программном средстве rungekutt.exe.

Программа выдает решение на экране монитора и в виде файла rungekutt.txt, содержащего значения времени t и девяти функций p0 (t), p1 (t),K, p8 (t).

Таблица 3.5 Результаты табулирования функции готовности

t, час	Кr (t)	t, час	Кr (t)
0	1	24	0,9863214638
4	0,9923778877	28	0,9860579091
8	0,9897343737	32	0,9858829003
12	0,9882552613	36	0,9857664582
16	0,9873246720	40	0,9856888839
20	0,9867196419

Значения функции готовности Kг(t) = p0(t) помещены в табл. 3.6 в столбце «Kг(t) PK». Метод Рунге-Кутта реализован в любой системе компьютерной алгебры, в том числе и

в системе Derive 5.

Таблица 3.6 Значения коэффициента готовности системы

t, час	Кr (t) PK	Кr (t) ИУ	t, час	Кr (t) PK	Кr (t) ИУ
0	1,0000	1,0000	22	0,9865	0,9863
2	0,9949	0,9948	24	0,9863	0,9862
4	0,9924	0,9922	26	0,9862	0,9860
6	0,9908	0,9907	28	0,9861	0,9859
8	0,9897	0,9896	30	0,9860	0,9858
10	0,9889	0,9887	32	0,9859	0,9857
12	0,9883	0,9881	34	0,9858	0,9856
14	0,9877	0,9876	36	0,9858	0,9856
16	0,9873	0,9872	38	0,9857	0,9855
18	0,9870	0,9868	40	0,9857	0,9855
20	0,9867	0,9866

Составление и решение интегрального уравнения.

Функционирование системы из 8 элементов можно заменить функционированием одного элемента с постоянной интенсивностью отказов λc = 0,0039 час-1 и переменной интен-

сивностью восстановления. Плотность распределения времени восстановления является ги-

перэкспоненциальной g(t) = 1 ∑n λi μi e−μit . Поэтому для определения функции готовности

λc i=1

системы достаточно решить одно интегральное уравнение (3.16).

Уравнение (3.16) решим численным методом с использованием формул (3.10) и (3.16). Расчеты по указанным формулам нетрудно выполнить вручную, но быстрее это сделать программным путем. Результаты решения содержатся в табл. 3.6 в столбце «Kг(t) ИУ».

Способ объединения узлов графа состояний системы.

Граф состояний системы из 8-ми элементов имеет 9 узлов, один из которых соответствует исправному состоянию системы, восемь – отказовым. Интенсивность отказа системы равна сумме интенсивностей отказов элементов. Поэтому ветви переходов из исправного состояния системы в отказовое можно объединить. Определим теперь эквивалентную интенсивность восстановления системы. Предположим, что интенсивность восстановления есть величина постоянная и определяется выражением:

μс = Т1 ,

вС

где Tвс – среднее время восстановления системы. При принятом допущении интенсивность, восстановления вычисляется на основании следующих очевидных соотношений:

Т =

1− Кr

T , T =

, K =

1+ ∑λi

λc

i=1 μi

Подставляя эти выражения в выражение μ

получим: μ

λc

ТвС

∑

λi

i=1 μi

n λ

По условиям задачи λc = 0,0039 час-1

, ∑

= 0,0147. Тогда μс

= 0,2656.

i=1 μi

Получим функцию готовности, воспользовавшись выражением (3.6). Подставляя в это выражение значения λ и μ , получим искомое выражение функции готовности:

Kr (t) = 0,985 + 0,015e−0,2695t .

Результаты табулирования функции приведены в табл. 3.7. Таблица 3.7

Результаты табулирования функции готовности

t, час	Кr (t)	t, час	Кr (t)
0	1	24	0,9850232849
4	0,9901041309	28	0,9850079232
8	0,9867368101	32	0,9850026960
12	0,9855909937	36	0,9850009174
16	0,9852011006	40	0,9850003121
20	0,9850684296

Анализ результатов решения задачи позволяет сделать следующий вывод: все рассмотренные методы дали возможность получить решение с допустимой для практики точностью, в том числе и приближенный метод, который позволил получить решение с точностью два знака после запятой.

Наиболее точным является аналитический метод решения дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что в этом методе только на этапе получения обратного преобразования Лапласа выполнялись численные расчеты. На остальных этапах получались точные аналитические решения.

По этой же причине высокой точностью обладает интегральный метод. Менее точное решение задачи этим методом по сравнению с аналитическим и методом Рунге-Кутта получено лишь потому, что шаг интегрирования из условий точности не выбирался и был равен одному часу. Метод Рунге-Кутта реализован при заданной точности вычисления с автоматическим выбором шага.

На рис. 3.2 приведены графики функций готовности, полученные интегральным методом и методом Рунге-Кутта. Из графиков рисунка видно, что методы дают практически одинаковые результаты.

Пример 3.3. Нерезервированная система состоит из трех элементов (подсистем). Законы распределения времени до отказа и времени восстановления элементов, а также параметры этих законов приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8 Характеристики элементов системы

Номер элемента	1	2	3
Время до отказа	Г(5; 40)	N(120; 30)	W(3; 200)
Время восстановления	Exp(2)	Exp(0,5)	Exp(1,5)

Требуется определить показатели надежности системы.

Рис. 3.2. Функция готовности системы для различных интенсивностей восстановления

Решение. Для этого вычислим математические ожидания времени до отказа и времени восстановления элементов:

– для гамма-распределения:

Т1 =αβ = 5 40 = 200 час, σ1 =	αβ = 5 40 = 89,4 час;
– для нормального распределения:
Т2 = m =120 час;	σ2 = 30 час;

–для распределения Вейбулла:

Т3 = βГ(1+ 1α) = 200 Г(1,333333),

σ	3	= β	Г(1+ 2	α	) - Г2 (1+ 1	) = 200 Г(1,666667) - Г2 (1,333333).
	3			α	α

Значения гамма-функций найдем в Excel. В ячейки А1 и А2 поместим формулы:

А1 = ЕХР(ГАММАНЛОГ(1, 333333)), А2 = ЕХР(ГАММАНЛОГ(1,666667)).

Тогда получим Г(1,333333) = 0,89298, Г(1,666667) = 0,902745 . Следовательно,

		Т3		= 200 0,89298 =178,6 час,											σ3		= 200 0,902745 - 0,892982 = 64,9 час.
Математические ожидания среднего времени восстановления соответственно равны:
Т	в1	=	1		=	1	= 0,5 час,			Т	в2	=	1		=		1	= 2 час,		Т	в3	=	1		=		1	= 0,6667 час.
Т		=	λ		=		= 0,5 час,			Т		=			=	0,5		= 2 час,		Т		=			=	1,5		= 0,6667 час.
			λ	2									λ	2		0,5							λ	3		1,5
		1												2										3
Стационарные показатели надежности определим по формулам (3.5). Результаты рас-
четов, выполненные в Excel, приведены в табл. 3.9.																					Таблица 3.9
																					Таблица 3.9
									Показатели надежности элементов системы

									A	B		C					D		E			F
								1	N	Ti		Tвi					1 Т1		Tв Т1			Kri
								2	1	200		0,5					0,005		0,0025			0,99751
								3	2	120		2					0,00833		0,01667			0,98361
								4	3	178,6		0,6667					0,00560		0,00373			0,99628
								5		Сумма							0,01893		0,02290

Данные колонок D, Е и F получены по формулам: D2 = 1/В2,

Е2 = С2/В2,

Р2 = 1/(1 + Е2)

с последующим протягиванием ячеек.

В ячейках D5 и Е5 располагаются итоговые суммы: D5 = CУMM(D2 : D4),

Е5 = СУММ(Е2 : Е4).

Найдем стационарные показатели надежности системы:

∑

вi

0,0229

Т =

= 52,8

час,

i 1

=1,2 час,

0,0189

∑

i 1

Kr =

= 0,9776.

+ 0,0229

1+ ∑

Tвi

i=1

Решать задачи такого класса более рационально с помощью математических систем компьютерной алгебры, например, Derive 5. Их преимущества состоят в следующем:

–возможность получить решение в аналитическом виде;

–не нужны промежуточные вычисления;

–простота вычислений и возможность анализа зависимостей показателей надежности системы от параметров законов распределения отказов и восстановлений ее элементов.

Далее приведены процедуры и результаты вычислений значения σ с помощью систе-

мы Derive 5:

#1:

β Г 1+

#2 :

200 Г 1

#3 :

178.5959023

1 2

#4 :

Г 1+

- Г 1+

#5 :

200

Г 1+

- Г 1

#6 :

64.91005618

В строке #1 находится результат ввода выражения математического ожидания времени безотказной работы. В это выражение с помощью кнопки Sub панели инструментов вводятся значения параметров α = 3 и β = 200. Результатом решения является число в строке #3

(кнопка Approximate). Аналогично вычисляется σ (строки #4, #5, #6).

Далее приводятся процедуры вычисления коэффициента готовности системы. При этом используется выражение:

Kr =	1		.
	n	T
	1+ ∑	вi
		T
	i=1	i

#1:

λ1 α1 β1

#2 :

m λ2

#3 :

β λ3 Г 1

#4 :

К =

λ1

α1

β1

m λ2

λ3 Г 1+

λ1 λ2 λ3 m

α1 β β1

#5 :

К =

β λ3

(α1 β1 λ1 (λ2 m

+1) + λ2 m)

!+α1 β1 λ1 λ2 m

5 200 40 2 0.5 1.5 120

#6 :

K =

200 1.5 (5 40 2 (0.5 120 +1) + 0.5 120)

!+5

0.5 120

#7 : T = 0.9776131588

В первых трех строках находятся выражения

Tвi

для элементов системы.

В строке #4 определяется коэффициент готовности. С помощью команды меню Simplify | Factor оно преобразуется в формулу #5.

С помощью кнопки Sub панели инструментов в формулу подставлены исходные данные (выражение #6) и после нажатия кнопки Approximate получено значение коэффициента готовности (строка #7).

Наиболее интересным результатом наших расчетов является формула в строке #5. Она позволяет исследовать влияние законов распределения и их параметров на показатели готовности системы.

Определим функцию готовности системы по приближенной формуле (3.14). Функция готовности Kri (t) каждого элемента, входящего в систему, определяется по формуле (3.4). В

эту формулу входит свертка функций f g(t) , которая для постоянной интенсивности восстановления рассчитывается по формуле:

f g(t) = ∫1	f (t − x)μe−μx dx.
0

Для вычисления интеграла применим формулу Гаусса с тем, чтобы уменьшить количество арифметических действий. Пусть а таково, что μe−μa = ε , где ε - точность вычислений.

Тогда а = − μ1 ln με . Верхний предел интегрирования b(t) равен наименьшему из чисел t или

а, т. е.
			1		ε
b(t)	= min(t; a) = min t;	−		ln		.	(3.26)
b(t)	= min(t; a) = min t;	−		ln		.	(3.26)
			μ
			μ		μ
Применяя формулу Гаусса с 7 узлами и полагая ε		= 10-5 , получим

b(t )	7
f g(t) = ∫ f (t − x)μe−μx dx = 0,5b(t)∑ci f (t −0,5b(t)(xi +1))μe−μ0,5b(t )( xi +1) .		(3.27)
0	i=1

Таким образом, алгоритм вычисления функции готовности одного элемента включает в себя формулы (3.26), (3.27) и (3.7), которые целесообразно оформить в виде отдельных модулей. Расчеты, проведенные по данному алгоритму, а также соотношение (3.25) позволяют найти функцию готовности каждого элемента и системы в целом. Результаты расчетов приведены в табл. 3.10.

Из табл. 3.9 и 3.10 видна сходимость функций готовности элементов и всей системы к своим предельным значениям. Для наглядности данные зависимости представлены на рис. 3.3 и 3.4. На рис. 3.3 кривая 1 соответствует гамма-распределению, кривая 2 – нормальному распределению, а кривая 3 – распределению Вейбулла.

					Таблица 3.10
	Функции готовности системы и ее элементов

t, час		Кr1 (t)	Кr 2 (t)	Кr3 (t)	Кr (t)
0		1	1	1	1
25		1,0000	0,9998	0,9999	0,9996
50		0,9997	0,9985	0,9994	0,9975
75		0,9991	0,9921	0,9987	0,9899
100		0,9984	0,9796	0,9978	0,9759
125		0,9978	0,9732	0,9969	0,9682
150		0,9975	0,9811	0,9961	0,9750
175		0,9974	0,9893	0,9957	0,9875
200		0,9974	0,9879	0,9956	0,9811
225		0,9974	0,9825	0,9958	0,9759
250		0,9975	0,9800	0,9961	0,9739
275		0,9975	0,9821	0,9964	0,9763
300		0,9975	0,9850	0,9965	0,9793
325		0,9975	0,9852	0,9965	0,9794
350		0,9975	0,9834	0,9964	0,9775
375		0,9975	0,9823	0,9962	0,9763
400		0,9975	0,9828	0,9962	0,9767
425		0,9975	0,9838	0,9962	0,9777
450		0,9975	0,9841	0,9962	0,9780
475		0,9975	0,9835	0,9962	0,9775
500		0,9975	0,9830	0,9962	0,9770
525		0,9975	0,9831	0,9963	0,9771
550		0,9975	0,9834	0,9963	0,9775
575		0,9975	0,9836	0,9963	0,9776
600		0,9975	0,9834	0,9962	0,9774

Все функции, изображенные на рис. 3.3, имеют колебательный характер. Это уличительная особенность неэкспоненциальных распределений. При этом «амплитуда» колебаний различна. Наибольшие колебания функции готовности соответствуют нормальному распределению. Это объясняется тем, что время до отказа 2-го элемента имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими элементами.

Рис. 3.3. Функции готовности элементов системы

Рис. 3.4. Функция готовности системы

Пример 3.4. Нерезервированная система состоит из трех элементов с теми же законами распределения времени до отказа, что и в примере 3.3. Однако время восстановления каждого элемента предполагается не случайным, а постоянным и равно соответственно: Тв1 = 0,5 час, Тв2 = 2 час, Тв3 = 0,6667 час. Они взяты такими же, что и математические ожидания времени восстановления элементов. Требуется определить показатели надежности системы.

Решение. Так как стационарные показатели надежности не зависят от законов распределения, а зависят лишь от средних значений, то согласно формулам (3.13) они совпадают с аналогичными показателями примера 3.3:

Т = 52,8 час, Тв = 1,2 час, Кг = 0,9776.

Вычислим функцию готовности элементов и системы. Поскольку время восстановления элементов постоянно, то выражение для свертки функций имеет вид:

f g(t) = f (t −Тв ) при t ≥ Тв.

Функцию готовности элементов определим по формуле (3.12), а функцию готовности системы – по формуле (3.25). Результаты расчетов приведены в табл. 3.11.

					Таблица 3.11
	Функция готовности системы и ее элементов

t, час		Кr1 (t)	Кr 2 (t)	Кr3 (t)	Кr (t)
0		1	1	1	1
25		1,000	0,9998	0,9998	0,9996
50		0,9996	0,9984	0,9994	0,9974
75		0,9990	0,9918	0,9987	0,9895
100		0,9983	0,9791	0,9978	0,9754
125		0,9978	0,9732	0,9969	0,9681
150		0,9975	0,9816	0,9961	0,9754
175		0,9973	0,9894	0,9957	0,9826
200		0,9974	0,9878	0,9956	0,9809
225		0,9974	0,9823	0,9958	0,9758
250		0,9975	0,9800	0,9962	0,9739
275		0,9975	0,9823	0,9964	0,9765
300		0,9975	0,9852	0,9965	0,9794
325		0,9975	0,9852	0,9965	0,9794
350		0,9975	0,9834	0,9964	0,9775
375		0,9975	0,9823	0,9963	0,9763
400		0,9975	0,9829	0,9962	0,9768
425		0,9975	0,9839	0,9962	0,9778
450		0,9975	0,9841	0,9962	0,9781
475		0,9975	0,9836	0,9963	0,9776
500		0,9975	0,9831	0,9963	0,9771
525		0,9975	0,9832	0,9963	0,9772
550		0,9975	0,9836	0,9963	0,9776
575		0,9975	0,9837	0,9963	0,9777
600		0,9975	0,9835	0,9963	0,9775

Значения функций готовности почти не изменились по сравнению с аналогичными значениями для экспоненциального закона распределения времени восстановления. Это говорит о том, что в случае элементов с быстрым восстановлением функция готовности слабо зависит от законов распределения. То же подтверждают и графики функций готовности, изображенные на рис. 3.5.

Из рисунка следует, что 1-ый и 3-ий элементы более надежны, чем 2-ой, а надежность системы ниже надежности каждого элемента.

Пример 3.5. Рассмотрим систему, состоящую из двух элементов, соединенных последовательно. Отказ любого из них приводит к отказу системы.

При этом если произошел отказ первого элемента, то второй не выключается и расходует свой ресурс. Если произошел отказ второго, то первый выключается, и ресурс не расходует. Элементы имеют разную надежность с постоянными интенсивностями отказов

λ1 = 0,05 час−1 и λ2 = 0,01 час−1 соответственно. Обслуживает систему одна ремонтная бри-

гада с прямым приоритетом.

Закон распределения времени восстановления имеет плотность g(t). Требуется определить стационарные показатели надежности системы при двух законах распределения времени восстановления: экспоненциальном и нормальном со средним временем восстановления Тв = 10 час и средним квадратическим отклонением σв = 1 час.

Рис. 3.5. Функции готовности элементов и всей системы (время восстановления постоянное)

Решение. Представим функционирование системы графом состояний, который изображен на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Граф состояний нерезервированной системы

На рисунке следующие обозначения: (0) – оба элемента системы исправны; (1) – элемент 1 отказал и восстанавливается, элемент 2 исправен и продолжает работать; (2) – элемент 2 отказал и восстанавливается, элемент 1 выключен из работы; (3) – отказали оба элемента, первый восстанавливается; λ1 ,λ2 – интенсивности отказа элементов; μ1 , μ2 , μ3 – ин-

тенсивности восстановления элементов.

Для вычисления показателей надежности системы необходимо определить интенсивности μ1 , μ2 , μ3 . Введем функции, соответствующие состояниям системы:

yo (s1 , s2 ), y1 (τ1 , s2 ), y2 (s1 ,τ2 ), y3 (τ1 ,0) . Тогда система интегральных уравнений для описания стационарного режима функционирования будет иметь вид:

			72
		∞	∞
yo (s1 , s2 ) =		∫	f1 (x + s1 ) y1 (0, x + s2 )dx + ∫ f2 (x + s2 ) y2 (x + s1 ,0)dx;
		0	0
		∞
y1 (τ1 , s2 ) =		∫g(x +τ1 ) y0 (0, x + s2 )dx;
		0		(3.28)
		∞	∞	(3.28)
		∞	∞
	(s1 ,τ2 ) =	∫g(x +τ2 )y0 (x + s1 ,0)dx + ∫g(x +τ2 ) f1 (x + s1 ) y3 (0,0)dx;
y2	(s1 ,τ2 ) =
		0	0
	∞
y3 (τ1 ,0) = ∫y1 (x +τ1 ,0)dx.
	0

Вычислим интенсивности восстановления μ1 , μ2 , μ3 . Из системы (3.28) получим:

p	0	=	ω10		+ω20		,
			λ + λ			2

				1
∞∫y1 (τ1 , s2 )ds2		= λ1		∞∫g(x +τ1 )e−λ2 x dxp0 ,
0				0

∞∫y2 (s1 ,τ2 )ds1

= ∞∫g(x +τ2 )e−λ1x dx(λ2 p0 + y3 (0,0)),

y3 (τ1 ,0) =λ1λ2

∞∫

(x +τ1 )e−λ2 x dxp0 .

Тогда

μ1 =

ω10

λ1

∞∫g(x)e−λ2 x dxp0

gˆ

(λ2 )

∞

λ1

∫G (x)e

−λ2 x

dxp0

G (λ2 )

∞

∫

g(x)e−λ1x dx(λ2 p0 + y3

(0,0))

gˆ(λ )

μ2 =

∞

∫G (x)e

−λ1x

dx(λ2 p0 + y3

(0,0))

G (λ )

					λ1λ2 ∞∫					(x)e−λ2 x dxр0
			ω32		λ1λ2 ∞∫				G	(x)e−λ2 x dxр0
μ	3	=	ω32	=		0
μ		=		=		∞∫
			p3		λ1			(x)(1−e−λ2 x )dxp0
			p3		λ1		G	(x)(1−e−λ2 x )dxp0
						0

= 1− gˆ(λ2 )		.
	ˆ	.
	Тв −G (λ2 )

(3.29)

(3.30)

(3.31)

В формулах (3.29)–(3.31) введены обозначения: gˆ(λ) – преобразование Лапласа плот-

ности g(t);	ˆ	ˆ	−G(t) , где G(t) – функция рас-
	G (λ)	– преобразование Лапласа функции G (t) =1

пределения времени восстановления.

Из полученных формул видно, что интенсивности μ1 , μ2 , μ3 зависят не только от зако-

на распределения времени восстановления, но и от интенсивностей отказов элементов.

Для экспоненциального распределения времени восстановления

μ1 = μ2 = μ3 = Т1в = 0,1 час−1.

Для нормального распределения с параметрами Тв и σв преобразования Лапласа функций g(t) и G (t) соответственно равны:

−λTв +

λ2σв2

−λTв +

λ2σв2

gˆ

(λ) = e

2 , G (λ) =

−e

2 .

Результаты вычисления значений

gˆ(λ) и G (λ) приведены в табл. 3.12.

Таблица 3.12

Значения функций gˆ(λ)

и G (λ)

λ1

= 0,05

λ2

= 0,01

gˆ(λ)

0,607289

0,904883

7,854214

9,511734

G (λ)

В соответствии с формулами

(3.29)–(3.31)

и данными табл. 3.12 получим:

μ1 = 0,0951 час−1 , μ2 = 0,0773 час−1 , μ3 = 0,1948 час−1. Интенсивности восстановления доста-

точно сильно отличаются от аналогичных интенсивностей для случая экспоненциального закона времени восстановления.

Вычислим вероятности состояний системы топологическим методом. В табл. 3.13 приведены интенсивности переходов графа, изображенного на рис. 3.6.

			Таблица 3.13
	Таблица интенсивностей переходов

Состояние	Переходы из данного		Суммарная
системы	состояния во все другие		интенсивность перехода
0	а01	= λ1 , а02 = λ2	а01 + а02
1	а10 = μ1 , а13 = λ2		а10 + а13
2	а20	= μ2	а20
3	а32	= μ3	а32

В соответствии с топологическим методом [3] получим:

0 = а10 а20 а32 + а13а20 а32 = (μ1 + λ2 )μ2 μ3 , 1 = а01а20 а32 = λ1μ2 μ3 ,

2 = а01а13а32 + а02 а10 а32 + а02 а13а32 = (λ2 + μ1 + λ1 )λ2 μ3 ,

3 = а01а13а20 = λ1λ2 μ2 .

Тогда выражения наработки на отказ, среднего времени восстановления и коэффициента готовности будут иметь вид:

											Т =					р0				=			1				,
											Т =				(λ + λ		2	) р	0	=	λ		+ λ			2	,
														1			2		0			1				2
	Т		в	=	р1 + р2 + р3									=		(μ3 + λ2 )λ1μ2 + (λ1 + μ1 + λ2 )λ2 μ3																,
	Т			=	μ		р + μ					р		=																		,
					μ	1	р + μ				2	р	2					(λ + λ			2	)(λ		2	+ μ			)μ	2	μ	3
						1		1			2		2					1			2			2		1			2		3
Кr =				T		=												(λ2		+ μ1 )μ2						μ3							.
Кr =		T		+Tв		=			(λ2	+ μ1 )μ2 μ3 +																							.
		T		+Tв					(λ2	+ μ1 )μ2 μ3 +							(μ3 + λ2 )λ1μ2 + (λ1 + μ1 + λ2 )λ2 μ3

Расчеты по этим формулам дают следующие результаты:

–при экспоненциальном законе времени восстановления: Т = 16,7 час, Тв = 10,8 час, Кr

=0,6077;

– при нормальном законе времени восстановления: T = 16,7 час, Tв = 11,5 час, Kг = 0,5914.

Пример 3.6. Рассмотрим сложную нерезервированную систему, составленную из 80 разнородных элементов, отличающихся законами распределения и их параметрами, а также случайностью исходных данных. Система состоит из двух групп элементов. Данные по этим группам содержатся в табл. 3.14.

Таблица 3.14

Показатели надежности элементов

Номер	Число	Время	T	Т	σ	Время	Тв	σв
группы	элементов	до отказа	нижнее	верхнее		восстановления
1	50	TN	10000	15000	2000	Г	24	10
2	30	W	5000	7000	2000	Г	24	10

Вкаждой группе элементы имеют различное среднее время безотказной работы. Первая группа состоит из элементов, имеющих среднее время безотказной работы, равномерно распределенное на промежутке от 10 000 до 15 000 часов. Вторая группа состоит из элементов, имеющих среднее время безотказной работы, равномерно распределенное на промежутке от 5000 до 7000 часов.

Время непрерывной работы системы t = 80000 часов. Определить показатели надежности системы.

Решение. Воспользуемся для расчетов программой Conspz.exe. Результатом работы программы являются следующие показатели надежности системы:

– наработка на отказ;

– среднее время восстановления;

– коэффициент готовности;

– функция готовности (нижняя граница, верхняя граница, среднее значение).

Воснове алгоритма лежит приближенное равенство (3.25). Для данных рассматривае-

мого примера получим следующие показатели надежности системы: Т = 111,1 час, Тв = 24час, Кг = 0,8224.

Результаты расчетов функции готовности (средние значения) содержатся в табл.3.15. Относительная погрешность, рассчитанная по формуле

δ = max 2 (Kr,верх (t) − Kr,ниж (t)) 100% ,

		t	Kr,верх (t) − Kr,ниж (t)
			Kr,верх (t) − Kr,ниж (t)
составляет 0,17%.					Таблица 3.15
					Таблица 3.15
	Средние значения функции готовности

	t, час		Кr (t)	t, час	Кr (t)
	1		2	3	4
	0		1,0000	42000	0,8398
	2000		0,9791	44000	0,8501
	4000		0,9161	46000	0,8390
	6000		0,8695	48000	0,8200
	8000		0,8716	50000	0,8100
	10000		0,8236	52000	0,8159
	12000		0,7394	54000	0,8311
	14000		0,7655	56000	0,8417
	16000		0,8540	58000	0,8392
	18000		0,8848	60000	0,8280

1	2	3	4
20000	0,8667	62000	0,8192
22000	0,8243	64000	0,8197
24000	0,7841	66000	0,8280
26000	0,7829	68000	0,8364
28000	0,8211	70000	0,8378
30000	0,8579	72000	0,8322
32000	0,8604	74000	0,8257
34000	0,8346	76000	0,8239
36000	0,8062	78000	0,8279
38000	0,7980	80000	0,8337
40000	0,8147

На рис. 3.7 изображен график функции готовности системы.

График построен по данным табл. 3.15. Результирующий файл содержит 1001 значений Kr(t). Построение графика по всем рассчитанным значениям лишь улучшит его качество.

Рис. 3.7. Функция готовности сложной системы

3.3. Задачи для самостоятельного решения

3.1. Нерезервированная восстанавливаемая система состоит из п = 10 элементов. Необходимо определить наработку на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности системы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон отказов и восстановлений элементов. Варианты заданий приведены в табл. 3.16.

В таблице приняты следующие обозначения: п – номер элемента; Тв – среднее время восстановления элемента;

t – время работы элемента;

P(t) – вероятность безотказной работы элемента в течение времени t; λ – интенсивность отказа элемента; Т1 – среднее время безотказной работы элемента; Кг – коэффициент готовности элемента.

В каждом из вариантов одно и то же значение среднего времени восстановления элементов.

Таблица 3.16

Исходные данные задачи 3.1

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тв, час	4	6,5	8,5	12	3,8	7,3	2,4	8	7	7,5
t, час	40	21	20	18	19	18	16	18	21	23
				Вариант 1
Р(t)	0,97	0,99	0,98	0,95	0,96	0,99	0,94	0,95	0,99	0,98
				Вариант 2
λ 10−3 , час-1	1,2	1,8	1	1,5	1,75	1,35	1,2	0,9	1,84	1,6
				Вариант 3
Т1, час	480	540	860	820	320	900	500	380	420	400
				Вариант 4
Kг	0,98	0,98	0,98	0,95	0,97	0,99	0,94	0,98	0,99	0,97

3.2. Нерезервированная восстанавливаемая система состоит из п = 10 элементов. Среднее время восстановления элементов – величина постоянная и равна Тв = 5 час-1. Значения интенсивностей отказов элементов приведены в табл. 3.17.

Таблица 3.17

Интенсивности отказов элементов

№ элемента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ 10−2 , час	0,5	0,55	0,47	0,58	0,5	0,47	0,6	0,52	0,52	0,5

Определить коэффициент готовности системы по точной и приближенной формулам. Вычисления выполнить при значениях λ , приведенных в табл. 3.17, уменьшенных в 10 и в 100 раз. По результатам расчетов сделать выводы о возможности использования приближенной формулы для оценки коэффициента готовности системы.

Приближенная формула имеет вид, т. е. коэффициент готовности системы равен произведению коэффициентов готовности ее элементов.

3.3.Нерезервированная восстанавливаемая система имеет интенсивность отказа λ = 0,003 час-1, среднее время восстановления Тв = 60 час Необходимо определить время работы t, при котором функция готовности будет равна: 0,997; 0,99; 0,95; 0,9; 0,85.

Указание: воспользуйтесь формулой функции готовности, подставьте в нее исходные данные и определите корни трансцендентного уравнения.

3.4.Исследовать влияние безотказности и восстанавливаемости на длительность переходных процессов системы при оценке ее надежности функцией готовности. Рассмотреть два случая:

1. Среднее время восстановления Tв = 10 час, варианты интенсивностей отказов λ приведены в табл. 3.18.

Таблица 3.18

Интенсивности отказов системы

λ , час-1 0,1 0,05 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,0001

τ, час

2.Интенсивность отказа системы λ = 0,01 час-1 , варианты значений среднего времени восстановления приведены в табл. 3.19.

Таблица 3.19 Варианты среднего времени восстановления системы

Тв, час-1 1 10 15 20 26 30

τ , час

Определить длительность переходного процесса τ , заполнив пустые строки в табл. 3.18 и 3.19. Вычисления выполнить по формуле (3.3). Переходный процесс считать законченным, если выполняется условие:

Кr (t) − Кr ≤ 0,001.

По результатам расчетов сделать выводы о влиянии безотказности и восстанавливаемости на длительность переходных процессов.

3.5. Нерезервированная система состоит из п подсистем, одинаковых по надежности и восстанавливаемости, п = 1, 2, 3, 4, 5. Закон распределения времени до отказа и его параметры известны (табл. 3.20). Время восстановления подсистем постоянно и равно Тв.

		Таблица 3.20
	Характеристики элементов системы

Вариант	Время до отказа	Время восстановления, Тв час
1	TN(300; 100)	20
2	Г(4; 60)	5
3	N(250; 80)	6
4	W(2; 180)	10
5	R(0,00006)	15
6	Exp(0,005)	12

Вычислить показатели надежности системы. Установить зависимость показателей надежности от числа п.

3.6. Нерезервированная система состоит из двух подсистем. При отказе одной подсистемы другая не выключается и продолжает расходовать свой ресурс. Интенсивности отказов подсистем равны λ1 и λ2 . Обслуживает систему одна ремонтная бригада с обратным при-

оритетом. Закон распределения времени восстановления имеет плотность g(t). Требуется вычислить стационарные показатели надежности системы. Доказать независимость показателей надежности системы от вида закона распределения времени восстановления. Варианты заданий содержатся в табл. 3.21.

				Таблица 3.21
	Характеристики элементов системы

Вариант		λ1 , час-1	λ2 , час-1	Время восстановления
1		0,004	0,008	TN(30; 10)
2		0,007	0,003	Г(4; 6)
3		0,0008	0,0005	N(25; 8)
4		0,005	0,007	W(2; 18)
5		0,0004	0,0007	R(0,006)
6		0,0002	0,0006	Ехр(0,5)

3.7. Определить показатели надежности нерезервированной системы, состоящей из трех групп разнородных элементов, отличающихся законами распределения и их параметрами, а также случайностью исходных данных. Данные по этим группам приведены в табл. 3.22.

Элементы каждой группы имеют среднее время безотказной работы, равномерно распределенное на интервале между нижним и верхним значениями. Время непрерывной работы системы t = 10000 час.

Указание: воспользоваться для расчетов программой Conspz.exe.

		Показатели надежности элементов					Таблица 3.22
		Показатели надежности элементов

Номер	Число	Время	Т	Т	σ	Время		Tв
группы	элементов	до отказа	нижнее	верхнее		восстановления
1	45	Г	3000	4000	2000	Ехр		24
2	20	W	4000	6000	3000	Ехр		36
3	35	TN	3500	5000	2500	Ехр		20

3.8. Техническая система представляет собой основное соединение двух подсистем. Первая подсистема является восстанавливаемой, а вторая – не восстанавливаемой. Интенсивности отказов и восстановлений подсистем соответственно равны:

λ1 = 0,01 час−1 ,λ2 = 0,001 час−1 , μ1 = 2 час−1 . Определить показатели надежности системы с

частичным восстановлением: Т, Tв, Kг, P(t), Kг(t).

Получить аналитические и численные выражения для всех показателей надежности.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Н а д е ж н о с т ь

#
09.06.2015192.01 Кб186140604.65 Надежность технических систем.pdf
#
09.06.2015848.6 Кб176app008.pdf
#
09.06.20151.92 Mб119diagnost.pdf
#
09.06.20151.87 Mб123poz115.pdf
#
09.06.20155.59 Mб215uprresurs.doc
#
09.06.20151.8 Mб773Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf
#
09.06.201556.83 Кб96МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНОК.doc
#
09.06.2015121.86 Кб117Министерство транспорта Российской Федерации.doc