Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Н а д е ж н о с т ь / Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf

Скачиваний:

773

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

V.РУКОВОДСТВО ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

Вруководство по практическим занятиям включены основные теоретические сведения по темам практических занятий; примеры решения типовых задач; задачи для самостоятельного решения.

Распределение тем практических занятий по времени

№	Наименование темы	Тема	Количество
№	практического занятия	дисциплины	часов
	практического занятия	дисциплины	часов
1	Расчет показателей надежности нерезервированных невосста-	2	2
	навливаемых систем.
2	Расчет показателей надежности резервированных невосста-	2	4
	навливаемых систем.
3	Расчет показателей надежности нерезервированных восста-	2	4
	навливаемых систем.
4	Расчет показателей надежности резервированных восстанав-	2	4
	ливаемых систем.
5	Анализ надежности систем сложной структуры.	3	2

5.1. Расчет показателей надежности нерезервированных невосстанавливаемых систем

1.1. Основные теоретические сведения

Критериями надежности невосстанавливаемых систем являются: Pc(t) – вероятность безотказной работы системы в течение времени t; Tс – среднее время безотказной работы системы; λс(t)– интенсивность отказа системы в момент; ƒc(t) – плотность распределения времени до отказа.

Между этими показателями существуют следующие зависимости:

			i
		−∫λc (t )dt			,	(1.1)
	P (t) = e 0				,	(1.1)
		c
		Ttc = ∞∫Pc (t)dt,				(1.2)
		0
		λc (t) =	fc (t)		,	(1.3)
		λc (t) =	Pc (t)		,	(1.3)
			Pc (t)
f	c	(t) = Qi (t) = −Pi (t),				(1.4)
	c	c			c
	Pc (t) =1−∫i			fc (t)dt.		(1.5)
		0

Замечание

Следует иметь в виду, что среднее время безотказной работы является неудовлетворительным показателем надежности систем с коротким временем работы.

Структурная схема нерезервированной системы, состоящей из n элементов, приведена на рис. 1.1.

При отказе любого элемента наступает отказ системы. При этом остальные элементы системы прекращают свою работу.

Показатели надежности такой системы вычисляются по формулам:

Pc (t) = Πj=1 Pj (t), dT1c = ∞∫Pc (t)dt,

λc (t) = ∑λj (t),

j=1

(1.6)

(1.7)

(1.8)

fc (t) = f1 (t)P2 (t)...Pn (t) + f1 (t)P2 (t)...Pn (t) +... + f1 (t)P2 (t)...Pn (t),

(1.9)

где: Pj(t) – вероятность безотказной работы j-го элемента, j = 1, 2,..., n; fj(t) – плотность распределения времени до отказа j-го элемента, j = 1, 2,..., n; λj (t) – интенсивность отказа j-

го элемента, j = 1, 2,..., n.

Рис. 1.1. Структурная схема нерезервированной системы

Для случая постоянных интенсивностей отказов элементов имеют место соотношения:

P (t) = e−λct ,				(1.10)
c
		n
λc	= ∑λj ,			(1.11)
		j=1
T	=	1	,	(1.12)

1c		λ
		c
fc (t) = λc e+λct .				(1.13)

1.2. Примеры решения задач

Пример 1.1. Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов приведены в табл. 1.1.

	Интенсивности отказов элементов				Таблица 1.1
	Интенсивности отказов элементов

Номер элемента	1	2.	3	4	5
λj , час -1	0,00007	0,00005	0,00004	0,00006	0,00004

Определить показатели надежности системы: интенсивность отказа, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надежности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов.

Решение. Вычислим интенсивность отказа и среднее время безотказной работы систе-

мы:

λc = ∑λi = 0,00007 + 0,00005 + 0,00004 + 0,00006 + 0,00004 = 0,00026 час -1 ,

i=1

T	=	1	=	1	= 3846 час.
				0.00026
1c		λc

Получим значения вероятности безотказной работы и плотности распределения времени до отказа, табулируя функции

Pc (t) = e−λct = e−0.00026−t и fc (t) = λc e−λct = 0.00026e−0.00026t

на интервале от 0 до 1000 часов. Результаты табулирования представлены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Вероятность безотказной работы распределения времени до отказа

t , час	Pc(t)	f c ( t )
0	1	0.00026
100	0.974335	0.000235
200	0.949329	0.000247
300	0.924964	0.000240
400	0.901225	0.000232
500	0.878095	0.000228
600	0,855559	0,000222
700	0,833601	0,000217
800	0,812207	0,000211
900	0,791362	0,000206
1000	0,771052	0.000200

Графическая иллюстрация Pc(t) и fc(t) показана на рис. 1.2 и 1.3.

Рис. 1.2. Вероятность безотказной работы системы

Интенсивность отказа системы в данном случае есть величина постоянная, равная λc = 0,00026 час -1, ее графиком является прямая параллельная оси времени.

Пример 1.2. Нерезервированная система состоит из 5 элементов, имеющих различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределения и их параметры приведены в табл. 1.3.

	Законы распределения времени до отказа				Таблица 1.3
	Законы распределения времени до отказа

Номер элемента	1	2	3	4	5
Закон распределе-	W(2; 1800)	Г(7; 300)	R(8·10-8)	Exp	TN(2000; 90)
ния времени до от-				(0,002)
ния времени до от-
каза

Втабл. 1.3 и в дальнейшем приняты следующие обозначения законов распределения: W – Вейбулла; Г – гамма; R – Рэлея; Ехр – экспоненциальный; TN – усеченный нормальный; N – нормальный; U – равномерный.

Вскобках указаны параметры распределений.

Определить показатели надежности каждого элемента и всей системы: вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, интенсивность отказа, плотность распределения времени безотказной работы. Для показателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.

Рис. 1.3. Плотность распределения времени до отказа

Решение. В табл. 1.3 заданы параметры законов распределения времени до отказа. Вычислим начальные моменты распределений: математические ожидания и средние квадратические отклонения. Для этого воспользуемся формулами связи моментов с параметрами распределений, которые приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Связь параметров распределений с первыми двумя моментами

Распределения

Экспоненциальное

Равномерное U (a,b), a ≥ 0

a +b

Гамма Γ(α, β)

αβ

δ0

1+ k

− k 2

, k =

−

2δ

Усеченное нормальное

m0 + kδ0

δ0

2π

TN (m0 ,δ0 )

c =

0.5 + Φ

(

)

Рэлея W (α, β)

βΓ(1+1/ a)

Γ(1+ 2 / a) −Γ2 (1+1/ a)

Нормальное (m,δ) m > 3δ

В таблице приведены следующие обозначения:

• Φ0 (t) =

e−

– функция Лапласа;

2π

∫0

• Γ(α) = ∞∫xα−1e−x dx – гамма-функция.

Простым способом вычисления значений этих функция является обобщение к системе

Microsoft Excel.

Определим математическое ожидание, и среднее квадратическое отклонение времени до отказа элементов.

Элемент 1. Распределение Вейбулла с параметром формы α = 2 и параметром масшта-

ба β =1800 :

m =1800 Γ(1.5) =1595час,δ =1800

Γ(2) −Γ2 (1,5) = 834 час.

Элемент 2. Гамма-распределение с параметром формы α = 7 и параметром масштаба

β = 300 :

m = 7 300 = 2100 час; m = 7 300 = 2100,δ = 300 7 =1638 час.

Элемент 3. Распределение Рэлея с параметром λ = 8 10−8 :

m =

= 3133 час.; δ =

4 −π

=1638 час.

4 8 10−8

8 10−8

Элемент 4. Экспоненциальное распределение с параметром λ = 0,0002 :

m =

= 5000 час.; δ = m = 5000 час.

0.0002

Элемент 5. Усеченное нормальное распределение с параметрами m0 = 2000,δ0

= 900 :

−

200002

−

2*9002

2δ 2

k =

0 =

= 0.0342.

2π (0.5 + Φ

(

))

2π (0.5 + Φ

(

2000

))

900

Значит,

δ0

m = 2000 + 0.0342 900 = 2029 час.; δ = 900

1+ 0,0342

2000

−0,03422 = 931 час.

900

Полученные значения сведены в табл. 1.5

Таблица 1.5

Параметры законов распределения времени до отказа элементов

Номер элемента

Среднее время безотказной работы, час

1595

2100

3133

5000

2029

Среднее квадратичное отклонение времени безотказной

843

794

1638

5000

931

работы, час

Для вычисления вероятности безотказной работали плотности распределения времени до отказа элементов нам потребуется аналитические выражения, которые приведены в табл. 1.6.

	1	t
В гамма-распределении функция I (α,t) =		∫xa−1e−хdx есть неполная гамма-
	Γ(a)
		0

функция.

Равномерное и нормальное распределения имеют для того, чтобы их можно было использовать в неотрицательной временной области (t ≥ 0).

Вычислим вероятность безотказной работы элементов. Элемент 1. Распределение Вейбулла:

P (t) = e−(	t		a		t		2
	β	)		= e−(		)	.
					1800
1

Элемент 2. Гамма-распределение:

∞

xa−1

e−

P (t) =

∫t

dx =1− I (a,

) =1− I (7,

β a Γ(a)

300

Элемент 3. Распределение Рэлея:

(t) = e−λt

= e−8*10−8 t 2 .

Элемент 4. Экспоненциальное распределение:

P (t) = e−λt

= e−0.0002t .

Таблица 1.6

Некоторые законы распределения вероятностей

Распределения

f(t)

P(t)

Экспоненциальное

λe−λt

e−λt

1, t < a;

, a

≤ t

≤ b;

Равномерное U (a,b), a ≥ 0

−t

, a ≤ t ≤ b;

− a

0, t < a, t > b.

0, t > b.

Γ α

−

1− I (a,

)

Гамма

)

a−1

( ,

β a Γ(a) e

(t −m

2δ

Усеченное нормальное

δ0

2π

t − m

TN (m0 ,δ0 )

C(0.5 −Φ0 (

))

C =

δ0

m ≥1.33δ

0.5 + Φ

(

)

Рэлея W (α, β)

2λte−λt 2

e−λt 2

Вейбулла W (α, β)

at a−t

−(

)

e−(

)

β a

Нормальное (m,δ) m > 3δ

−

(t−m)a

0.5 −Φ0 (

t − m

)

2δ

2π

Элемент 5. Усеченное нормальное распределение:

∞

( x−m0)2

0.5 −Φ0

(

t − m0

)

0.5 −Φ0 (

t − 2000

)

−

P (t) =

2δ02

dx =

δ0

900

2π ∫t

δ0

0.5 + Φ0 (

)

0.5 + Φ0 (

2000

)

900

δ0

Табулируя эти функции от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим табл. 1.7.

В последнюю колонку записаны значения вероятностей безотказной работы системы, которые определяются произведением вероятностей безотказной работы элементов:

Pc (t) = P1 (t)P2 (t)P3 (t)P4 (t)P5 (t).

На рис. 1.4 показаны графики функций Pi(t), i = 1, 2, 3, 4, 5, соответствующих вероятностям безотказной работы элементов. Номера графиков соответствуют номерам элементов. На рис. 1.5 изображен график вероятности безотказной работы системы Рс(t).

Из графиков видно различное поведение вероятностей безотказной работы элементов. Скорость убывания вероятностей зависит от вида и параметров закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает P(t) для экспоненциального распределения и распреде-

ления Рэлея, т. е. при большом времени работы наиболее надежными оказываются третий и четвертый элементы системы.

		Вероятность безотказной работы элементов					Таблица 1.7
		Вероятность безотказной работы элементов

t, час	P1(t)		P2(t)	P3(t)	P4(t)	P5(t)	Pc(t)
0	1		1	1	1	1	1
100	0,980199		1	0,995696	0,9992	0,996918	0,972194
200	0,960789		0,999994	0,990256	0,996805	0,98773	0,936745
300	0,941765		0,999917	0,983464	0,992826	0,972604	0,894281
400	0,923116		0,999532	0,975087	0,987282	0,951817	0,845456
500	0,904837		0,998321	0,964883	0,980199	0,925741	0,790895
600	0,88692		0,995466	0,952605	0,971611	0,894839	0,731242
700	0,869358		0,989932	0,938013	0,961558	0,859646	0,66728
800	0,852144		0,980612	0,920884	0,950089	0,820755	0,600058
900	0,83527		0,966491	0,901022	0,937255	0,778801	0,530939
1000	0,818731		0,946799	0,878275	0,923116	0,734444	0,461577
1100	0,802519		0,921097	0,852542	0,907738	0,688351	0,393774
1200	0,786628		0,889326	0,823788	0,891188	0,64118	0,329303
1300	0,771052		0,851793	0,792053	0,873541	0,593567	0,269727
1400	0,755784		0,809123	0,757456	0,854875	0,546108	0,216247
1500	0,740818		0,762184	0,720202	0,83527	0,499352	0,169613
1600	0,726149		0,712001	0.680578	0,81481	0,453789	0,130105
1700	0,71177		0,659674	0,638951	0,793581	0,409845	0,097577
1800	0,697676		0,606303	0,595754	0,771669	0.367879	0,07154
1900	0,683861		0,552922	0,551479	0,749162	0,328179	0,051268
2000	0,67032		0,500461	0,506654	0,726149	0,29096	0,035911

Рис. 1.4. Вероятности безотказной работы элементов

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

T1 = ∞∫ Pc (t)dt = ∞∫ P1 (t)P2 (t)P3 (t)P4 (t)P5 (t)dt

0 0

по формуле Симпсона:

			26
		h	n−1
T1	=	h	(16∑(3 + (−1)k )P1 (kh)P2 (kh)P3 (kh)P4 (kh)P5 (kh)),
T1	=		(16∑(3 + (−1)k )P1 (kh)P2 (kh)P3 (kh)P4 (kh)P5 (kh)),
	3		k =1

где n – число точек, h – шаг интегрирования, выбираемый из условия обеспечения требуемой точности. Расчеты показывают, что для данных табл. 1.7 T1 = 976,3 час.

Рис. 1.5. Вероятность безотказной работы системы

На рис. 1.6 изображены графики интенсивностей отказов элементов. Кривая 4, соответствующая экспоненциальному закону, параллельна оси времени т. к. имеет постоянную интенсивность отказа. Все остальные кривые интенсивностей отказов являются возрастающими функциями времени.

На рис. 1.7 показан график интенсивности отказа системы, равной сумме интенсивностей отказов ее элементов:

λc (t) = λ1 (t) + λ2 (t) + λ3 (t) + λ4 (t) + λ5 (t).

Рис. 1.6. Интенсивности отказов элементов

Интенсивность отказа системы также является возрастающей функцией времени, что говорит о том, что система является стареющей, а закон распределения времени до ее отказа

не экспоненциальный. Вычислим плотности распределения вероятностей времени безотказной работы элементов.

Элемент 1. Распределение Вейбулла:

	αtα−+1		t		α		2t		t
		e−(		)				e−(		)2 .
f1 (t) =			β		=
									1800
	βα					18002

Рис. 1.7. Интенсивность отказа системы

Элемент 2. Гамма-распределение:

					tα−1			t			t 6				t
							e−(		) =			e−(				) .
		f2 (t) =						β
														300
				βα Γ(a)						3007 Γ(7)				300
				βα Γ(a)						3007 Γ(7)
Элемент 3. Распределение Рэлея:
		f3 (t) = 2λteλt 2 = 2 8 10−8 te−8 10−8 t 2 .
Элемент 4. Экспоненциальное распределение:
			f4 (t) = λe−λtt = 0.0002e0.0002t .
Элемент 5. Усеченное нормальное распределение:
							c						−		(t _ 2000)2		.
							c						−		2		.
		f5 (t) =											e	2*900
		f5 (t) =	δ 0										e	2*900
			δ 0	2π (0.5 + Φ0 (2000 / 900))
Табулируя плотности распределения от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим
табл. 1.8.																		Таблица 1.8
																		Таблица 1.8
	Плотности распределения времени безотказной работы элементов

t, час	f1(t)	f2(t)				f3(t)					f4(t)						f5(t)	fc(t)
1	2	3					4				5					6		7
0	0,0002	0			0,000038						0,000038					0		0
100	0,000196	0			0,000048						0,000048					0,000016		0,000062
200	0,000192	0			0,000061						0,000061					0,000032		0,000122
300	0,000188	0,000002			0,000075						0,000075					0,000048		0,000180
400	0.000185	0,000007			0,000092						0,000092					0,000063		0,000235
500	0,000181	0,000019			0,000112						0,000112					0,000078		0,000286
600	0,000177	0,00004			0,000134						0,000134					0,000093		0,000331
700	0,000174	0,000072			0,000158						0,000158					0,000108		0,000371

1	2	3	4	5	6	7
800	0,000170	0,000116	0,000185	0,000185	0,000122	0.000405
900	0,000167	0,000168	0,000213	0,000213	0,000135	0,000433
1000	0,000164	0,000227	0,000242	0,000242	0,000148	0,000453
1100	0,000161	0,000288	0,000272	0,000272	0,000160	0,000467
1200	0,000157	0,000347	0,000303	0,000303	0,000171	0,000475
1300	0,000154	0,000402	0,000038	0,000332	0,000182	0,000476
1400	0,000151	0,000450	0,000360	0,000360	0,000191	0,000472
1500	0,000148	0,000487	0,000385	0,000385	0,000200	0.000462
1600	0,000145	0,000514	0,000407	0,000407	0,000209	0,000448
1700	0,000142	0,000530	0,000425	0,000425	0,000216	0.000430
1800	0,000140	0,000535	0,000438	0,000438	0,000222	0.000409
1900	0,000137	0,000531	0,000446	0,000446	0,000228	0,000385
2000	0.000134	0,000517	0,000449	0,000449	0,000232	0,000359

Графики, построенные по данным табл. 1.8, приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Плотности распределения времени

Плотность распределения времени до отказа системы f(t) изображена на рис. 1.9. Для ее изображения вычисления выполнялись по формуле:

fc (t) = λc (t)Pc (t).

Из графика отчетливо видна неэкспоненциальность распределения времени до отказа нерезервированной системы, если законы распределения времени до отказа ее элементов не являются экспоненциальными.

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1.1. Техническая система состоит из n = 3 подсистем, которые могут отказать независимо друг от друга. Отказ каждой подсистемы приводит к отказу всей системы. Вероятность того, что в течение времени t первая подсистема проработает безотказно, равна 0,7, вторая – 0,9, третья – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t система проработает безотказно. Найти вероятность отказа системы за время t.

Ответ: 0,504; 0,496.

1.2. Известно, что серийно выпускаемая деталь имеет экспоненциальное распределение

времени до отказа с параметром λ =10−5 час-1. Деталь используется конструктором при разработке нового прибора. Назначенный ресурс прибора Тн = 104 час.

Определить следующие показатели надежности детали:

–вероятность отказа детали до момента Тн;

–вероятность того, что деталь безотказно проработает в течение времени Тн;

–вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале времени от 103 до

104 час.

Ответ: 0,0952; 0,9048; 0,0852.

Рис. 1.9. Плотность распределения времени до отказа системы

1.3. Проектируется нерезервированная система, состоящая из элементов четырех групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в табл. 1.9.

		Таблица 1.9
Данные о числе элементов системы и интенсивности их отказов

Номер группы	Число элементов	Интенсивность отказа элемента, час-1
1	10	2·10-6
2	15	4·10-6
3	32	2,5·10-6
4	8	5·10-6

Определить:

–интенсивность отказа системы;

–среднее время безотказной работы;

–вероятность безотказной работы системы в течение времени t1 = 100 час, t2 = 1000 час

ив интервале указанных наработок;

–плотность распределения времени безотказной работы системы при наработке t2 = 1000 час.

Ответ:

λc = 2 10−4 час −1;Tc = 4800час; P(t1 ) = 0.9792; P(t2 ) = 0.8106; P(t1 ;t2 ) = 0,1686; f (t2 ) =1,7 10−4 час−1.

1.4. Система состоит из пяти элементов. Данные о их надежности приведены в табл.

1.10.

Определить:

–вероятность безотказной работы системы;

–среднее время безотказной работы системы;

–интенсивность отказов системы;

–плотность распределения времени до отказа системы.

Решение представить в аналитическом виде, в виде графиков и таблиц.

					Таблица 1.10
	Законы распределения времени до отказа элементов и их параметры

Вариант			Элементы	4
	1	2	3	4	5
1	TN(390;100)	Г(9;65)	Exp(8·10-5)	R(2·10-5)	W(5;200)
2	R(1·10-5)	W(4.5;180)	Г(8;77)	TN(400;92)	Exp(1·10-4)
3	Г(10;70)	Exp(5·10-5)	TN(375;86)	R(3·10-5)	W(4.8;90)
4	TN(380;100)	R(1.6·10-5)	W(7;210)	Exp(2·10-4)	Г(9;85)
5	W(6;195)	TN(410;95)	Exp(2-10-5)	Г(8;75)	R(2.5·10-5)

1.5.Система состоит из пяти элементов с экспоненциальными законами распределения

времени до отказа. Показателями их надежности являются: P1(100) = 0,99, λ 2 = 0,00001 час-1,

Т3 = 8100 час, T4 = 7860 час, λ 5 = 0,000025 час-1.

Определить время t, в течение которого система будет исправна с вероятностью 0,92.

Ответ: t = 215 час.

1.6.Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов имеют следующие значения:

Р1(100) = 0,99, Р2 (200) = 0.97, P3(157) = 0.98, P4(350) = 0.95, P5(120) = 0.98.

Определить вероятность безотказной работы системы в течение 625 часов ее функционирования, а также среднее время безотказной работы.

Ответ: Pc(625) = 0,4611; T1 = 807 час.

1.7.Время работы до отказа серийно выпускаемой детали распределено по нормальному закону с параметрами: m = 1000 час, δ = 250 час.

Определить:

– вероятность того, что деталь проработает безотказно более 1200 часов;

– вероятность того, что наработка до отказа будет находиться в интервале

[ m −3δ, m +3δ ];

– вероятность того, что, безотказно проработав до момента времени 1200 часов, деталь безотказно проработает и до 1500 часов.

Ответ: 0,2119; 0,9973; 0,1074.

1.8. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика имеет нормальное распределение времени до отказа с параметрами m = 4000 час,

δ= 1000 час. Определить следующие показатели надежности детали:

–наработку до отказа, соответствующую 90 % надежности детали;

–вероятность того, что деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2000; 3000];

–вероятность того, что деталь имеет наработку, большую, чем 4000 часов.

Ответ: 2718 часов; 0,1359; 0,5.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Н а д е ж н о с т ь

#
09.06.2015192.01 Кб186140604.65 Надежность технических систем.pdf
#
09.06.2015848.6 Кб176app008.pdf
#
09.06.20151.92 Mб119diagnost.pdf
#
09.06.20151.87 Mб123poz115.pdf
#
09.06.20155.59 Mб215uprresurs.doc
#
09.06.20151.8 Mб773Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf
#
09.06.201556.83 Кб96МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНОК.doc
#
09.06.2015121.86 Кб117Министерство транспорта Российской Федерации.doc