Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Н а д е ж н о с т ь / Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf

Скачиваний:

773

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

5.4. Расчет показателей надежности резервированных восстанавливаемых систем

Методы расчета показателей надежности резервированных восстанавливаемых систем, как правило, являются сложными с точки зрения инженерного применения. Однако при определенных допущениях можно выделить классы систем, имеющих достаточно простые алгоритмы для вычисления показателей надежности. Такими допущениями обычно являются:

–относительная простота структурных схем расчета надежности;

–независимость элементов по отказам и по восстановлению;

–экспоненциальные законы распределения времени безотказной работы и времени восстановления элементов;

–определенные стратегии обслуживания отказавших элементов;

–стационарный характер показателей надежности системы.

При оценке надежности стационарных и нестационарных показателей надежности восстанавливаемых систем чаще всего используются методы одномерных и многомерных марковских случайных процессов. Далее в этой главе будут рассматриваться примеры расчета надежности с помощью этих методов.

В некоторых случаях удается получить точные значения показателей надежности. В общем случае значения показателей надежности являются приближенными и рассчитываются программным путем.

4.1. Методы расчета надежности систем при экспоненциальных законах распределения отказов и восстановлений

Предположим, что функционирование системы описывается графом, изображенным на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Граф состояний системы

На рисунке приняты следующие обозначения: λi – интенсивности переходов, соответствующие отказам элементов системы; μi – интенсивности переходов, соответствующие

восстановлениям элементов системы; п + 1 – общее число состояний.

Состояния с номерами 0, 1, 2,..., п – 1 являются исправными, а состояние с номером п – отказовым.

Коэффициент готовности, наработка на отказ, среднее время восстановления и среднее время безотказной работы вычисляются по формулам:

n−1

1+ ∑ρ1 Kρk

k =1

, T =

k =1

, T

λn ρ1 Kρn−1

μп

1+ ∑ρ1 Kρk

(4.1)

k =1

1+γ

−1

+γ

k −2

+K+γ

−1

Kγ

Т1 = ∑

k −1

λk

λi

μi .

k =1

где ρi =

, γi =

Если все элементы системы идентичны по надежности и ремонтопригодности, то графом рис. 4.1 описывается функционирование систем с постоянно включенным резервом и

резервом замещением, мажоритарные системы и системы со скользящим резервом, обслуживаемые любым количеством ремонтных бригад.

Пусть λ – интенсивность отказа, a μ – интенсивность восстановления каждого элемента системы. В зависимости от условий функционирования и обслуживания системы интенсивности переходов λi и μi , принимают различные значения. Значения λi содержатся в табл. 4.1.

Интенсивности отказов			Таблица 4.1
Интенсивности отказов

Вид резервирования	λi
Постоянное	(п	+1	−i)λ, i =1, 2,K, n
(1 основной, m резервных элементов)	(п	+1	−i)λ, i =1, 2,K, n
(1 основной, m резервных элементов)
Замещением	λ, i =		1, 2,K, n
(1 основной, m резервных элементов)	λ, i =		1, 2,K, n
(1 основной, m резервных элементов)
Мажоритарное	(п	+1	−i)λ, i =1, 2,K, m +1
((n – m) основных, m резервных элементов)	(п	+1	−i)λ, i =1, 2,K, m +1
((n – m) основных, m резервных элементов)
Скользящее	(m − п)λ, i =1, 2,K, m +1
((n – m) основных, m резервных элементов)	(m − п)λ, i =1, 2,K, m +1
((n – m) основных, m резервных элементов)

Интенсивности восстановления μi , вычисляются по формуле:

μi	iμ,	при i ≤ r;	(4.2)
	=	при i > r,
	rμ,

где r – число ремонтных бригад.

Приведем частные случаи резервированных систем, показатели, надежности которых вычисляются по соотношениям (4.1):

• Система с постоянно включенным резервом

Структурная схема резервированной системы с кратностью m приведена на рис. 4.2.

В этом случае для полностью ограниченного восстановления (одна обслуживающая

бригада) показатели надежности вычисляются по формулам:

∑

m+1

KГ =

i=1

T =

∑

Tв =

(4.3)

m+1

∑

i=1

i=0

где γ =

μ .

Рис. 4.2. Структурная схема резервированной системы (постоянно включенный резерв)

Для неограниченного восстановления (число бригад обслуживания равно)

К		=1	−	ρm+1	, T =	(1	+ ρ)m+1 − ρm+1	, T =	1	.	(4.4)
	Г			(1+ ρ)m+1			λ(m +1)ρm
								в	(m +1)μ

• Система с резервом замещением

Структурная схема системы кратности m приведена на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Структурная схема резервированной системы (резерв замещением)

В случае полностью ограниченного восстановления, показатели надежности определяются так:

	m
	∑ρi		1	m	1
KГ =	i=0	, T =	1	∑γ i , Tв =	1	,
KГ =	m+1	, T =		∑γ i , Tв =		,
	∑ρi		λ i=0		μ

i=0

ав случае неограниченного восстановления:

∑

m+1

KГ =

i=1

T =

∑i=0

Tв =

m+1

ρi

(m −i)!

(m +1)μ

∑

i=0

(4.5)

(4.6)

Нестационарные показатели надежности, такие как вероятность безотказной работы или функция готовности, определяются путем составления и решения систем дифференциальных уравнений.

4.2. Методы расчета надежности систем при произвольных законах распределения отказов и восстановлений

В этом разделе будем предполагать, что все или некоторая часть элементов системы имеют неэкспоненциальные законы распределения времени до отказа или времени восстановления. Тогда функционирование системы описывается интегральными уравнениями. Вопросы составления и решения систем интегральных уравнений для структурных схем с небольшим числом элементов в каждом случае будут рассматриваться индивидуально.

4.2.1. Дублированная система с постоянно включенным резервом

Структурная схема системы показана на рис. 4.4. На рисунке введены следующие обозначения:

fi (t) – плотность распределения времени безотказной работы i-го элемента;

gi (t) – плотность распределения времени восстановления i -го элемента, i = 1,2.

Исследование надежности системы зависит от дисциплины обслуживания отказавших элементов.

Рис. 4.4. Структурная схема дублированной системы с постоянным резервом

Ограниченное восстановление. Прямой приоритет.

Граф состояний системы, обслуживаемой одной ремонтной бригадой с прямым приоритетом, представлен на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Граф состояний дублированной системы (ограниченное восстановление, прямой приоритет)

Система имеет 5 возможных состояний: (0) – оба элемента системы исправны; (1) – элемент 1 отказал и восстанавливается, элемент 2 исправен; (2) – элемент 2 отказал и восстанавливается, элемент 1 исправен; (3) – отказал сначала элемент 1, а затем элемент 2, элемент 1 восстанавливается; (4) – отказал сначала элемент 2, а затем элемент 1, элемент 2 восстанавливается.

Предположим, что элементы системы имеют постоянные интенсивности отказов λ1 и

λ2 . Тогда λ4 = λ1 , λ3 = λ2 .

Вычислим интенсивности восстановлений. На графе они обозначены μ1 , μ2 , μ3 , μ4 . Для

этого	введем		функции,	соответствующие		указанным	состояниям:
y0 (s1 , s2 ), y1 (τ1 , s2 ), y2 (s1 ,τ2 ), y3 (τ1 ,0), y4 (0,τ2 ) ,					и составим следующую систему уравнений
для описания стационарного режима функционирования:
			∞		∞
	yo (s1 , s2 ) = ∫ f1 (x + s1 ) y1 (0, x + s2 )dx + ∫ f2 (x + s2 ) y2 (x + s1 ,0)dx;
			0		0
			∞		∞
	y1 (τ1 , s2 )		= ∫g1 (x +τ1 ) y0 (0, x + s2 )dx + ∫g1 (x +τ1 ) f2 (x + s2 ) y4 (0,0)dx;
			0		0
			∞		∞
		(s1 ,τ2 )	= ∫g2 (x +τ2 )y0 (x + s1 ,0)dx + ∫g2 (x +τ2 ) f1 (x + s1 ) y3 (0,0)dx;					(4.7)
	y2	(s1 ,τ2 )						(4.7)
			0		0
			∞
	y3 (τ1 ,0) = ∫y1 (x +τ1 ,0)dx;
			0
			0
			∞
		(0,τ2 ) = ∫y2 (0, x +τ2 )dx.
	y4	(0,τ2 ) = ∫y2 (0, x +τ2 )dx.
			0

Так как время безотказной работы элементов имеет экспоненциальное распределение, то из уравнения для функции ух системы (4.7) получим:

ω1,0

= ∞∫y1 (0, s2 )ds2

= ∞∫g1 (x)e−λ2 x dx(λ1 p0 + y4 (0,0)),

p1 = ∞∫∫∞ y1 (τ1 , s2 )dτ1ds2

= ∞∫

G1 (x)e−λ2 x dx(λ1 p0 + y(0,0)).

Тогда интенсивность перехода μ1 , будет равна:

ω1,0

gˆ1(λ2 )

G (λ )

Функцию y1 (τ1 ,0) можно представить в следующем виде:

y1 (τ1 ,0) = λ2

∞∫g1 (x +τ1 )e−λ2 x dx(λ1 p0 + y4 (0,0)).

Из 4-го уравнения системы (4.7) найдем функцию у3 :

y3 (τ1 ,0) = ∞∫y1 (x +τ1 ,0)dx =λ2

∞∫∫∞ g1 (x +α +τ1 )e−λ2 x dαdx(λ1 p0 + y4 (0,0))

или

y3 (τ1 ,0) = ∞∫g1 (x +τ1 )(1−e−λ2 x )dx(λ1 p0 + y4 (0,0)).

Тогда

ω3,2

= y(0,0) = ∞∫g1 (x)(1−e−λ2 x )dx(λ1 p0

+ y4 (0,0)) = (1− gˆ1 (λ2 ))(λ1 p0 + y4 (0,0)),

∞

−λ2 x

p3 = ∫y3 (τ1 ,0)dτ1 = ∫G1 (x)(1−e

+ y4

(0,0)).

)dx(λ1 p0 + y4 (0,0)) = (Tв1 −G1 (λ2 ))(λ1 p0

Следовательно,

ω3,2

1− gˆ1

μ3

(λ2 )

Tв1 −G1

Аналогично получаются и другие интенсивности восстановления:

μ2 =		gˆ 2	(λ1 )	, μ4	=	1− gˆ 2	(λ1 )	.
		ˆ	(λ1 )			ˆ

	G2					Tв2 −G2 (λ1 )

Зная все интенсивности переходов в графе, можно составить систему линейных алгебраических уравнений для стационарного режима функционирования и в результате ее решения определить вероятности состояний рk и параметры переходов ωk ,1 . После этого вычис-

ляются значения требуемых показателей надежности. Наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности системы вычисляются по формулам:

Т =

+ p1 + p2

+ p4

, K

(4.8)

p + λ

Т +

Оценим надежность системы для переменных интенсивностей отказов элементов. В [3] получены следующие приближенные значения вероятностей состояний системы и параметров перехода из одного состояния в другое:

= C0T1T2 ,

p1 = C1 ∞∫Ф2 (x)

p2 = C2 ∞∫Ф1 (x)

G1 (x)dx,

G2 (x)dx,

p3 = C3 ∞∫

p4 = C4 ∞∫

F2 (x)Ψ1 (x)dx,

F1 (x)Ψ2 (x)dx,

ω0,1

= C0T2 , ω0,2 = C0T1 ,

ω1,0

= C1

∞∫Ф2 (x)g1 (x)dx,

ω2,0

= C2

∞∫Ф1 (x)g2 (x)dx,

ω1,3

= C1

∞∫

ω2,4

= C2

∞∫

F2 (x)G1 (x)dx,

F1 (x)G2 (x)dx,

ω3,2

= C3

∞∫

ω4,1

= C4

∞∫

F2 (x)G1 (x)dx,

F1 (x)G2 (x)dx.

В выражениях приняты следующие обозначения:

–

(t) =1− Fi (t),

Fi (t)

– функция распределения времени до отказа i-го элемента,

Фi (t) = ∞∫Fi (x +t)dx;

– Gi (t) =1−Gi (t),Gi (t) – функция распределения времени восстановления i-го элемен-

та, Ψi (t) = ∞∫Gi (x +t)dx.

Здесь и далееTi – среднее время безотказной работы, а Tвi – среднее время восстановления i-го элемента, i = 1,2.

Постоянные коэффициенты определяются с учетом следующих условий: сумма вероятностей всех состояний равна единице:

p0 + p1 + p2 + p3 + p4 =1;

для каждого состояния сумма параметров переходов в другие состояния равна сумме параметров переходов из всех состояний в данное:

ω0,1 +ω0,2 = ω1,0 +ω2,0 , ω1,0 +ω1,3 = ω0,1 +ω4,1 ,

ω2,0 +ω2,4 = ω0,2 +ω3,2 ,

ω3,2 = ω1,3 ,

ω4,1 = ω2,4 .

Найдем интенсивности переходов из одного достояния в другое по формуле λi, j

На основании графа, изображенного на рис. 4.5, получим:

λ =	1	, λ		=	1	, μ		=	∞∫Ф2 (x)g1 (x)dx	, μ		=	∞∫Ф1 (x)g2 (x)dx
	1				1				0				0	,
														,
1	Т1		2		Т2		1		∞		2		∞
	Т1				Т2				∫Ф2 (x)G1 (x)dx				∫Ф1 (x)G2 (x)dx
									∫Ф2 (x)G1 (x)dx				∫Ф1 (x)G2 (x)dx
									0				0

= ωi, j .

∞∫

F2 (x)G1 (x)dx

F1 (x)G2 (x)dx

F2 (x)G1 (x)dx

λ3 =

, λ4 =

, μ3 =

∞

∫Ф2 (x)

∫Ф1 (x)

∫

G1 (x)dx

G2 (x)dx

F2 (x)Ψ1 (x)dx

∞∫

F1 (x)G2 (x)dx

μ4 =

∞

∫

F1 (x)Ψ2 (x)dx

Показатели надежности системы определяются стандартным способом, путем составления и решения системы линейных алгебраических уравнений, описывающей стационарный режим функционирования, и использования формул (4.8).

Ограниченное восстановление. Обратный приоритет.

Предположим, что элементы дублированной системы имеют произвольные законы распределения отказов и восстановлений. Обслуживание осуществляет одна ремонтная бригада с обратным приоритетом. Граф состояний системы изображен на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Граф состояний дублированной системы (ограниченное восстановление. обратный приоритет)

Так как показатели надежности инвариантны к законам распределения и зависят только от математических ожиданий [3], то интенсивности переходов в графе состояний равны соответствующим интенсивностям отказов и восстановлений элементов. Тогда:

λ	=	1	,λ	2	=	1	, μ	1	=	1	, μ	2	=	1	.

1		T1				T2				Tв1				Tв2

В соответствии с формулами (4.8) стационарные показатели надежности определяются по формулам:

		Т =		1+ ρ1 + ρ2	,	Тв =	2	,	КГ =	1+ ρ1 + ρ2	,
		Т =		(μ1 + μ2 )ρ1 ρ2	,	Тв =	μ1 + μ2	,	КГ =	1+ ρ1 + ρ2 + 2ρ1 ρ2	,
где	ρi =	λi	, i =1,2.
где	ρi =	μ	, i =1,2.
		μ
		i

Ограниченное восстановление. Назначенный приоритет.

Пусть элементы системы имеют постоянные интенсивности отказов. В соответствии с принятой дисциплиной обслуживания при отказе двух элементов первым восстанавливается элемент 1, независимо от порядка номеров отказавших элементов. Тогда граф состояний имеет вид, изображенный на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Граф состояний дублированной системы (ограниченное восстановление, назначенный приоритет)

Введем

функции,

соответствующие

состояниям

графа:

y0 (s1 , s2 ), y1 (τ1 , s2 ), y2 (s1 ,τ2 ), y12 (τ1 ,0), y21 (τ1 ,τ2′) ,

и составим систему интегральных уравне-

нии для стационарного режима:

∞

yo (s1 , s2 ) =

∫ f1 (x + s1 ) y1 (0, x + s2 )dx +

∫ f2 (x + s2 ) y2 (x + s1 ,0)dx;

∞

y1 (τ1 , s2 ) =

∫g1 (x +τ1 ) y0 (0, x + s2 )dx;

∞

,τ2 ) =

∫g2 (x +τ2 )y0 (x + s1 ,0)dx + ∫g2 (x +τ2 ) f1 (x + s1 ) y3 (0,0)dx;

y2 (s1

(4.10)

∞

+ ∫ f1 (x + s1 ) y4 (0, x +τ2 )dx;

∞

y3 (τ1 ,0) = ∫y1 (x +τ1 ,0)dx;

∞

,τ2 ) =

∫g1 (x +τ1 ) y2 (0,τ2 )dx = G1 (τ1 ) y2 (0,τ2 ).

y4 (τ1

Так как время до отказа элементов имеет экспоненциальное распределение с парамет-

рами λ1 и λ2 , то из уравнения для функции ух системы (4.10) получим:

ω1,0

= ∞∫y1 (0, s2 )ds2

= ∞∫g1 (x)e−λ2 x dxλ1 p0 ,

p1 = ∞∫∫∞ y1 (τ1 , s2 )dτ1ds2 = ∞∫

G1 (x)e−λ2 x dxλ1 p0 .

Тогда интенсивность перехода μ1 будет равна:

μ1 =

ω1,0

gˆ

(λ

)

(λ2 )

полагая в функции у1 аргумент s2 = 0, получим:

y1 (τ1 ,0) = λ2

∞∫g1 (x +τ1 )e−λ2 x dxλ1 p0 .

Из 4-го уравнения системы (4.9) найдем функцию у3:

y3 (τ1 ,0) = ∞∫y1 (x +τ1 ,0)dx =λ2

∞∫∫∞ g1 (x +α +τ1 )e−λ2 x dαdxλ1 p0

Следовательно,

y3 (τ1 ,0) = ∞∫g1 (x +τ1 )(1−e−λ2 x )dxλ1 p0 .

Тогда

ω3,2

= y(0,0) = ∞∫g1 (x)(1−e−λ2 x )dx(λ1 p0 + y4 (0,0)) = (1− gˆ1 (λ2 ))λ1 p0 ,

∞

−λ2 x

= ∫y3 (τ1 ,0)dτ1 = ∫G1 (x)(1−e

)dxλ1 p0

(Tв1 −G1 (λ2 ))λ1 p0 .

Следовательно

ω3,2

1− gˆ1 (λ2 )

μ3

Tв1 −G1 (λ2 )

Таким образом, интенсивности μ1 и μ3

получились такими же, как и для прямого при-

оритета обслуживания. Вычислим теперь интенсивности μ2

и μ4 .

Из выражений для функций у2 и у4 получим:

y2 (0,τ2 ) = ∞∫g2 (x +τ2 ) y0 (x,0)dx + ∞∫g2 (x +τ2 ) f1 (x) y3 (0,0)dx + ∞∫ f1 (x) y2 (0, x +τ2 )dx

или

y2 (0,τ2 ) = λ1

∞∫g2 (x +τ2 )e−λ1x dx(λ2 p0

+ y3 (0,0)) + ∞∫ f1 (x) y2 (0, x +τ2 )dx.

Получено интегральное уравнение, имеющее вид:

y2 (0,τ2 ) =ϕ(τ2 ) + ∞∫ f1 (x) y2 (0, x +τ2 )dx,

где

ϕ(τ2 )= λ1 A∞∫g2 (x +τ2 )e−λ11x dx,

A = λ2 p0

+ y3 (0,0).

Решением этого уравнения является функция

y2 (0,τ2 ) =ϕ(τ2 ) + ∞∫ω(x)ϕ2 (x +τ2 )dx,

∞

где ω(x) = ∑ f1 (x) . В этом можно убедиться, подставив решение в исходное уравне-

k =1

ние. Для случая экспоненциального закона распределения отказов ω(x) = λ1 . Следовательно,

y2 (0,τ2 ) =ϕ(τ2 ) + λ1			∞∫	ϕ2 (x +τ2 )dx = λ1 А∞∫g2 (x +τ2 )e−λ1x dx +
			0	0
+ λ12 А∞∫∫∞ g2 (x +α +τ2 )e−λ1x dαdx = λ1 А∞∫g2 (x +τ2 )e−λ1x dx +
0	0			0
+ λ1А∞∫∫∞ g2 (x +τ2 )(1−e−λ1x )dx = λ1 А∞∫g2 (x +τ2 )dx.
	0	0		0

Таким образом,

y2 (0,τ2 ) = λ1 АG2 (τ2 ).

Отсюда находим

ω2,0 = λ1 А, р2 = λ1 АТв2 .

Тогда интенсивность перехода μ2 , будет равна

μ2	=	ω2,0	=	1	.
		p2		Tв2

Из выражения для функции у4 следует:

ω4,2 = ∞∫y4 (0,τ2 )dτ2 = ∞∫y2 (0,τ2 )dτ2 ,

p4 = ∞∫∫∞ y4 (τ1 ,τ2 )dτ1 , dτ2 = Tв1 ∞∫y2 (0,τ2 )dτ2 ,

0	0					0
поэтому			ω4,2
	μ4	=	ω4,2	=	1	.
	μ4	=	p4	=	Tв1	.
			p4		Tв1

Интенсивности μ2 и μ4 получились такими же, как и для обратного приоритета об-

служивания.

Стационарные показатели надежности системы определяются по формулам (4.9).

Неограниченное восстановление.

Предположим, что обслуживание системы осуществляют две бригады. Граф состояний системы изображен на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Граф состояний дублированной системы (неограниченное восстановление)

Поскольку для неограниченного восстановления очередь не образуется, то для любых законов распределения времени до отказа и восстановления интенсивности переходов в графе равны соответствующим интенсивностям отказов и восстановлений элементов, т. е.:

λ1 = Т11 , λ2 = Т12 , μ1 = Т1в1 , μ2 = Т1в2 .

Стационарные показатели надежности определяются по формулам:

Т =

1+ ρ1 + ρ2

Tв =

Kг =

1+ ρ1 + ρ2

(μ1 + μ2 )ρ1 ρ2

μ1 + μ2

1+ ρ1 + ρ2 + ρ1 ρ2

где

λi

, i =1, 2.

4.2.2. Дублированная система с резервом замещением

Структурная схема дублированной системы с резервом замещением представлена на рис. 4.9.

Плотности распределения времени безотказной работы элементов обозначены через fi (t) , а плотности распределения времени восстановления – через gi (t), i =1, 2.

Проведем анализ надежности системы для различных приоритетов обслуживания.

Рис. 4.9. Структурная схема дублированной системы с резервом замещением

Ограниченное восстановление. Прямой приоритет.

Граф состояний системы, обслуживаемой одной ремонтной бригадой с прямым приоритетом, изображен на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Граф состояний дублированной системы(ограниченное восстановление, прямой приоритет)

В [3] получены точные соотношения для вероятностей состояний и параметров переходов при любых законах распределения времени до отказа и времени восстановления элементов. Эти соотношения имеют вид:

р01

= А∞∫

p02 = A∞∫G1 (x)

= A∞∫

F1 (x)G2 (x)dx,

F2 (x)dx,

G1 (x)

F2 (x)dx,

∞

= A∫

p3 = A∫

p4 = A∫

F1 (x)G2 (x)dx,

G1 (x)

F2 (x)dx,

F1 (x)G2 (x)dx,

ω01,1

= ω2,01

= A∞∫

ω02,2

= ω1,02

= A∞∫g1 (x)

F1 (x)g2 (x)dx,

F2 (x)dx,

ω1,3

= ω3,2

= A∞∫

ω2,4

= ω4,1 = A∞∫ f1 (x)

G1 (x) f2 (x)dx,

G2 (x)dx.

где А = const.

Ha основе этих формул легко найти интенсивности переходов в графе состояний для стационарного режима функционирования системы. Искомые интенсивности имеют вид:

∞∫

F1 (x)g2 (x)dx

F2 (x)g1 (x)dx

G1 (x) f2 (x)dx

λ =

∞

∫

F1 (x)G2 (x)dx

F2 (x)G1 (x)dx

G1 (x)

F2 (x)dx

∞∫

∞∫g1 (x)

∞∫g2 (x)

G2 (x) f1 (x)dx

F2 (x)dx

F1 (x)dx

λ4 =

μ1 =

μ2 =

∞

∫

G2 (x)F1 (x)dx

G2 (x)

F2 (x)dx

G2 (x)

F1 (x)dx

∞∫

G1 (x) f2 (x)dx

G2 (x) f1 (x)dx

μ3 =

, μ4 =

∞

∫

G1 (x)F2 (x)dx

G2 (x)F1 (x)dx

Из этих соотношений следует, что для случая экспоненциального времени безотказной работы элементов интенсивности переходов при резервировании замещением и при постоянно включенном резерве совпадают.

Полученные интенсивности переходов позволяют определить стационарные вероятности состояний рk, на основе которых вычисляются наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности системы.

Соответствующие формулы имеют вид:

Т =

p01 + p02

+ р1 + p2

T =

+ p4

(4.10)

p + λ

Т +

p + λ

Ограниченное восстановление. Обратный приоритет обслуживания.

Рассмотрим только случай постоянных интенсивностей отказов элементов.

Граф состояний системы изображен на рис. 4.11.

Для оценки надежности составим следующую систему интегральных уравнений:

						∞

yo1 (s1 ,0) = ∫y2 (x + s1 ,0)dx;
						0
						∞
y02 (0, s2 ) = ∫y1 (0, x + s2 )dx;
						0
						∞								∞
		(τ1 , s2 ) = ∫g1 (x +τ1 ) f2 (x + s2 ) y01 (0,0)dx + ∫ f2 (x + s2 ) y3 (x +τ1 ,0)dx; (4.11)
y1
						0								0
						∞								∞
y	2 (s1 ,τ2 ) = ∫ f1 (x + s1 )g2 (x +τ2 ) y02 (0,0)dx + ∫ f1 (x + s1 ) y4 (0, x +τ1 )dx;
						0								0

		(τ1 ,τ2 ) = G2 (τ2 ) y1 (τ1 ,0);
y3		(τ1 ,τ2 ) = G2 (τ2 ) y1 (τ1 ,0);
y		(τ		,τ		) =		(τ		) y		(0,τ		).
y	4	(τ	1	,τ	2	) =	G	(τ	1	) y	2	(0,τ	2	).
	4		1		2	1			1		2		2
Преобразуем третье уравнение, соответствующее функции у1:
			y1 (τ1 ,0) = ∞∫g1 (x +τ1 ) f2 (x)dxy01 (0,0) + ∞∫ f2 (x) y1 (x +τ1 ,0)dx.
						0								0

Методом последовательных приближений найдем

y1 (τ1 ,0) = ∞∫g1 (x +τ1 )ω2 (x)dxy01 (0,0),

∞

где ωi (x) = ∑ fi (k ) (x).

k =1

Рис. 4.11. Граф состояний дублированной системы (ограниченное восстановление, обратный приоритет)

Так как ωi (x) = λi , то y1 (τ1 ,0) = λ2G1 (τ1 ) y01 (0,0). Следовательно,

(τ

, s

) = λ

(τ

−λ2s2 y

(0,0).

Аналогично,

(s ,τ

)e−λ1s1

) = λ

(τ

(0,0).

Определим функцию нулевого уровня:

y01 (s1 ,0) = ∞∫λ2 (x + s1 ,0)dx = e−λ1s1 y02 (0,0).

Определим функцию второго уровня:

y3 (τ1 ,τ2 ) =

G2 (τ2 ) y1 (τ1 ,0) = λ2G1 (τ1 )G2 (τ2 ) y01 (0,0).

Тогда

ω01,1

ω1,3

01,1

= λ ,

= λ

p01

1,3

т. е. интенсивности отказов совпадают с соответствующими интенсивностями отказов элементов. Определим интенсивности восстановлений:

μ1 = μ1,02	=	ω1,02	=	1	,	μ3 = μ3,1 =	ω3,1	=	1	.
		p1		Tв1			p3		Tв2

Таким образом, интенсивности переходов равны значениям, обратным математическим ожиданиям. Стационарные показатели надежности определяются по формулам (4.10).

Ограниченное восстановление. Назначенный приоритет обслуживания.

Рассмотрим лишь случай постоянных интенсивностей отказов элементов. Граф состояний изображен на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Граф состояний дублированной системы (ограниченное восстановление, назначенный приоритет)

Искомые функции удовлетворяют следующей системе интегральных уравнений [3]:

∞

yo1 (s1 ,0) = ∫y2 (x + s1 ,0)dx;

∞

y02 (0, s2 ) = ∫y1 (0, x + s2 )dx;

∞

(τ1 , s2 ) = ∫g1 (x +τ1 ) f2

(x + s2 ) y01

(0,0)dx;

(4.13)

∞

(s1 ,τ2 ) = ∫ f1 (x + s1 )g2 (x +τ2 )( y02 (0,0) + y3 (0,0))dx + ∫ f1 (x + s1 ) y4 (0, x +τ1 )dx;

∞

(τ1 ,0) = ∫y1 (x +τ1 ,0)dx;

(τ

,τ

) =

(τ

) y

(0,τ

Для экспоненциального времени безотказной работы решение этой системы имеет вид:

(s ,0) = е−λ1s1 ( y

(0,0) + y

(0,0)),

y02 (0, s2 ) = λ2

∞∫G1 (x)e−λ2 ( x+s2 ) dxy01 (0,0),

y1 (τ1 , s2 ) = λ2

∞∫g1 (x +τ1 )e−λ2 ( x+s2 ) y01 (0,0)dx;

(s ,τ

) = λ

(τ

)e−λ1s1 ( y

(0,0) + y (0,0)),

y3 (τ1 ,0) = λ2

∞∫

G1 (x +τ1 )e−λ2s dxy01 (0,0),

y4 (τ1 ,τ2 ) = λ1

G1 (τ1 )G2 (τ2 )( y02 (0,0) + y12 (0,0)).

Определяем интенсивности отказов:

01,1

ω01,1

= λ ,

02,0

ω02,2

= λ

p01

p02

∞∫

G1 (x) f2 (x)dx

λ =

1,3

= λ

2,4

= λ ,

1,3

∞∫

2,4

G1 (x)

F2 (x)dx

и интенсивности восстановлений:

∞∫g1

(x)

F2 (x)dx

gˆ

(λ

)

2,01

μ1 =

1,02

μ2

∞

Tв2

∫G1 (x)F2 (x)dx

(λ2 )

∞

∫

(x) f2 (x)dx

ω3,2

1− gˆ

(λ

)

ω4,2

μ3 =

μ4 =

∞

Tв1

∫G1

(x)F2 (x)dx

Tв1 −G1

(λ2 )

Как и для других приоритетов обслуживания, стационарные показатели надежности определяются по формулам (4.11).

Заметим, что для неограниченного восстановления простые формулы для интенсивностей переходов найти не удается. Это объясняется тем, что функция, определяющая отказовое состояние, зависит от двух аргументов, соответствующих неэкспоненциальным компонентам.

4.2.3. Дублированная система с облегчённым резервом

Дублированная система с постоянно включенным резервом состоит из равнонадежных элементов. Однако один из них работает в облегченном режиме, при котором его интенсивность отказов равна kλ , где k < 1. При отказе любого из элементов интенсивность отказа исправного элемента становится равной λ . Структурная схема системы представлена на рис. 4.13.

Рассмотрим две возможные стратегии обслуживания системы с облегченным резервом.

	Рис. 4.13. Дублированная система с облег-	Рис. 4.14. Граф состояний дублированной
	ченным резервом	системы с облегченным резервом
	ченным резервом	(предыстория "забывается")
		(предыстория "забывается")

Стратегия 1. Система функционирует следующим образом: сначала работают оба элемента (состояние (0)), при этом первый (основной) элемент имеет интенсивность отказа λ , а второй (резервный) – kλ , где k < 1. Второй элемент работает с меньшей нагрузкой (в облегченном режиме), и интенсивность его отказа меньше, чем у первого элемента. На графе рис. 4.14 состоянию (0) соответствует функция y0(s).

При отказе любого элемента он восстанавливается. Второй элемент работает с максимальной нагрузкой и может отказать с интенсивностью λ . Это состояние (1), которому соответствует функция y1 (τ, s).

Отказ другого элемента приводит к отказу системы. Система обслуживается одним ремонтником, причем после восстановления одного из элементов другим элемент начинает восстанавливаться заново, даже тогда, когда он ранее уже восстанавливался. Это состояние (2), которому соответствует функция y2 (τ).

При этой стратегии отсутствует зависимость показателей надежности от дисциплины восстановления. Время ранее проводимого восстановления "забывания". Время восстановления для обоих элементов имеет один и тот же закон распределения с плотностью g(t).

Функционирование системы в стационарном режиме описывается следующей системой интегральных уравнений:

	∞	∞
y0 (s) = ∫ f0 (x + s)∫y1 (0, s)dsdx;
	0	0
	∞	∞
	(τ, s) = ∫ f (x + s)g(x +τ) y0 (0)dx + ∫ f (x + s)g(x +τ) y2 (0)dx;
y1
	0	0
	∞
	(τ) = ∫y1 (x +τ,0)dx.
y2	(τ) = ∫y1 (x +τ,0)dx.
	0

При экспоненциальном законе времени до отказа плотности f0 (t) и f (t) имеют параметры (1+ k)λ и λ . Тогда решение системы уравнений определяется достаточно просто. Из первого уравнения получим:

y0 (s) = F0 (s)∞∫y1 (0, s)ds.

Из второго уравнения следует, что

y1 (τ, s) = C∞∫ f (x + s)g(x +τ)dx,

где C = y0 (0) + y2 (0) = const.

Тогда

y0 (s) = CF0 (s)∞∫F (x)g(x)dx,

∞

y2 (τ) = C∫g(x +τ)F(x)dx.

Определим интенсивности μ -переходов:

∞∫y1 (0, s)ds

∞∫

(x)g(x)dx

1,0

∞

∫y1 (τ, s)dτds

∫

(x)

(x)dx

=gˆ(λ) ,

ˆλ

G ( )

μ2 =	ω2,1	=	y2 (0)
μ2 =	р2	=	∞∫y2 (τ)dτ
			0

∞∫F(x)g(x)dx

=∞0

∫F(x)G (x)dx

=1− gˆ(λ) .

−ˆ λ

Tв G ( )

Зная интенсивности переходов, легко найти вероятности состояний и параметры переходов из одного состояния в другое. Однако в данном случае можно найти эти характеристики непосредственно. Определим вероятности состояний:

gˆ(λ)

∞

= C

p1 = C∫F (x)G (x)dx = CG (λ),

+ k)λ

∞

p2 = C∫G (x)F(x)dx = C(Tв −G (λ)).

Определим параметры переходов:

ω0,1 = y0 (0) = Сgˆ(λ),

ω1,0

= C∞∫

(x)g(x)dx = Cgˆ(λ),

∞

ω2,1

= y2 (0) = C∫g(x)F(x)dx = C(1− gˆ(λ)).

ω1,2 = C∫ f (x)G (x)dx = CλG (λ),

Отсюда находим наработку на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности системы:

gˆ(λ)

+ p1

+G (λ)

gˆ

(λ)

1+ k(1− gˆ(λ))

+ k)λ

Т =

(1+ k)λG

ω1,2

(λ)

(1+ k)λ(1

− gˆ(λ))

λG

+ k)λ G (λ)

(λ)

λTв −(1− gˆ(λ))

= Tв −G

1− gˆ(λ)

λ(1− gˆ(λ))

1,2

1+ k(1− gˆ(λ))

+ k(1

− gˆ(λ)) + (1+ k)(λT −(1− gˆ(λ)))

(1+ k)λT + gˆ

(λ)

Рассмотрим теперь стратегию, при которой уже прошедшее время восстановления элементов не "забывается". В этих случаях необходимо учитывать дисциплину обслуживания отказавших элементов. Время восстановления элементов может иметь произвольный закон распределения.

Стратегия 2. Случай назначенного приоритета: при отказе двух элементов первым восстанавливается основной с номером 1. Опишем возможные состояния системы:

состояние (0) – работают оба элемента, при этом первый элемент имеет интенсивность

отказа λ1 = λ, а второй – λ2 = kλ , где k < 1;

состояние (1) – отказ и восстановление первого элемента. Плотность распределения времени восстановления есть gl(t). Второй элемент работает и может отказать теперь с интенсивностью λ1 ;

состояние (2) – отказ и восстановление второго элемента. Плотность распределения времени восстановления есть g1(t). Первый элемент продолжает работать с интенсивностью

λ1 ;

состояние (3) – отказ второго элемента во время восстановления первого, первый элемент продолжает восстанавливаться, а второй элемент находится в очереди на восстановление;

состояние (4) – отказ первого элемента во время восстановления второго, начинает восстанавливаться первый элемент, а второй становится в очередь на восстановление.

Граф состояний изображен на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Граф состояний дублированной системы с облегченным резервом (назначенный приоритет обслуживания)

Этот граф очень похож на граф, изображенный на рис. 4.7, описывающий работу дублированной системы с постоянно включенным резервом и назначенным приоритетом обслуживания. Отличие состоит в интенсивности перехода из состояния (I) в состояние (3), равной λ1 вместо λ2 . Из-за этого изменяется система интегральных уравнений. Однако ее решение

практически не меняется. Ограничимся указанием новых интенсивностей μ -переходов:

μ1 =

gˆ1 (λ1 )

, μ2 =

, μ3 =

1− gˆ1 (λ1 )

, μ4 =

G1 (λ1 )

Tв1 −G1 (λ1 )

Tв2

Tв1

Стационарные вероятности состояний определим, используя результаты [3]. Для этого составим таблицу интенсивностей переходов между всеми состояниями (табл. 4.2).

				Таблица 4.2
	Таблица интенсивностей переходов

Состояние		Переходы из данного		Суммарная
системы		состояния во все другие		интенсивность выхода
0		а01 = λ1 , а02 = λ2		а01 + a02
1		а10 = μ1 , а13 = λ1		а10 + a13
2		а20	= μ2 , а24 = λ1	а20 + a24
3		а32	= μ3	a32
4		а42	= μ4	a42

Вычислим значения, пропорциональные вероятностям состояний:

0 = а10 а20 а32 а42 + а13а20 а32 а42 = (μ1 + λ1 )μ2 μ3 μ4 , 1 = а10 а20 а32 а42 = λ1μ2 μ3 μ4 ,

2 = а01а13 а32 а42 + а02 а10 а32 а42 + а02 а13а32 а42 = (λ12 + λ2 μ1 + λ1λ2 )μ3 μ4 , 3 = а01а13 а32 а42 = λ12 μ2 μ4 ,

4 = а01а13 а24 а32 + а02 а10 а24 а32 + а02 а13а24 а32 = (λ13 + λ1λ2 μ1 + λ12λ2 )μ3 .

Определим показатели надежности системы:

–наработка на отказ:

Т =	p	0	+ p + p			2	=	μ	μ	2		+	2λ μ			2	+ λ2		+ λ			2	μ	+λ λ			2
				1				1							1			1					1		1			;
	λ p + λ p				2			λ			(λ μ			1	+ λ2			+ λ		μ	1	+ λ λ			2	)

		1	1	1					1			1					1		2				1

–среднее время восстановления:

Т		=		p	3	+ p	4		=	λ2	μ		μ			+ (λ3	+ λ λ			μ		+ λ2 λ				)μ
Т	в	=			3		4		=	1		2		4		1	1 2				1		1		2				3	;
	в		λ p + λ p					2		λ	(λ μ				1	+ λ2	+ λ	μ	1	+ λ λ			2	)μ		3	μ	4
			1		1	1		2		1		1			1	1	2		1			1	2			3		4

–коэффициент готовности:

КГ =	Т			=								(μ	μ	2	+ 2λ μ					2	+ λ2		+ λ	μ	1	+ λ λ		2	)μ		μ	4
												1		2			1			2		1	2		1	1		2		3		4							.
	Т +	Т	в		μ	2	μ	μ	4	(μ	1	+ λ ) + λ μ				2	μ	4	(	μ	3	+ λ ) + (λ2				+ λ	μ		1	+ λ λ			2	)μ	3	(μ	4	+ λ )	.
			в			2	3		4		1	1			1	2		4			3		1		1	2			1		1		2		3		4	1

В результате преобразований получим:


КГ	=	2		− gˆ(λ) + λTв2	(k +1	− gˆ(λ))		.
		(1	+ λTв1 )(1+ λTв2 (k +1− gˆ				(λ)))

4.2.4. Нестационарные показатели надежности

Расчет нестационарных показателей надежности систем с неэкспоненциальными законами распределения времени до отказа и восстановления элементов – трудная задача с вычислительной точки зрения. Это объясняется необходимостью решения системы интегральных уравнений с различным числом аргументов, зависящих от предыстории функционирования системы. В настоящее время математический аппарат для решения таких классов интегральных уравнений в общем виде не разработан. Анализ надежности может быть выполнен лишь для частных случаев.

Рассмотрим систему, все элементы которой работают непрерывно и независимо друг от друга, а восстановление является неограниченным. Отказ наступает при отказе всех элементов системы. Тогда система интегральных уравнений, являющаяся математической моделью работы технической системы, допускает точное решение:

yА,В (sA ,τB ,t) = ∏ωi (si ,t)∏ωвj (τ j ,t),

i А j В

где: А – множество номеров работающих элементов; В – множество номеров восстанавливающихся элементов; уА,В – неизвестная функция системы уравнений, отвечающая разбиению множества номеров всех элементов на два подмножества (А, В); sA – вектор, составленный из компонентов si, i A ; τВ – вектор, составленный из компонентов τ j , j B ;

ωi (si ,t) – обобщенный параметр потока отказов i-го элемента; ωвj (τ j ,t) – обобщенный пара-

метр потока восстановлений j-го элемента.

Отсюда следует, что функция готовности выражается равенством:

KГ (t) =1−∏(1− KГj (t)),

j=1

где п – общее число элементов в системе; KГj (t) – функция готовности j-го элемента, j

=1, 2,..., п.

4.3.Примеры решения задач

Пример 4.1. Дана резервированная система с постоянно включенным резервом кратности m = 5. Интенсивности отказов и восстановлений являются величинами постоянными: λ = 0,3 час-1, µ = 2 час-1. Определить зависимость коэффициента готовности; наработки на отказ, среднего времени восстановления и среднего времени безотказной работы системы от числа обслуживающих бригад r = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Решение. Для постоянного резерва, согласно табл. 4.1, находим:

λ1 = 6λ = 1,8 час-1, λ2 = 5λ = 1,5 час-1, λ3 = 4λ = 1,2 час-1, λ4= 3λ = 0,9 час-1, λ5= 2λ = 0,6 час-1, λ6 = λ = 0,3 час-1.

По формуле (4.2) при r = 1 находим µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 = 2 час-1. Тогда ρ1 = 0,9,

ρ2 = 0,75, ρ3 = 0,6, ρ4 = 0,45, ρ5 = 0,3, ρ6 = 0,15.

Для расчета среднего времени безотказной работы необходимо знать величины обратные ρi. В нашем примере они имеют значения: γ1 = 1,111, γ2 = 1,333, γ3 = 1,667, γ4 = 2,222,

γ5 = 3,333, γ6 = 6,667.

Показатели надежности, вычисленные по формулам (4.1) для одной ремонтной бригады (r = 1), приведены в первой строке табл. 4.3. Аналогичные расчеты выполнены и для всех остальных значений r. Результаты расчетов приведены в табл. 4.3.

		Показатели надежности системы				Таблица 4.3
		Показатели надежности системы

r	1	2	3	4	5	6
Kr	0,997457	0,999892	0,999978	0,999991	0,999994	0,999995
T	196,1	2306,9	7625,1	13538,4	16922,2	16922,2
Tв	0,5	0,25	0,17	0,13	0,1	0,08
T1	238,4	2512,8	8051,7	14091,4	17475,2	17475,2

Из таблицы видно, что показатели надежности сильно зависят от числа рентных бригад. Так, например, при трех и более ремонтных бригадах Kr ≈ 1, т. е. система является практически абсолютно надежной. Значительно увеличиваются также наработка на отказ и среднее время безотказной работы. Соответствующие зависимости показаны на рис. 4.16 и 4.17.

Отметим следующую особенность системы при общем постоянном резервировании: наработка на отказ для случая шести ремонтных бригад такая же, как и для пяти ремонтных бригад. Для экспоненциальных распределений это свойство имеет место в общем случае, когда ремонтных бригад r. Наработка на отказ системы одинакова при r = m и r = m + 1 ремонтных бригадах. Это свойство справедливо также для среднего времени безотказной работы системы.

Рис. 4.16. Зависимость коэффициента готовности системы от числа обслуживающих бригад

Рис. 4.17. Зависимость средней наработки и среднего времени безотказной работы от числа обслуживающих бригад

Пример 4.2. Восстанавливаемая резервированная система (резерв замещением кратности m) состоит из одинаковых по надежности элементов. Интенсивности их отказов λ = 0,1 час-1, интенсивности восстановления µ = 0,5 час-1. Определить кратность резервирования, при которой наработка на отказ системы удовлетворяет требованию надежности: Т ≥ 9000 час. Рассмотреть случаи полностью ограниченного и неограниченного восстановления.

Решение. Случай ограниченного восстановления (одна ремонтная бригада). Наработка на отказ резервированной системы кратности m вычисляется по формуле (4.5):

	1	m			μ
T =		∑γi ,	ãäå	γ =		= 5 .
					λ
	λ i=0

В результате расчетов получим:

•при m = 1 T = 10(1 + 5) = 60 час;

•при m = 2 T = 10(1 + 5 + 25) = 310 час;

•при m = 3 T = 10(1 + 5 + 25 + 125) = 1560 час;

•при m = 4 T = 10(1 + 5 + 25 + 125 + 625) = 7810 час;

•при m = 5 T = 10(1 + 5 + 25 +125 + 625 + 3125) = 39060 час.

Требуемая надежность обеспечивается только при кратности резервирования m = 5.

В случае неограниченного восстановления наработка на отказ вычисляется по формуле

(4.6):

	1	m	m!
T =		∑		γi .
			(m −i)!
	λ i=0

В результате расчетов получим:

•при m = 1 T = 10(1 + 5) = 60 час;

•при m = 2 T = 10(1 + 2·5 + 2·1·25) = 610 час;

•при m = 3 T = 10(1 + 3·5 + 3·2·25 + 3·2·1·125) = 9160 час.

В данном случае требуемая надежность достигается уже при кратности резервирования m = 3.

Таким образом, за счет увеличения ремонтных бригад можно добиться существенного увеличения надежности системы, используя 3 резервных элемента вместо 5.

Пример 4.3. Восстанавливаемая резервированная система со скользящим резервом кратности 1/2 состоит из различных по надежности элементов. Структурная схема системы показана на рис. 4.18.

Рис. 4.18. Скользящий резерв

Данные по надежности и ремонтопригодности элементов приведены в табл. 4.4.

			Таблица 4.4
Данные о надежности и ремонтопригодности элементов

Номер элемента	1	2	3
Интенсивность	0,04	0,08	0,1
отказа λi, час-1	0,04	0,08	0,1
Интенсивность	2	1	4
восстановления, µi, час-1	2	1	4

Восстановление элементов осуществляет одна ремонтная бригада с обратным приоритетом. Требуется определить показатели надежности системы: Kr, T, Тв

Решение. Представим функционирование системы графом состояний (рис. 4.19). На нулевом уровне находятся три состояния, которые соответствуют исправной работе всех элементов системы:

–03) – работающими являются 1-й и 2-й элементы, 3-й элемент находится в резерве;

–(02) – работающими являются 1-й и 3-й элементы, 2-й элемент находится в резерве;

–(01) – работающими являются 2-й и 3-й элементы, 1-й элемент находится в резерве. Внутри кружков и квадратов находятся упорядоченные номера состояний. Числа,

стоящие слева от вершин графа, показывают номера отказавших элементов. Например, число 1 означает отказ 1-го элемента и работу элементов с номерами 2 и 3. Если элемент 1 будет восстановлен, то система перейдет в состояние, когда все элементы исправны, но рабочими являются элементы 2 и 3.

100

Рис. 4.19. Граф состояний системы со скользящим резервом

Состояния второго уровня являются отказовыми. Согласно принятой дисциплине обслуживания из этих состояний возможен переход только в свои предотказовые состояния.

Видим, что даже при обслуживании системы одной ремонтной бригадой с обратным приоритетом при наличии очереди на работу граф не является графом типа "дерева". Поэтому анализ надежности проще всего провести универсальными методами, основанными на теории марковских процессов.

Вычислим стационарные показатели надежности системы Кr, Т и TB. Для этого составим систему линейных алгебраических уравнений относительно стационарных вероятностей pi, i = 0, 1, 2,..., 11:

−(λ1 +λ2 )p0 + μ3 p4 = 0;

−(λ1 +λ3 )p1 + μ2 p5 = 0;

−(λ2 +λ3 )p2 + μ1 p3 = 0;

λ1 p0 +λ1 p1 −(μ1 +λ2 +λ3 )p3 + μ2 p6 + μ3 p7 = 0; λ3 p1 +λ3 p2 −(μ3 +λ1 +λ2 )p4 + μ1 p8 + μ2 p9 = 0; λ2 p0 +λ2 p2 −(μ2 +λ1 +λ3 )p5 + μ1 p10 + μ3 p11 = 0; λ2 p3 −μ2 p6 = 0;

λ3 p3 −μ3 p7 = 0; λ1 p4 −μ1 p8 = 0; λ2 p4 −μ2 p9 = 0; λ1 p5 −μ1 p10 = 0; λ3 p5 −μ3 p11 = 0.

Система уравнений является однородной, и должна решаться вместе с условием нор-

мировки: ∑pi =1 . Ее можно упростить, однако мы не будем этого делать, а воспользуемся

i=0

для решения системы программным средство Microsoft Excel. Подготовим исходные данные, как показано в табл. 4.5.

В первой строке укажем обозначения для вероятностей состояний. В блоке ячеек А2:L13 содержатся коэффициенты системы уравнений. В блоке ячеек N2:N13 содержатся правые части системы (нули). В 14-й строке записываются коэффициенты условия нормировки (единицы).

101

Таблица 4.5

Исходные данные для решения задачи

	А	В	С	D	Е	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1	р0	р1	р2	p3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10	p11
2	0,12				4								0	0
	0,12				4								0	0
	-

3		0,14				1							0	0
		0,14				1							0	0
		-

4			0,18	2									0	0
			0,18	2									0	0
			-

5	0,04	0,04		-2,18			1	4					0	0
	0,04	0,04		-2,18			1	4					0	0

6		0,1	0,1		4,12				2	1			0	0
		0,1	0,1		4,12				2	1			0	0
					-

7	0,08		0,08			-1,14					2	4	0	0
	0,08		0,08			-1,14					2	4	0	0

8				0,08			-1						0	0
				0,08			-1						0	0

9				0,1				-4					0	0
				0,1				-4					0	0

10					0,04				-2				0	0
					0,04				-2				0	0

11					0,08					-1			0	0
					0,08					-1			0	0

12						0,04					-2		0	0
						0,04					-2		0	0

13						0,1						-4	0	0
						0,1						-4	0	0

14	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

15	0,418	0,335	0,167	0,015	0,013	0,047	0,001	0,000	0,000	0,001	0,001	0,001
	0,418	0,335	0,167	0,015	0,013	0,047	0,001	0,000	0,000	0,001	0,001	0,001

Строка 15 остается пока пустой, она предназначена для записи решения системы, которое получит компьютер.

В колонку M записываются формулы левых частей системы. В ячейку М2 помещается формула:

M2 = СУММПРОИЗВ (A2:L2; $A$15:$L$15),

которая копируется на ячейки М3:Ml4.

102

После подготовки данных следует обратиться к процедуре Поиск решения пункта меню Сервис, заполнить надлежащие поля, как показано на рис. 4.20, и нажать кнопку Выполнить. Заметим, что первое уравнение системы, коэффициенты которого находятся во 2- ой строке, не вошло в систему ограничений, поскольку оно заменено условием нормировки.

Рис. 4.20. Решение системы алгебраических уравнений

Врезультате в ячейках А15:L15 будет получено решение системы уравнений:

p0 = 0,418442, p1 = 0,334754, р2 = 0,167377, р3 = 0,015064, p4 = 0,012553, р5 = 0,046866, р6 = 0,001205, р7 = 0,000377, p8 = 0,000251, р9 = 0,001004, p10 = 0,000937, p11 = 0,001172.

Втабл. 4.5. записано решение, округленное до трех знаков после запятой. Определим показатели надежности системы:

–коэффициент готовности:

Kr = p0 + p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 0,995055;

– параметр потока отказов:

ω = (λ2 +λ3 )p3 +(λ1 +λ2 )p4 +(λ1 +λ3 )p5 = 0,010779 час−1;

– наработка на отказ:
T =	Kr	=	0,995055 = 92,3 час;
	ω
			0,010779
– среднее время восстановления:
T =	KП	=	1−0,995055	= 0,46 час.
	ω		0,010779

Вычислим функцию готовности системы Kr(t). Составим систему линейных дифференциальных уравнений относительно переходных вероятностей pi(t), i = 0,1, 2, ..., 11:

					103
p0′	(t) = −(λ1 +λ2 )p0 + μ3 p4 = 0;
			+λ3 )p1 + μ2 p5 = 0;
p1′(t) = −(λ1
			+λ3 )p2 + μ1 p3 = 0;
p2′(t) = −(λ2
p3′	(t) = λ1 p0 +λ1 p1 −(μ1 +λ2 +λ3 )p3 + μ2 p6 + μ3 p7 = 0;
			+λ3 p2 −(μ3 +λ1 +λ2 )p4 + μ1 p8 + μ2 p9 = 0;
p4′	(t) = λ3 p1
			+λ2 p2 −(μ2 +λ1 +λ3 )p5 + μ1 p10 + μ3 p11 = 0;

p5′(t) = λ2 p0
′	(t) = λ2 p3		−μ2 p6 = 0;
p6
p7′(t) = λ3 p3 −μ3 p7 = 0;
			−μ1 p8 = 0;
p8′(t) = λ1 p4
p′	(t) = λ	p	−μ	2	p = 0;
9	2	4			9
′			−μ1 p10 = 0;
p10 (t) = λ1 p5
′			−μ3 p11 = 0;
p11 (t) = λ3 p5

Решим систему методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага по программе rungekutt.exe. Результатом решения системы является набор функций p0(t), p1(t), …, p11(t), графики которых представлены на рис. 4.21.

На рисунке видны только первые 4 функции, которые максимальным образом влияют на готовность системы. Функция готовности получается суммированием вероятностей pi(t), соответствующих исправным состояниям системы:

Kr (t) = ∑pi (t) .

i=0

Чтобы найти вероятность безотказной работы системы Р(t), надо в графе запретить все переходы из отказовых состояний, а затем для исправных состояний составить систему дифференциальных уравнений:

p0′(t) = −(λ1 +λ2 )p0 + μ3 p4 ;

p1′(t) = −(λ1 +λ3 )p1 + μ2 p5 ;p2′(t) = −(λ2 +λ3 )p2 + μ1 p3 ;

p3′(t) = λ1 p0 +λ1 p1 −(μ1 +λ2 +λ3 )p3;p4′(t) = λ3 p1 +λ3 p2 −(μ3 +λ1 +λ2 )p4 ;

p5′(t) = λ2 p0 +λ2 p2 −(μ2 +λ1 +λ3 )p5 ;

Эта система также решается с помощью программы rungekutt.exe. В результате будут получены функции p0(t), p1(t), p2(t), p3(t), p4(t), p5(t), соответствующие исправным состояниям. Вероятность безотказной работы равна сумме полученных вероятностей:

P(t) = ∑pi (t) .

i=0

104

Рис. 4.21. Вероятности состояний переходного процесса

На рис. 4.22 изображено два графика: Kr(t) и P(t). По сравнению с вероятностью безотказной работы, функция готовности близка к 1. При этом время переходного процесса мало. Это говорит о том, что готовность системы вполне можно оценивать коэффициентом готовности.

Рис. 4.22. Функция готовности и вероятность безотказной работы системы

Вычислим среднее время безотказной работы системы. С этой целью запретим выходы из отказовых состояний и составим систему линейных алгебраических уравнений относительно времени пребывания в исправных состояниях τi, i = 0,1, 2, 3, 4, 5:

105

			−(λ1 +λ2 )τ0 + μ3τ4 = −1;
			−(λ1 +λ3 )τ1 + μ2τ5 = 0;
			−(λ1 +λ3 )τ1 + μ2τ5 = 0;
			−(λ		+λ )τ				2		+ μτ		3	= 0;
			2			3			2			1	3
	λτ	0	+λτ			−(μ +λ +λ )τ									3		= 0;
	1	0	1	1		1					2			3	3
	λτ	1	+λτ			−(μ	3			+λ		+λ )τ			4		= 0;
	3	1	3	2			3				1			2	4
λ τ		0	+λ τ		2	−(μ		2			+λ	+λ )τ				5	= 0.
	2	0	2		2			2			1			3		5

Решение системы уравнений выполним в Excel с помощью процедуры Поиск решения. Рабочий лист имеет вид, показанный в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Результаты решения системы уравнений

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	τ0	τ1	τ2	τ3	τ4	τ5
2	-0,12				4		-1	-1
3		-0,14				1	0	0
4			-0,18	2			0	0
5	0,04	0,04		-2,18			0	0
6		0,1	0,1		-4,12		0	0
7	0,08		0,08			-1,14	0	0
8	46,20	31,05	15,75	1,42	1,14	4,35

В 8-ой строке получим среднее время пребывания системы в исправных состояниях:

τ0 = 46,20 час, τ1 = 31,05 час, τ2 = 15,75 час, τ3 = 1,42 час, τ4 = 1,14 час τ5 = 4,35 час.

Значит, среднее время безотказной работы системы равно:

T = τ0 + τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 = 99,9 час.

Пример 4.4. Три различные по показателям надежности генератора o6paзуют энергетическую систему. Такая система является восстанавливаемой с дробной кратностью резервирования (m = 1/2) при разной надежности ее подсистем. Значения интенсивностей отказов

ивосстановлений подсистем приведены в табл. 4.4 примера 4.3. Требуется определить:

–коэффициент готовности и наработку на отказ системы при одной бригаде и обратном приоритете обслуживания;

–коэффициент готовности и наработку на отказ системы при одной бригаде и прямом приоритете обслуживания;

–функцию готовности Kг(t) при прямом приоритете обслуживания;

–вероятность и среднее время безотказной работы системы.

Решение. Функционирование системы при прямом и обратном приоритетах обслуживания описывается графами состояний, приведенными на рис. 4.23.

Определение коэффициента готовности системы при обратном приоритете обслуживания.

В случае обратного приоритета обслуживания граф состояний системы являли графом типа "дерева" (рис. 4.23, а), поэтому наиболее просто коэффициент готовности вычислить топологическим методом.

Стояния (0), (1), (2), (3) соответствуют исправным состояниям системы, поэтому коэффициент готовности равен сумме вероятностей этих состояний, В соответствии с топологическим методом выражение коэффициента готовности имеет вид:

Kr = P0 + P1 + P2 + P3 =																												,
Kr = P0 + P1 + P2 + P3 =								+2λλ μ2						μ2	μ3		+2λ λ μ2				μ3	μ2	+2λ λ μ3			μ2	μ2	,
											1	2	1	2		3		1	3	1	2	3	2	3	1	2	3
где = μ3	μ3	μ3	+λ μ2		μ3	μ3	+λ μ3			μ2	μ3		+λ μ3			μ3		μ2.
1	2	3	1	1	2	3	2		1	2		3		3	1		2	3

106

Разделив числитель и знаменатель на μ13μ23μ33 получим:

Kr =

1+ p1 + p2 + p3

1+ p

+ p

+2 p p

λi

где p

, i =1,2,3.

На основании исходных данных р1 = 0,02, р2 = 0,08, р3 = 0,025. Подставляя эти значения в выражение для Кг, получим: Кг = 0,99276.

Рис. 4.23. Граф состояний энергетической системы при прямом (а) и обратном (б) приоритете обслуживания

Определение наработки на отказ системы при обратном приоритете обслуживания.

В соответствии с графом состояний выражение наработки на отказ имеет вид:

				T =										P0 + P1 + P2 + P3
				T =	P		μ	2	+ P		μ	3	+ P		μ		+ P	μ	3	+ P	μ	+ P	μ		2
				1,2				2		1,3		3	2,1		1		2,3		3	3,1	1	3,2			2
где	P =	p1 p2	,	P =		p1 p3			,	P =				p1 p2		,	P =			p2 p3	,	P =		p1 p3		,	P =	p2 p3	,
	P =		,	P =					,	P =						,	P =				,	P =				,	P =		,
	1,2			1,3						2,1							2,3					3,1					3,2

=1+ p1 + p2 + p3 +2 p1 p2 +2 p1 p3 +2 p2 p3

107

Подставляя эти вероятности в выражение для Т, получим:
T =						1+ p1 + p2 + p3										.
T =	p p		(μ	+ μ	2	) + p p		(μ	+ μ	) + p p		(μ	2	+ μ	)	.
1		2	1		2	1	3	1	3	2	3		2	3

Вычисления по этой формуле очевидны, они дают следующий результат: Т = 59,84 час.

Определение коэффициента готовности и наработки на отказ системы при прямом приоритете обслуживания.

В случае прямого приоритета обслуживания граф состояний системы не является графом типа "дерева" (рис. 4.23, б). Поэтому воспользуемся классическим способом описания функционирования системы алгебраическими уравнениями и решим их с помощью системы Derive 5. Технология решения задачи и ее результаты имеют вид:

108

109

В строках #1–#10 находятся уравнения системы, а в строке #11 – система уравнений, образованная из исходных уравнений кнопкой Sub панели инструментов. В строке #12 показана система уравнений с численными значениями λ и μ. Подстановка исходных значений переменных осуществлена с помощью кнопки Sub панели инструментов. В строке #13 образована функция SOLVE решения системы уравнений. После нажатия кнопки Approximate на экране появляется ответ, показанный в строке #14. В строке #15 находится значение коэффициента готовности, представляющее собой сумму вероятностей Р0+Р1+Р2 + Р3 из строки

#14.

Наработка на отказ вычисляется по формуле:

T =					P0 + P1 + P2 + P3												.
T =	P	μ	+ P	μ	+ P	μ	2	+ P	μ	2	+ P	μ	3	+ P	μ	3	.
1,2		1	1,3	1	2,1		2	2,3		2	3,1		3	3,2		3

Эта формула реализована в строках #22 и #23. При образовании формулы нет надобности набирать многозначные числа. Следует пользоваться номерами строк #16–#21.

Из результатов расчета видно, что исследуемая система имеет низкую надежность: наработка на отказ системы равна всего лишь 65,5 часа. Сравнительно высокий коэффициент готовности системы обеспечивается высокой интенсивностью ее восстановления. Отметим, что при прямом приоритете обслуживания коэффициент готовности системы (Kr = 0,9886) несколько ниже коэффициента готовности при обратном приоритете (Kr =0,99276), а среднее время безотказной работы наоборот ниже у системы при обратном приоритете обслуживания (Т = 59,8 час против Т = 65,5 час).

Определение функции готовности системы.

Функцию готовности получим в численном виде, воспользовавшись методом Рунге – Кутты. Рассмотрим случай прямого приоритета обслуживания. Технология решения задачи в системе Derive 5 проста и имеет следующий вид:

110

Впервой строке находится процедура вызова утилиты ODE_APPR.MTH решения системы дифференциальных уравнений. В строках #2–#11 находятся правые части дифференциальных уравнений, описывающих функционирование системы. Ввод этих уравнений – основная трудность для пользователя определении функции готовности с помощью Derive 5.

Встроке #12 находится функция RK решения системы дифференциальных уравнений. При ее вводе нет необходимости набирать и вводить уравнения. Достаточно указать номера строк, в которых находятся уравнения. В функции RK указываются также шаг интегрирования h и число строк решения n. В нашем случае h = 0,2, n = 40.

Теперь для получения решения достаточно нажать кнопку Approximate на панели инструментов. Получим решение в виде таблицы, в которой число столбцов равно числу неизвестных, а число строк n = 40. Решение содержит вероятности всех состояний системы. Для определения функции готовности необходимо знать лишь вероятности исправных состояний

P0(t), P1(t), P2(t), P3(t). Выделить эти вероятности из общего решения можно с помощью функции

EXTRACT_2_COLUMNS (A, i, j ),

где А – матрица решения системы уравнений, i – i-ый столбец матрицы, j – j-ый стол-

бец матрицы. Выделив с помощью этой функции P0(t), P1(t), P2(t), P3(t) и просуммировав их, получим функцию готовности системы, которая приведена в строке #14.

Из полученного решения видно, что исследуемая система имеет высокую готовность и

весьма короткий переходный процесс. Уже через 8 часов Kr(t) совпадает с коэффициентом готовности с точностью 4 значащих цифры после запятой.

Определение вероятности и среднего времени безотказной работы системы.

Вычислим вероятность безотказной работы численным и аналитическим методами. Для этого составим систему дифференциальных уравнений функционирования системы. Из графа состояний, изображенного на рис. 4.23, видно, что исправными состояниями являются (0), (1), (2) и (3). Переход в них из отказовых состояний запрещается (ставится экран). Тогда система дифференциальных уравнений будет иметь вид:

111

P′= −(λ			+λ	+λ ) + μ P			+ μ P		+ μ P ;
	0	1	2	3	1	1	2	2	3	3
		P1′= λ1P0 −(λ2 +λ3 + μ1 )P1;
		P2′ = λ2 P0 −(λ1 +λ3 + μ2 )P2 ;
		P2′ = λ2 P0 −(λ1 +λ3 + μ2 )P2 ;
		P1′= λ3P0 −(λ1 +λ2 + μ3 )P3.
		P1′= λ3P0 −(λ1 +λ2 + μ3 )P3.

Технология определения вероятности безотказной работы численным методом РунгеКутта имеет вид:

В строке #1 производится вызов утилиты решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. В строках #2–#5 система уравнений с численными значениями коэффициентов, которая вводится пользователем. В строке #6 вызывается функция РунгеКутта. После нажатия кнопки Approximate на панели инструментов на экране появляется решение в виде таблицы, показанной в строке #7.

Так как вероятность безотказной работы системы равна сумме вероятностей всех исправных ее состояний, т. е.

Pc(t)= P0(t) + P1(t) + P2(t) + P3(t),

то из общего решения эти вероятности нужно выделить и просуммировать. Выделение столбцов осуществляется функцией:

EXTRACT_2_COLUMNS(A, i,j ).

В результате суммирования получается решение, приведенное в следующей табл. 4.7.

112

Таблица 4.7

Зависимость вероятности безотказной работы системы от времени

t, час	P(t)
0	1
0,2	0,9994855825
0,4	0,9982341933
0,6	0,9965182681
0,8	0,9944938216
1	0,9922561999
1,2	0,9898671732
2,4	0,9873687134
3,6	0,9847903983
…	…
19	0,76542
19,2	0,7631969666
19,4	0,7609803896
19,6	0,7587702502
19,8	0,7565665299
20	0,7543692098

Теперь получим решение в виде формулы, воспользовавшись методом преобразования Лапласа. Компьютерные технологии в системе Derive 5 имеют следующий вид:

113

В первых четырех строках представлены уравнения в преобразовании Лапласа, а в строке #6 образована функция SOLVE решения системы уравнений. Поле нажатия кнопки Approximate на экране появляется решение (строки #7– #10). В строке #11 находится вероятность безотказной работы системы в преобразовании Лапласа, полученная в результате суммирования строк #7–#10. Упрощение выражения получено в результате выполнения команды главного меню Simplify. В строке #12 приведены корни уравнения знаменателя, полученные с помощью функции SOLVE. Они необходимы при проверке правильности получения обратного преобразования Лапласа.

Вероятность безотказной работы как функция времени вычислена в результате обратного преобразования Лапласа. Решение получено с помощью системы MathCAD. Результаты выглядят следующим образом:

В строке # 1 находится выражение вероятности безотказной работы, в строке #2 – то же выражение, только без его левой части. Это необходимо для удобства интегрирования выражения. В строках #3 и #4 находятся результаты вычисления среднего времени безотказной работы, полученного в результате интегрирования вероятности безотказной работы.

Значения вероятности безотказной работы приведены в табл. 4.8. Таблица получена в результате табулирования функции P(t).

Таблица 4.8

Вероятность безотказной работы системы в функции времени

t, час	P(t)
1	2
0	1,0000068
0,2	0,9994949518
0,4	0,9982467078
0,6	0,9965357454
0,8	0,9945178926
1	0,9922880244
1,2	0,9899074838
2,4	0,9874179270
3,6	0,9848487160

	114

1	2
…	...
19	0,7660424735
19,2	0,7638241684
19,4	0,7616122871
19,6	0,7594068110
19,8	0,7572077215
20	0,7550150000

На рис 4.24 решение представлено в виде графика.

По результатам расчетов можно сделать следующие важные выводы:

–энергетическая система не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к таким системам: ее вероятность безотказной работы в течение 25 часов равна примерно 0,75, а среднее время безотказной работы не превышает 70 часов;

–достаточно высокий коэффициент готовности системы (примерно 0,99) обеспечивается ее высокой ремонтопригодностью (среднее время восстановления системы немного больше 0,5 часа);

–численные и аналитические методы дают практически одинаковые результаты;

–при обратном приоритете обслуживания наиболее эффективным методом вычисления коэффициента готовности, наработки на отказ и среднего времени восстановления является топологический метод.

Рис. 4.24. Вероятность безотказной работы системы

Пример 4.5. Дана дублированная система с постоянно включенным резервом при прямом приоритете обслуживания и следующих исходных данных: интенсивности отказов элементов равны λ1 = 0,001 час-1 и λ2 = 0,002 час-1. Время восстановления обоих элементов одинаково и имеет одно из распределений: экспоненциальное, равномерное, гамма, усеченное нормальное, Рэлея, Вейбулла, нормальное с математическим ожиданием Tв = 7 час и средним

квадратическим отклонением σÂ = 23 час.

Требуется определить показатели надежности: Т, Тв, Кr.

Решение. Результаты вычислений, выполненные на основе описанной ранее методики, учитывающей любые распределения, приведены в табл. 4.9.

Для экспоненциального времени восстановления имеем: Т = 36464,5 час, ТВ = 7 час, а точные значения равны: T = 36464,3 час, Тв = 7 час. Как видим, совпадение идеальное.

В случае равномерного распределения времени восстановления с параметрами a = 5 час, b = 9 час показатели надежности, полученные по точным формулам [3], также полно-

115

стью совпадают с данными табл. 4.9. Такое сравнение возможно, т. к. значение σB соответствует указанным параметрам равномерного распределения.

Таблица 4.9

Стационарные показатели надежности для различных законов распределения времени восстановления

Закон распределения	Средняя наработка	Среднее время	Коэффициент
	на отказ, час	восстановления, час	готовности
Экспоненциальный	36464	7	0,99981
Равномерный	36282	3,6	0,99990
Гамма	36282	3,6	0,99990
Усеченный	36282	3,6	0,99990
нормальный	36282	3,6	0,99990
нормальный
Рэлея	36329	4,5	0,99988
Вейбулла	36282	3,6	0,99990
Нормальный	36284	3,6	0,99990

Однако расчет по точным формулам можно выполнить только при условии экспоненциальных законов времени до отказа. При этом используется преобразование Лапласа для плотности времени восстановления, вычисление которого для многих законов имеет известные трудности. Описанный здесь метод снимает эти трудности, и позволяет произвести расчеты показателей при любых распределениях с помощью стандартных процедур.

Данные табл. 4.9 показывают, что Т и ТB, вычисленные для двухпараметрических законов распределения, отличаются от аналогичных показателей, полученных для однопараметрических законов – экспоненциального и Рэлея. При этом наибольшее отличие проявляется для экспоненциального распределения. Этот факт еще раз подчеркивает необходимость исследования надежности при законах распределения, отличных от экспоненциального.

Пример 4.6. Определить надежность системы, если закон распределения времени до отказа совпадает с законом распределения времени восстановления. Исходные данные те же, что и в примере 4.5. Для двухпараметрических распределений дополнительно предположим, что время безотказной работы каждого элемента имеет среднее квадратическое отклонение σ

= 300 час.

Решение. Результаты вычислений приведены в табл. 4.10.

	Стационарные показатели надежности		Таблица 4.10
	Стационарные показатели надежности
(одинаковые распределения времени до отказа и восстановления)
Закон распределения	Средняя наработка	Среднее время	Коэффициент
	на отказ, час	восстановления, час	готовности
Экспоненциальный	36464	7	0,99981
Равномерный	36151	3,6	0,99990
Гамма	36085	3,6	0,99990
Усеченный	36109	3,6	0,99990
нормальный
Рэлея	36086	4,5	0,99988
Вейбулла	36089	3,6	0,99990
Нормальный	36122	3,6	0,99990

Значение средней наработки на отказ в зависимости от законов распределения изменяется, хотя и незначительно (рис. 4.25). Это говорит о высокой чувствительности метода.

116

Рис 4.25. Средняя наработка на отказ дублированной системы с постоянным резервом

Таким образом, если закон распределения времени до отказа не известен, то замена его на экспоненциальный часто неоправданна, поскольку надежность по наработке на отказ может оказаться завышенной.

Пример 4.7. Определить влияние законов распределения времени до отказа и времени восстановления на наработку на отказ. Математические ожидания и среднее квадратическое отклонение такие же, как и в примерах 4.5 и 4.6.

Решение. Результаты расчетов содержатся в табл. 4.11.

Таблица 4.11 Наработка системы в зависимости от законов распределения элементов

Закон		Закон распределения времени восстановления
распределения	Ехр		U	Г	TN	R	W	N
времени до отказа	Ехр		U	Г	TN	R	W	N
Ехр	36465		36282	36282	36282	36329	36282	36284
U	36210		36151	36151	36151	36166	36151	36153
Г	36084		36085	36085	36085	36085	36085	36088
TN	36130		36109	36109	36109	36115	36109	36112
R	36089		36087	36087	36087	36087	36087	36089
W	36097		36089	36089	36089	36091	36089	36091
N	36119		36120	36120	36120	36120	36120	36122

Иллюстрация данных табл. 4.11 приведена на рис. 4.26.

Рис. 4.26. Средняя наработка на отказ для различных распределений времени до отказа и времени восстановления

117

Из гистограммы на рис. 4.26 можно сделать следующие выводы:

–для фиксированного закона распределения времени до отказа имеется зависимость наработки на отказ от законов распределения времени восстановления (группа примыкающих друг к другу столбиков);

–наибольшей наработкой на отказ обладает система с экспоненциальными распределениями времени до отказа и времени восстановления;

–наименьшая наработка на отказ наблюдается для гамма-распределения времени до отказа, при этом весьма близкими оказываются наработки и для других распределений, особенно для Рэлея и Вейбулла.

Расчеты показывают также, что относительная погрешность показателей надежности не превышает 2,1 %.

Пример 4.8. Для экспоненциального и гамма-распределений установить зависимость показателей надежности системы от среднего времени безотказной работы Т2 и от среднего квадратического отклонения σ2. Характеристики элементов те же, что и в примерах 4.5 и 4.6. Время восстановления имеет усеченное нормальное распределение.

Решение. Предположим, что время безотказной работы второго элемента Т2 изменяется от 500 до 1500 часов. Тогда результаты вычислений по средней наработке на отказ системы содержатся в табл. 4.12.

Таблица 4.12

Зависимость средней наработки на отказ от времени безотказной работы одного из элементов

Т2, час	Наработка на отказ		δ, %
Т2, час	Ехр	Г	δ, %
	Ехр	Г
500	36465	36085	2,10
600	43657	43253	1,87
700	50850	50421	1,70
800	58043	57589	1,58
900	65236	64757	1,48
1000	72429	71925	1,40
1100	79622	79093	1,34
1200	86815	86261	1,28
1300	94008	93429	1,24
1400	101201	100596	1,20
1500	108394	107764	1,17

Для рассматриваемых распределений имеет место примерно равномерное увеличение надежности системы по наработке на отказ одного элемента. В последнем столбце табл. 4.12 приведено значение относительной погрешности средней наработки на отказ.

На рис. 4.27 показано увеличение коэффициента готовности системы. Готовность системы в случае гамма-распределения выше, чем при экспоненциальном распределении.

Среднее время восстановления системы равно ТВ = 7 час для экспоненциального распределения и ТВ = 3,6 час для гамма-распределения.

Теперь предположим, что среднее квадратическое отклонение σ2 времени безотказной работы второго элемента изменяется от 300 до 1500 час. Результаты вычислений по средней наработке на отказ системы для трех распределений (экспоненциальное, гамма и Вейбулла) представлены в табл. 4.13. Из таблицы следует, что для небольших значений σ2 ≤ Т2 экспоненциальное распределение дает некоторый выигрыш в средней наработке на отказ, а для σ2 > Т2 имеет место существенное увеличение средней наработки на отказ для гаммараспределения и распределения Вейбулла. Это особенно хорошо видно из рис. 4.28. В этом случае по критерию наработки на отказ экспоненциальное распределение может служить нижней границей надежности среди рассмотренных распределений.

118

Рис. 4.27. Зависимость коэффициента готовности системы от средней наработки одного из элементов

	Зависимость наработки от σ2		Таблица 4.13
	Зависимость наработки от σ2

σ2, час	Ехр	Г	W
300	36282	36085	36089
400	36282	36099	36121
500	36282	36216 i	36216
600	36282	36573	36393
700	36282	37225	36645
800	36282	38144	36962
900	36282	39276	37330
1000	36282	40576	37737
1100	36282	42018	38176
1200	36282	43589	38641
1300	36282	45289	39126
1400	36282	47117	39628
1500	36282	49076	40143

Рис. 4.28. Зависимость средней наработки на отказ системы от σ2

119

Пример 4.9. Требуется установить зависимость показателей надежности дублированной системы от среднего времени восстановления второго элемента ТВ2, изменяющегося от 1 до 20 часов. Время безотказной работы обоих элементов подчинено гамма-распределению, а время восстановления имеет усеченное нормальное (случай 1) и экспоненциальное (случай 2) распределения. Параметры этих распределений такие же, как и в примерах 4.5 и 4.6.

Решение. На основании проведенных расчетов получены зависимости стационарных показателей надежности Т, ТВ, Кr от ТВ2. Эти зависимости представлены на рис. 4.29–4.31.

Из рис. 4.29 следует, что среднее время восстановления элементов сильно влияет на среднюю наработку на отказ системы. Однако практически отсутствует влияние закона распределения времени восстановления.

Рис. 4.29. Зависимость Т от среднего времени восстановления элементов

Из рис. 4.30 и 4.31 следует, что среднее время восстановления элементов также сильно влияет на среднее время восстановления и на коэффициент готовности системы. Однако, в отличие от наработки, здесь существенное влияние оказывает и вид закона распределения. Если время восстановления второго элемента имеет распределение, отличное от экспоненциального, то среднее время восстановления системы оказывается меньше, а коэффициент готовности больше, чем для экспоненциального распределения.

Рис. 4.30. Зависимость ТВ от среднего времени восстановления элементов

Как видно из последующих расчетов, имеется, причем весьма существенная зависимость показателей надежности от среднего квадратического отклонения времени восстановления второго элемента σВ2. Предположим, что этот параметр изменяется также от 1 до 20 часов. Время безотказной работы обоих элементов подчинено гамма-распределению. Время

120

восстановления имеет гамма-распределение (случай 1) и экспоненциальное распределение (случай 2). Параметры этих распределений такие же, как и в примерах 4.5 и 4.6.

Рис. 4.31. Зависимость Кr от среднего времени восстановления элементов

Зависимости показателей надежности Т и ТВ от σВ2 представлены на рис 4.32 и 4.33. Конечно, для экспоненциального распределения данные зависимости отсутствуют. Но

для гамма-распределения увеличение разброса времени восстановления одного из элементов уменьшает надежность системы как по наработке на отказ, так и по среднему времени восстановления.

Рис. 4.32. Зависимость Т от среднего квадратичсского отклонения времени восстановления элемента

Пример 4.10. Дана дублированная система с резервом замещением при прямом приоритете обслуживания и следующих исходных данных: интенсивности отказов элементов равны λ1 = 0,001 час-1 и λ2 = 0,002 час-1. Время восстановления обоих элементов одинаково и имеет одно из распределений: экспоненциальное, равномерное, гамма-, усеченное нормальное, Рэлея, Вейбулла, нормальное с математическим ожиданием ТВ = 7 час и средним квад-

ратическим отклонением σВ = 23 час.

Требуется определить показатели надежности Т, TВ, Кr.

121

Решение. Результаты вычислений, выполненные по приведенным ранее формулам, сведены в табл. 4.14.

Рис. 4.33. Зависимость ТВ от среднего квадратического отклонения времени восстановления элемента

Таблица 4.14 Показатели надежности в зависимости от законов распределения времени восстановления

(резерв замещением)

Закон	Наработка	Среднее время	Коэффициент
распределения	на отказ, час	восстановления, час	готовности
Экспоненциальный	72261	7	0,99990
Равномерный	71857	3,6	0,99995
Гамма	71857	3,6	0,99995
Усеченный	71857	3,6	0,99995
нормальный	71857	3,6	0,99995
нормальный
Рэлея	71960	4,5	0,99994
Вейбулла	71857	3,6	0,99995
Нормальный	71861	3,6	0,99995

Легко убедиться в том, что для экспоненциального распределения времени восстановления имеем точное значение показателей надежности.

Для неэкспоненциальных распределений, как и в случае постоянного резерва, получаем близкие между собой значения показателей. Однако эти значения по средней наработке на отказ почти вдвое превышают значения показателей для постоянного резерва.

Среднее время восстановления практически не изменилось.

4.4. Задачи для самостоятельного решения

4.1.Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m, состоящая из одинаковых по надежности элементов. Интенсивности отказов элементов λ = 0,08 час-1, интенсивности восстановлений μ = 0,4 час-1. Определить кратность резервирования, чтобы было выполнено требование по ее надежности: коэффициент готовности системы должен быть

не менее Кr ≥ 0,98. Рассмотреть случаи полностью ограниченного и неограниченного восстановлений.

4.2.Определить кратность резервирования системы (резерв замещением), состоящей из

одинаковых по надежности и ремонтопригодности элементов. Интенсивности отказов элементов λ = 0,2 час-1, интенсивности восстановлений μ = 0,9 час-1. Должно быть выполнено условие: Т ≥ 900 час. Рассмотреть два случая: полностью ограниченное и неограниченное

122

восстановление.

4.3.Определить вероятность и среднее время безотказной работы резервированной системы с постоянным резервом кратности m = 7. Обслуживание осуществляется двумя ремонт-

ными бригадами. Интенсивности отказов и восстановлений элементов соответственно рав-

ны: λ = 0,0006 час-1, μ = 0,05 час-1.

4.4.Определить вероятность и среднее время безотказной работы резервированной системы с ненагруженным резервом кратности m = 7. Обслуживание осуществляется двумя ре-

монтными бригадами. Интенсивности отказов и восстановлений элементов соответственно равны: λ = 0,0006 час-1, μ = 0,05 час-1.

4.5.Структурные схемы (схемы расчета надежности) пяти систем приведены на рис.

4.34.Интенсивности отказа элементов λ и восстановления μ указаны на структурных схемах.

Определить в виде формул показатели надежности: Кr – коэффициент готовности, Т – наработку на отказ, ТВ – среднее время восстановления. Вычислить показатели надежности при значениях интенсивностей отказов, приведенных в табл. 4.15.

		Интенсивности отказов элементов систем					Таблица 4.15
		Интенсивности отказов элементов систем

λ, час-1	λ1, час-1	λ2, час-1	λ3, час-1	μ, час-1	μ1, час-1	μ2, час-1		μ3, час-1
0,001	0,005	0,008	0,002	0,3	0,36	0,7		0,5

Указания:

–решение во всех вариантах получить в виде формул топологическим методом;

–при изображении графа стремитесь уменьшить число узлов путем их объединения;

–восстановление осуществляется одной ремонтной бригадой с обратные приоритетом;

–в целях упрощения формул используйте обозначения:

p =	λ	,	p =	λ1	,	p =	λ2		,	p =	λ3		.
	μ			μ
			1			2	μ	2		3	μ	3
				1

4.6.Структурные схемы двух систем представляют собой общее постоянное резервирование с дробной кратностью. Кратность резервирования первой системы m = 1/2 (один элемент резервный на два основных), второй – m = 2/3 (два элемента резервных на три основных). Интенсивности отказа и восстановления постоянны и равны λ и μ.

Определить показатели надежности системы: Кr, Т, TB. Найти численные показатели надежности, если λ = 0,01 час-1, а среднее время восстановления TB =1,5 час. Определить, какая из систем более надежна и каков выигрыш надежности по коэффициенту готовности и наработке на отказ. Рассмотреть случаи одной и двух бригад обслуживания.

4.7.Система состоит из пяти элементов, каждый из которых дублирован с постоянно

включенным резервом. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения: λ1 = 0,001 час-1, λ2 = 0,002 час-1, λ3 = 0,004 час-1, λ4 = 0,0028 час-1, λ5 = 0,005 час-1. Среднее время восстановления элементов постоянно и равно Т = 4,2 час. Систему обслуживает одна бригада. Определить методом эквивалентных схем диапазон значений Кr и Т системы.

4.8.Восстанавливаемая дублированная система с постоянно включенным резервом состоит из элементов разной надежности.

Необходимо определить коэффициент готовности и наработку на отказ системы при двух дисциплинах обслуживания: при приоритете более и менее надежного элемента. Значения интенсивностей отказов элементов приведены в табл. 4.16.

Таблица 4.16 Варианты интенсивностей отказов элементов системы

Вариант	1	2	3
λ1, час-1	0,01	0,005	0,001
λ2, час-1	0,035	0.0075	0,005

123

Средние времена восстановления элементов постоянны и равны ТВ1 = 4 час, ТВ2 = 10час. Решение получить в аналитическом виде и в виде таблицы. Сделать вывод о целесообразности применения назначенного приоритета (какой из приоритетов с позиции надежности более эффективный).

4.9. Структурные схемы пяти систем приведены на рис. 4.34. Определить показатели надежности Кr, Т, ТВ для случая двух вариантов обслуживания:

а) прямой приоритет с одним обслуживающим органом; б) восстановление неограниченное.

Рис. 4.34. Структурные схемы технических систем

124

Решение получить в аналитическом и численном виде. Значения интенсивностей отказов и восстановлений элементов приведены в табл. 4.17.

Таблица 4.17 Интенсивности отказов и восстановлений элементов


λ1, час-1	λ2, час-1	λ3, час-1	λ4, час-1	λ5, час-1
0,01	0,025	0,008	0,035	0,05
μ1, час-1	μ2, час-1	μ3, час-1	μ4, час-1	μ5, час-1
1	0,5	0,34	0,25	0,17

4.10.Интенсивности отказов и восстановлений элементов дублированной системы с постоянно включенным резервом имеют значения: λ = 0,0076 час-1, μ = 0,15 час-1.

Необходимо найти аналитические выражения для вероятности безотказной работы и функции готовности системы. Путем табулирования функций представить решения в виде таблиц и графиков.

По известным аналитическим выражениям определить среднее время безотказной работы и коэффициент готовности системы.

Указание: для получения P(t) и Kг(t) воспользуйтесь решением дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

4.11.Структурные схемы систем приведены на рис. 4.34. Необходимо определить в ви-

де таблиц и графиков показатели надежности: Pс(t), Kr(t), fс(t), λс(t). Данные об интенсивностях отказов и восстановлений приведены в табл. 4.17. Решение получить методом РунгеКутта с помощью компьютерных технологий.

4.12.Интенсивность отказов элементов дублированной системы равна λ = 0,02 час-1.

При отказе одного из элементов увеличивается интенсивность отказа второго элемента λ = 0,04 час-1. Восстановление производится одним ремонтником, время восстановления подчинено закону Эрланга 2-го порядка с параметром μ = 1 час-1. Определить коэффициент готовности системы.

4.13.Структурная схема системы изображена на рис. 4.35.

Рис. 4.35. Структурная схема системы, состоящей из трех групп элементов

Все элементы разбиты на три группы. Элементы, входящие в одну группу, имеют одинаковые показатели надежности и восстановления, содержащиеся в табл. 4.18.

			Таблица 4.18
Показатели надежности и восстанавливаемости элементов

Номер группы	1	2	3
Номера элементов	1,2	3	4,5,6
Время до отказа	N(60; 15)	Г(4; 16)	W(2; 56)
Время восстановления	U(2; 14)	R(0,01)	Ехр(0,1)

125

Элементы 3-ей группы образуют мажоритарную систему кратности 1/2. Восстановление отказавших элементов производится одной бригадой с обратным приоритетом. Требуется определить показатели надежности системы: Кr, Т и ТВ.

Указание: используйте свойство независимости стационарных показателе надежности от законов распределения элементов.

4.14.Определить функцию готовности дублированной системы. Время до отказа элементов имеет распределение Вейбулла с математическим ожиданием Т = 280 час и средним квадратическим отклонением σ = 100 час. Время восстановления элементов имеет равномерное распределение на промежутке от 0 до 24 часов. Результаты представить в виде таблиц и графиков.

4.15.Дана система с постоянно включенным резервом кратности m = 2, работающая в стационарном режиме. Интенсивности отказов постоянные, а время восстановления произвольное с плотностью распределения g(t). Определить интенсивности переходов графа, соответствующие восстановлению элементов. Рассмотреть случаи полностью ограниченного восстановления для прямого и обратного приоритетов обслуживания.

4.16.Дана резервированная система (резерв замещением) кратности m = 2, работающая

встационарном режиме. Интенсивности отказов постоянные, а время восстановления произвольное с плотностью распределения g(t). Восстановление производится одной ремонтной бригадой с прямым приоритетом обслуживания. Определить интенсивности переходов в графе состояний, соответствующие восстановлению элементов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Н а д е ж н о с т ь

#
09.06.2015192.01 Кб186140604.65 Надежность технических систем.pdf
#
09.06.2015848.6 Кб176app008.pdf
#
09.06.20151.92 Mб119diagnost.pdf
#
09.06.20151.87 Mб123poz115.pdf
#
09.06.20155.59 Mб215uprresurs.doc
#
09.06.20151.8 Mб773Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf
#
09.06.201556.83 Кб96МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНОК.doc
#
09.06.2015121.86 Кб117Министерство транспорта Российской Федерации.doc