0696-pr_reg_veks

МІЖРЕГІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ

НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА дисципліни

“ВИЩА МАТЕМАТИКА”

(для молодших спеціалістів, бакалаврів)

Київ 2005

Підготовлено кандидатами фізико-математичних наук

І. І. Юртиним, О. Ю. Дюженковою, А. Г. Бовтрук

Затверджено на засіданні кафедри математики (протокол № 6 від 14.03.02)

Перезатверджено на засіданні кафедри математики (протокол № 1 від 25.08.05)

Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом

Юртин І. І., Дюженкова О. Ю., Бовтрук А. Г. Програма вивчення дисцип-

ліни “Вища математика” (для молодших спеціалістів, бакалаврів). — К.: МАУП, 2005. — 28 с.

Навчальна програма містить пояснювальну записку, навчально-тема-тичний план, програмний матеріал до вивчення дисципліни “Вища математика”, вказівки до виконання контрольної роботи, завдання для контрольних робіт, питання для самоконтролю, а також список рекомендованої літератури.

Для бакалаврів економіки та підприємництва і менеджменту спеціальностей “Фінанси”, “Банківська справа”, “Облік і аудит”, “Маркетинг”, “Управління трудовими ресурсами”, “Менеджмент організацій”, “Менеджмент зовнішньоекономічної діяльності”.

© Міжрегіональна Академія управління персоналом (МАУП), 2005

2

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Математика з її логічним і обчислювальним апаратом є не тільки потужним засобом розв’язання прикладних задач, інструментом кількісних розрахунків, а й універсальною мовою науки, взірцем дослідження чітко окреслених проблем. Без застосування основних методів математики вже неможливо уявити науково обґрунтовані способи прогнозування розвитку ефективних економічних систем і прийняття оптимальних управлінських рішень.

Програма навчального курсу “Вища математика” містить необхідний мінімум знань з таких розділів математики, як лінійна алгебра, аналітична геометрія, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння. Вона ґрунтується на відповідній нормативній програмі фундаментального циклу освітньо-професійної підготовки бакалаврів економіки та підприємництва, затвердженого Міністерством освіти і науки України.

Знання з вищої математики широко застосовуються у навчальних курсах теорії ймовірностей та математичної статистики, математичного програмування, макрота мікроекономіки, маркетингу, менеджменту, в інших спеціалізованих економічних курсах.

Опанування навчальної дисципліни “Вища математика” дає змогу оволодіти елементами сучасного математичного апарату, необхідного для розв’язання економічних задач, ефективно застосовувати з використанням сучасних засобів програмного забезпечення ПЕОМ здобуті знання під час економічних досліджень, самостійно орієнтуватись у відповідній науковій літературі.

3

І. Лінійна алгебра

1Матриці, дії над ними

2Визначники n-го порядку та їх властивості

3Ранг матриці. Сумісні та несумісні системи n лінійних рівнянь з m невідомими. Теорема Кронекера — Капеллі

4Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

5Вектори. Векторні простори. Скалярний добуток векторів. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розкладання вектора за базисом

6Власні числа та вектори матриці

7Квадратичні форми. Умови додатної визначеності

ІІ. Аналітична геометрія

8Пряма лінія на площині. Види рівняння прямої.

Взаємне розміщення двох прямих. Відстань від точки до прямої

9Лінії другого порядку

10Площина і пряма у просторі

ІІІ. Диференціальне числення

11Функції. Область визначення. Елементарні функції та їх властивості

12Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності

13Границя функції. Основні теореми про границі функції. Розкриття невизначеностей

14Неперервність функції. Властивості неперервних функцій. Точки розриву функцій

15Похідна функції. Геометричний, механічний та економічний зміст похідної. Правила диференціювання функції. Похідні вищих порядків

16Диференціал функції. Застосування диференціала для наближених обчислень

17Основні теореми про диференціювання функції. Правило Лопіталя. Формула Тейлора

18Дослідження функцій і побудова графіків

ІV. Функції багатьох змінних

19Область визначення. Границя функції. Графічне зображення функцій двох змінних. Неперервність

20Частинні та повний прирости функцій. Частинні похідні функції. Повний диференціал

4

21Похідна за напрямом. Градієнт

22Екстремуми функції. Необхідні та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів

23Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа

24Неявні функції. Похідні неявних функцій

V. Інтегральне числення

25Первісна функція. Невизначений інтеграл. Таблиця невизначених інтегралів

26Методи інтегрування функцій (безпосереднє, заміна змінної та інтегрування частинами)

27Інтегрування раціональних дробів

28Інтегрування тригонометричних виразів

29Інтегрування ірраціональних виразів

30Визначений інтеграл. Властивості визначеного інтеграла. Теорема Ньютона — Лейбниця

31Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі

32Геометричне застосування визначених інтегралів

33Наближені обчислення визначеного інтеграла

34Невласні інтеграли. Інтеграл Ейлера — Пуассона

35Поняття про подвійний інтеграл. Зведення подвійного інтеграла до повторного

VІ. Диференціальні рівняння

36Основні означення. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку

37Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні та однорідні рівняння першого порядку

38Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

VІІ. Ряди

39Числові ряди. Основні означення. Збіжність числових рядів та їх властивості. Гармонічний ряд

40Ознаки збіжності рядів з додатними членами

41Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності

42Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

5

ПРОГРАМНИЙ МАТЕРІАЛ до вивчення дисципліни

“ВИЩА МАТЕМАТИКА”

Розділ І. Лінійна алгебра

Тема 1. Матриці, дії над ними

Поняття матриці. Види матриць. Дії над матрицями: додавання двох матриць, множення матриці на число, множення двох матриць.

Література [1; 3; 5–8; 13; 14]

Тема 2. Визначники n -го порядку та їх властивості

Визначники квадратних матриць (другого та третього порядку, загальний випадок). Властивості визначників. Мінори та алгебраїчні доповнення. Обернена матриця та її обчислення.

Література [1; 3; 5–8; 13; 14]

Тема 3. Ранг матриці. Сумісні та несумісні системи n лінійних рівнянь з m невідомими. Теорема Кронекера — Капеллі

Визначення й обчислення рангу матриці.

Умови сумісності та визначеності систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера — Капеллі. Розв’язування систем n лінійних рівнянь з m невідомими.

Література [1; 3; 5; 6; 8; 13; 14]

Тема 4. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь, їх розв’язки. Способи розв’язування систем лінійних рівнянь (формули Крамера, матричний метод, методи Гаусса, Жордана, ітераційні методи). Розв’язування матричних рівнянь. Задачі економічного змісту, які приводять до розв’язування системи лінійних рівнянь.

Література [1; 3; 5–8; 10; 13; 14; 17]

6

Тема 5. Вектори. Векторні простори. Скалярний добуток векторів. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розкладання вектора за базисом

Векторні та скалярні величини, n -вимірний вектор. Лінійні операції над векторами. Векторні лінійні простори (евклідів простір). Скалярний добуток векторів. Векторний та змішаний добутки векторів. Довжина вектора. Кут між векторами. Колінеарні вектори.

Лінійна залежність і незалежність векторів. Розмірність і базис векторного простору. Розкладання вектора за базисом. Ортого-нальні системи векторів.

Література [1; 3; 5; 6; 8; 13; 14]

Тема 6. Власні числа та вектори матриці

Власні числа та вектори матриць, методи їх знаходження.

Література [3; 5; 13; 14]

Тема 7. Квадратичні форми. Умови додатної визначеності

Поняття квадратичної форми. Додатно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Література [3; 13; 14]

Розділ ІІ. Аналітична геометрія

Тема 8. Пряма лінія на площині. Види рівняння прямої. Взаємне розміщення двох прямих. Відстань від точки до прямої

Рівняння лінії в R2 . Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки. Загальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

Література [1; 3; 5–8; 11]

Тема 9. Лінії другого порядку

Загальне рівняння ліній другого порядку. Коло й еліпс. Гіпербола та її асимптоти. Правильна гіпербола.

7

Парабола та її характерні точки.

Застосування перетворення координат на площині для приведення рівняння ліній другого порядку до канонічного вигляду.

Література [1; 3; 5–8; 11]

Тема 10. Площина і пряма у просторі

Рівняння поверхні в R3 . Рівняння сфери. Загальне рівняння площини та його дослідження.

Загальні та канонічні рівняння прямої у просторі. Взаємне розміщення двох площин, двох прямих та прямої й площини у просторі. Знаходження кута між ними.

Поняття про поверхні другого порядку.

Література [3; 7; 8; 11]

Розділ ІІІ. Диференціальне числення

Тема 11. Функції. Область визначення. Елементарні функції та їх властивості

Означення функції. Область визначення й область зміни функції. Способи задавання функцій. Основні елементарні функції та їх властивості. Функції, які використовують в економічних дослідженнях.

Література [1; 3–6; 8; 10; 12; 17]

Тема 12. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності

Визначення послідовності. Арифметичні дії над послідовностями. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності; зв’язок між ними. Властивості нескінченно малих послідовностей. Основні теореми про границі послідовностей. Ознаки існування границі.

Література [1; 3–6; 8; 12]

8

Тема 13. Границя функції. Основні теореми про границі функції. Розкриття невизначеностей

Означення границі функції. Односторонні границі. Основні теореми про границі функції. Розкриття невизначеностей. Перша та друга чудові (визначні) границі. Задача про неперервне нарахування процентів.

Література [1; 3–6; 8; 12]

Тема 14. Неперервність функції. Властивості неперервних функцій. Точки розриву функцій

Приріст аргументу та функції. Неперервність функції в точці та на проміжку. Основні теореми про неперервні функції. Неперервність основних елементарних функцій. Точки розриву функцій та їх класифікація.

Література [1; 3–6; 8; 12]

Тема 15. Похідна функції. Геометричний, механічний та економічний зміст похідної. Правила

диференціювання функції. Похідні вищих порядків

Визначення похідної, її геометричний та економічний зміст. Дотична до кривої. Залежність між неперервністю та диференційованістю функції.

Правила диференціювання. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідна складних, зворотних (обернених) і неявних функцій.

Похідні вищих порядків.

Економічний зміст похідної. Застосування поняття похідної в економіці.

Література [1; 3–8; 10; 12; 17]

Тема 16. Диференціал функції. Застосування диференціала для наближених обчислень

Визначення диференціала функції. Правила знаходження диференціала. Застосування диференціала для наближених обчислень.

Поняття про диференціали вищих порядків.

Література [1; 3–8; 10; 12]

9

Тема 17. Основні теореми про диференціювання функції. Правило Лопіталя. Формула Тейлора

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші.

Розкриття невизначеностей при пошуку границь. Правило Лопіталя. Формула Тейлора.

Література [1; 3–6; 8; 12]

Тема 18. Дослідження функцій і побудова графіків

Зростання та спадання функцій. Локальні екстремуми функцій. Опуклість та угнутість функцій. Точки перегину.

Асимптоти графіка функції.

Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків.

Література [3–6; 8; 10; 12]

Розділ ІV. Функції багатьох змінних

Тема 19. Область визначення. Границя функції. Графічне зображення функцій двох змінних. Неперервність

Граничні та внутрішні точки множин. Відкриті та замкнені множини. Означення функції кількох змінних. Границя функції. Неперервність

функції. Графічне зображення функцій двох змінних.

Література [1; 3–6; 8; 10; 12]

Тема 20. Частинні та повний прирости функцій. Частинні похідні функції. Повний диференціал

Частинний та повний прирости функції. Частинні похідні функцій. Повний диференціал. Частинні похідні вищих порядків.

Література [3–5; 8; 10; 12]

Тема 21. Похідна за напрямом. Градієнт

Поняття про похідну за напрямом. Градієнт.

Література [4; 5; 8; 12]

10