0696-pr_reg_veks
.pdf
Завдання 8
Застосувати визначений інтеграл для обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями:
1. |
y = |
|
|
1 |
, |
|
y = |
1 . |
|
|
|||
|
|
- x 2 |
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
3. |
y = |
|
x |
|
|
|
, |
y = |
x |
. |
|||
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 - 6x + 5 |
|
|
21 |
||||||
5. |
y = |
|
1 |
, |
y = - 1 . |
|
|
||||||
x |
2 - 9 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
7. |
y = |
|
x |
, |
y = |
x |
. |
|
|
||||
|
- x2 |
5 |
|
|
|||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
y = |
|
|
|
x |
|
|
, y = 0, x = −3. |
|||||
x2 -4x+3 |
|||||||||||||
Завдання 9
2. |
y = |
2x -1 |
, y |
= 2x −1. |
|||||||||||||
(x -1)2 |
|
||||||||||||||||
4. |
y = |
|
x |
, |
y = - |
x |
. |
|
|
|
|||||||
x2 |
- 4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
||||
6. |
y = |
|
x |
|
|
|
|
, |
|
y = - |
. |
||||||
x2 |
+ 2x - 3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
8. |
y = |
|
x |
|
|
|
|
, |
y = |
x |
. |
||||||
x2 |
+ 2x +1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||
10. |
y = |
|
x |
|
, |
|
y = |
2 |
, x = 0. |
||||||||
1- x2 |
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Знайти частинні похідні за обома змінними функції двох змінних:
1. z(x, y) = x sin(xy ). y ln x
3.z(x, y)= xy 2 cos(x 2 y).
5.z(x, y)= x ln y + yex 2 + y3 .
7. |
z(x, y)= |
arctg (y5 − x 2 ). |
|
|
|
y |
|
|
æ |
2 ö |
|
9. |
|
ç y-x |
÷ |
z(x, y)= y 2è |
ø. |
||
2. z(x,
4. z(x,
6. z(x,
8. z(x,
10. z(x,
y)= |
xy 2 |
. |
|
|
|
tg(xy ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y)= cos(y)ln(y2 - x 2 ). |
|
||||
|
|
|
æ |
4 |
ö |
y)= arccos(xy ) |
ç y-x |
|
÷ |
||
eè |
|
ø . |
|||
æ |
1- yx |
2 ö |
||
y)= lnç |
|
÷. |
||
|
x |
|
||
ç |
2 |
÷ |
||
è |
|
ø |
||
y) = x 2 y3 arcsin (x 2 + 
y ).
21
Завдання 10
Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку й розв’язок задачі Коші для лінійного диференціального рівняння другого порядку.
1. |
а) |
|
y¢ = |
|
|
sin x |
y ln y ; б) |
|
y′′ |
- 9y = 9x, y (0)= 0, y′(0)= 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
а) |
|
cos xdx |
= sin |
2 |
xdy ; |
б) |
|
¢¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
−2x |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1- y |
|
|
|
y |
|
+5y |
+6y =e , y(0)=1, y (0)=0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
y(0)=3, |
¢ |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
а) |
|
|
|
|
y +1 dx = (1+ sin x)dy ; |
|
б) |
|
y |
-3y |
-4y =4x |
|
|
+ |
2, |
y (0)= 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ ey |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10, y(0)= |
|
|
|
||||||||||||||
4. |
а) |
|
y |
¢ |
= |
x |
2 |
|
; б) |
y |
¢¢ |
|
|
|
¢ |
+4y =8x |
2 |
¢ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4y |
|
|
0, y (0)=0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
||
5. |
а) (1+ y ) dx = x dy ; б) y |
- 9y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 8e , y(0)= 4, y (0)= 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) (1+ y |
2 |
) sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
¢ |
|
|||||||||||||||
6. |
|
|
|
xdx = ydy ; |
|
|
б) |
|
y |
|
|
|
+6y =2e |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-5y |
|
y(0)=1, y |
(0)=0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
y |
¢ |
|
1+ y æ |
|
|
|
|
x |
|
|
x ö2 |
|
|
б) |
y |
¢¢ |
+ y |
¢ |
= 3x |
2 |
|
|
|
¢ |
|
|
|||||||||||||||||||||
7. |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
çsin |
|
|
|
+ cos |
|
|
|
÷ |
|
; |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)= 2, y (0)= 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2 ln3 x |
; б) y′′-5y′+4y =8x -2, y (0)=0, y′(0)=0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
а) y¢ |
= |
|
|
x(1+ ey ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
−3x |
, y (0) |
|
¢ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. |
а) |
|
y |
|
|
|
|
1- xdx = x dy ; |
б) y |
+ 3y |
= 6e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3, y (0)= -1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
а) |
x 2 + 3 |
dx = (x 2 +1)dy ; |
|
б) |
|
y′′ - 6y′ + 5y = 5x + 4, |
y(0)=1, |
y′(0)= 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Завдання 11
Написати перші три члени степеневого ряду і знайти його область збіжності.
|
∞ |
n |
|
∞ |
n |
||||
1. |
å |
x |
. |
2. |
å |
n x |
. |
|
|
0,5n (n +1) |
10n |
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
∞ |
n |
|
∞ |
n−1 |
||||
3. |
å |
x |
. |
4. |
å |
n x |
. |
||
5n (2n + 3) |
3n−1 |
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
∞ |
x |
n−1 |
|||||||
5. |
å |
|
|
|
|
. |
|
|
||
n 5 |
n |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
n |
||||
7. |
å |
|
n x |
. |
||||||
|
3n (n + 1) |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
x |
n |
|||||
9. |
å |
|
2 |
|
|
. |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
3 |
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.
8.
10.
∞ |
n |
|||
å |
x |
. |
|
|
n (n +1) |
||||
n=1 |
(x − 2)n |
|
|
|
∞ |
. |
|
||
|
|
|||
å n 5n |
||||
n=1 |
|
|
|
|
∞ |
n |
|||
å |
x |
. |
||
9n (n +15) |
||||
n=1 |
|
|
|
|
ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Розділ І. Лінійна алгебра
1.Означення матриці, її розмірність. Основні види матриць.
2.Визначення суми і добутку двох матриць.
3.Обчислення визначників другого та третього порядку.
4.Означення оберненої матриці. Обчислення такої оберненої матриці.
5.Умови існування оберненої матриці.
6.Визначення й обчислення рангу матриці.
7.Означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, її розв’я-зання.
8.Теорема Кронекера — Капеллі.
9.Формула Крамера для розв’язання систем лінійних рівнянь.
10.Метод Гаусса для розв’язання системи лінійних рівнянь.
11.Матричний метод розв’язання системи лінійних рівнянь.
12.Визначення суми двох векторів і добуток вектора на скаляр.
13.Визначення скалярного добутку векторів і кута між ними.
14.Сутність лінійно незалежної і лінійно залежної сукупності векторів.
15.Базис і розмірність векторного простору.
16.Розкладання вектора за базисом.
Розділ ІІ. Аналітична геометрія
17.Колінеарні вектори, їх характеристика.
18.Записати рівняння прямої лінії в R2 .
19.Записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих на площині.
20.Визначення кута між двома прямими на площині.
21.Записати загальне рівняння ліній другого порядку.
23
22.Записати канонічне рівняння еліпса. Як визначаються півосі, фокуси
йексцентриситет еліпса?
23.Означення гіперболи і її асимптот. Як визначаються півосі, фокуси
йексцентриситет гіперболи?
24.Означення параболи, її фокусу і директриси.
25.Записати загальне рівняння площини в R3.
26.Записати умови паралельності та перпендикулярності двох площин у просторі.
27.Визначення кута між двома площинами у просторі.
28.Визначення канонічного рівняння прямої у просторі.
29.Вкажіть, як знайти точку перетину прямої і площини.
30.Записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих у просторі.
Розділ ІІІ. Диференціальне числення
31.Означення функції.
32.Область визначення й область значення функції.
33.Способи задавання функції.
34.Класифікація елементарних функцій.
35.Означення послідовності чисел.
36.Границя послідовності, її характеристика.
37.Основні твердження щодо правил обчислення границь послідовностей.
38.Нескінченно малі (великі) послідовності.
39.Означення границі функції.
40.Одностороння границя функції.
41.Записати першу і другу чудові границі.
42.Задача про неперервне нарахування процентів.
43.Означення функції, неперервної в точці.
44.Сформулювати основні теореми для неперервних у точці функцій.
45.Основні властивості функцій, неперервних на відрізку.
46.Похідна функція.
47.Навести геометричну й економічну інтерпретації похідної функції.
48.Основні правила обчислення похідних.
49.Записати похідні основних елементарних функцій.
50.Обчислення похідної складної функції.
51.Сформулювати теорему Ферма.
24
52.Сформулювати теорему Ролля.
53.Сформулювати теорему Лагранжа.
54.Правило Лопіталя.
55.Сформулювати достатні умови зростання (спадання) функції.
56.Означення екстремуму функції. Сформулювати необхідні та достатні умови існування екстремуму функції в точці.
57.Загальна схема дослідження функції на екстремум.
58.Опукла й угнута функції. Навести достатні умови опуклості та угнутості диференційованої функції.
59.Означення асимптот графіка функції, їх визначення.
60.Скласти загальну схему дослідження функції та побудови її графіка.
Розділ ІV. Функції багатьох змінних
61.Означення частинного і повного приростів функції багатьох змінних.
62.Означення неперервності функції багатьох змінних.
63.Визначення частинних похідних функції багатьох змінних.
64.Означення повного диференціалу функції багатьох змінних.
65.Визначення градієнта функції багатьох змінних.
66.Означення локального екстремуму функції.
67.Сформулювати необхідну і достатні умови існування екстремуму функції.
Розділ V. Інтегральне числення
68.Означення первісної функції і невизначеного інтеграла.
69.Властивості невизначеного інтеграла.
70.Сформулювати основні правила інтегрування.
71.Безпосереднє інтегрування.
72.Суть методу заміни змінної під знаком інтеграла.
73.Здійснення інтегрування частинами.
74.Інтегрування раціональних дробів.
75.Інтегрування тригонометричних виразів.
76.Інтегрування ірраціональних виразів.
77.Означення визначеного інтеграла, його основні властивості.
78.Геометричний та економічний зміст визначеного інтеграла.
79.Властивості інтеграла зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона — Лейбниця.
25
80.Застосування визначених інтегралів для обчислення площі фігури, обмеженої кількома кривими.
81.Поняття невласного інтеграла першого роду, його збіжність і розбіжність.
82.Поняття невласного інтеграла другого роду, його збіжність і розбіжність.
Розділ VІ. Диференціальні рівняння
83.Поняття диференціального рівняння, його порядку, загального та частинного розв’язку. Задача Коші.
84.Сформулювати теорему існування та єдиності розв’язку для диференціального рівняння першого порядку.
85.Розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку з відокремленими змінними.
86.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
87.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
88.Розв’язання лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
89.Розрахування частинного розв’язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, якщо права частина є многочленом.
90.Розрахування частинного розв’язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, якщо права частина є експоненціальною функцією.
Розділ VІІ. Ряди
91.Означення числового ряду, його суми, часткової суми, збіжності та розбіжності.
92.Ознаки збіжності додатних числових рядів.
93.Сформулювати ознаку Даламбера.
94.Сформулювати ознаку Коші.
95.Означення абсолютної та умовної збіжностей знакозмінних рядів.
96.Сформулювати ознаку Лейбниця для знакочергуючих рядів.
97.Поняття і властивості степеневого ряду й області його збіжності.
98.Сформулювати теорему Абеля.
26
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Основна
1.Барковський В. В., Барковська Н. В. Математика для економістів.
Вища математика. — К.: Вид-во НАУ, 1999. — 400 с.
2.Васильченко І. П., Данилов В. Я., Лобанов А. І., Таран Є. Ю. Вища мате-
матика: |
основні означення, |
приклади і |
задачі. |
Навч. |
посіб.: |
У 2 ч. — К.: Либідь, 1992. — Ч. 2. — 256 с. |
|
|
|
||
3. Высшая |
математика для |
экономистов: |
Учеб. |
для |
вузов / |
Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2000. — 472 с.
4.Данко П. Е., Кожевников А. Г., Попов А. Г. Высшая математика в упра-
жнениях и задачах. — М.: Высш. шк., 1986. — 354 с.
5.Жильцов О. Б., Торбін Г. М. Вища математика з елементами інформаційних технологій: Навч. посіб. — К.: МАУП, 2002. — 408 с.
6. Кулініч Г. Л., Максименко Л. О., Плахотнік В. В., Призва Г. Й.
Вища математика: основні означення, приклади і задачі: Навч. посіб:
У 2 ч. — К.: Либідь, 1992. — Ч. 1. — 288 с.
7.Лубенська Т. В., Чупаха Л. Д. Вища математика в таблицях. — К.:
МАУП, 1999. — 86 с.
8.Шипачев В. С. Высшая математика. — М.: Высш. шк., 1990. — 480 с.
Додаткова
9.Дюженкова О. Ю. Тестові завдання з дисципліни “Вища математи-
ка”. — К.: МАУП, 1999. — 56 с.
10.Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математичес-
кие методы в экономике: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1998. — 368 с.
11.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1968. — 232 с.
12.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ: В 2 т. — М.: Высш. шк., 1970. — Т. 1. — 590 с.; Т. 2. — 422 c.
13.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1975. — 424 с.
14.Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
15.Орвис В. EXCEL для ученых, инженеров и студентов. — К.: Юниор, 1999. — 528 с.
27
16.Плис А. И., Сливина Н. А. MATHCAD: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 1999. — 656 с.
17.Хазанова Л. Э. Математическое моделирование в экономике: Учеб.
пособие. — М.: БЕК, 1998. — 142 с.
28
ЗМІСТ |
|
Пояснювальна записка ................................................................................. |
3 |
Навчально-тематичний план вивчення дисципліни |
|
“Вища математика” ...................................................................................... |
4 |
Програмний матеріал до вивчення дисципліни |
|
“Вища математика” ...................................................................................... |
6 |
Вказівки до виконання контрольної роботи........................................... |
15 |
Завдання для контрольних робіт ............................................................. |
15 |
Питання для самоконтролю ...................................................................... |
23 |
Список рекомендованої літератури.......................................................... |
27 |
Відповідальний за випуск |
Н. В. Медведєва |
Редактор |
Л. М. Гримальська |
Комп’ютерна верстка |
Т. Г. Замура |
Зам. № ВКЦ-1123
Міжрегіональна Академія управління персоналом (МАУП) 03039 Київ-39, вул. Фрометівська, 2, МАУП
29