2.2 Определение и характеристика матрицы контурных сопротивлений

Матрица контурных сопротивлений (55) имеет также вполне регулярную структуру, как и матрица узловых проводимостей. Матрица контурных сопротивлений имеет порядок, равный числу независимых контуров. Ее диагональные элементы Z_iiпредставляют собой алгебраические суммы сопротивлений ветвей, входящих в данныйi-й контур, а недиагональныеZ_ij– алгебраическую сумму сопротивлений, общих для контуровiиj.

При использования принципа ярусности формируется система контуров, в которой каждая хорда входит только в один контур и направление обхода по контуру совпадает с направлением тока в хорде ‑ тогда матрица N_‑ единичная.

Для схемы (рис. 5) и матрицы Nтабл. 2 матрица контурных сопротивлений имеет вид:

Проанализируем соотношение между диагональными и побочными элементами матрицы контурных сопротивлений.

(58)

Для так называемой канонической системы контуров

т.е.

(59)

Всегда обеспечивается преобладание диагонального элемента над суммой недиагональных элементов.

Как указывалось выше, система уравнений (56) может решаться путем обращения матрицы по выражению (57) или любым другим способом решения системы линейных уравнений, а именно: группа методов исключения неизвестных (метод Гаусса), или итерационными методами решения систем линейных уравнений, т.е. методом простой или ускоренной итерации. Особенностями системы контурных уравнений установившихся режимов по сравнению с системой узловых уравнений является более низкий порядок решаемой системы, т.к. (k<<n) число контуров в схеме значительно меньше числа узлов в сети.

Но при решении линейных контурных уравнений итерационным методом начальные приближения неизвестных ‑ токов хорд ‑ не определены, отсутствуют данные для более или менее точного задания токов хорд. По сравнению с системой контурных уравнений, для системы узловых уравнений при их решении итерационным методом относительно напряжения в узлах, выбор начальных приближений облегчен, или .

В целом задача расчета режима реальной электрической сети с большим числом элементов остается многомерной. Контурные уравнения также нелинейны при задании нагрузок в мощностях.

2.3 Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров

Обратимся к уравнениям состояния сети (54), (55) по законам Кирхгофа.

Представим матрицу коэффициентов системы A^-1 в виде блочной матрицы с размерностью блоков по числу узлов n и числу контуров k схемы замещения: (60)

Тогда:

(61)

Здесь ‑ квадратная матрица, называемая матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей схемы. Её элементы y_ij определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС j-ой ветви и называются взаимными проводимостями, а элементы у_ii определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС Е_i этой же ветви i-ой ветви и называются собственными или входными проводимостями.

При отсутствии ЭДС ветвей (E_в = 0), выражение (61) обращается в

, (62) откуда наглядно виден смысл матрицы С и её элементов.

C — матрица порядка , называется матрицей коэффициентов распределения задающих токов узлов по ветвям сети. Её произвольный элемент c_ij представляет собой долю от тока j-го узла, протекающего по i-ой ветви:

, (63) гдеc_ij — элемент матрицы коэффициентов распределения C; — ток i-ой ветви; — задающий ток j-го узла.

Матрицы С, D и Y_в, вычисляются путем обращения матрицы А с помощью разбиения на блоки, и следовательно - представляют собой линейные комбинации блоков матрицы А, показанных в (53). При этом С и Y_в могут быть выражены как на основе узловой модели сети

, (64)

где — обратная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей;

так и на основе контурной модели:

(65)

где — обратная матрица контурных сопротивлений.

Получение выражений (64) и (65) приведено в [1].

Выражения (64), (65) показывают, что процедура нахождения матрицы С достаточно громоздкая, но проведенная один раз, эта матрица позволяет вести многократные расчёты режима по выражениям (55), (61) вручную или на ЭВМ с высоким быстродействием^. После нахождения токов ветвей остальные параметры режима рассчитываются по известным формулам.

Правильность выражений (64), (65) и результатов конкретных вычислений матрицы С по этим выражениям можно проверить по выражению:

_{, (66)}

Выражение (66) можно получить, если в I-ый закон Кирхгофа подставить вектор токов ветвей из (55) , следовательно.Логика выражения (64) наглядно видна, если в выражение (62) подставить С из (64):

(67)

Аналогично можно показать логику выражения для матрицы С на основе контурной модели сети:

(68)

Раскроем скобки в правой части:

Здесь – вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, обусловленных задающими токами при отсутствии хорд;

–вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, вызванных замыканием хорд;

- вектор-столбец падений напряжений в ветвях дерева, вызванных составляющих токов ;

- вектор-столбец алгебраических сумм падений напряжений по ветвям дерева, входящих в контур.

(69)

(70)