36-40

36

Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

Переменный ток, AC (англ. alternating current — переменный ток) — электрический ток, который периодически изменяется по модулю и направлению.

Под переменным током также подразумевают ток в обычных одно- и трёхфазных сетях. В этом случае мгновенные значения тока и напряжения изменяются по гармоническому закону.

В устройствах-потребителях постоянного тока переменный ток часто преобразуется выпрямителями для получения постоянного тока.

Переменный ток получают путем вращения рамки в магнитном поле. Принцип действия — явление электромагнитной индукции (появление индукционного тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока). В генераторах переменного тока вращается якорь из магнита (электромагнита) с несколькими полюсами (2, 4, 6 и т. д.), а с обмоток статора снимается переменное напряжение.

Активное сопротивление определяет действительную часть импеданса:

, где — импеданс, — величина активного сопротивления, —

величина реактивного сопротивления, — мнимая единица.

Активное сопротивление — сопротивление электрической цепи или её участка, обусловленное необратимыми превращениями электрической энергии в другие виды энергии (в тепловую энергию). Реактивное сопротивление — это сопротивление проводников переменного тока с учётом поверхностного эффекта.

е ктивное сопротивление — электрическое сопротивление, обусловленное передачей энергии переменным током электрическому или магнитному полю (и обратно).

Реактивное сопротивление определяет мнимую часть импеданса:

, где — импеданс, — величина активного сопротивления, —

величина реактивного сопротивления, — мнимая единица.

В зависимости от знака величины какого-либо элемента электрической цепи говорят о трёх случаях:

— элемент проявляет свойства индуктивности.

— элемент имеет чисто активное сопротивление.

— элемент проявляет ёмкостные свойства.

Величина реактивного сопротивления может быть выражена через величины индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

Индуктивное сопротивление () обусловлено возникновением ЭДС самоиндукции в элементе электрической цепи. Изменение тока и, как следствие, изменение его магнитного поля вызывает препятствующее изменению этого тока ЭДС самоиндукции. Величина индуктивного сопротивления зависит от индуктивности элемента и частоты протекающего тока:

Ёмкостное[1] сопротивление (). Величина ёмкостного сопротивления зависит от ёмкости элемента и также частоты протекающего тока :

Здесь — циклическая частота, равная .

Прямая и обратная зависимость этих сопротивлений от частоты тока приводит к тому, что с увеличением частоты всё боль ую роль начинает играть индуктивное сопротивление и всё мень ую ёмкостное.

Внутри активного сопротивления энергия не накапливается. Энергия, потребляемая активным сопротивлением из сети, передается окружающей среде

(в виде тепла, подъема груза, увеличение скорости чего-либо, света, химической и других видов энергии)

и обратно в сеть не возвращается.

Реактивное сопротивление накапливает энергию внутри себя в течении четверти периода синусоиды, а затем в следующую четверть периода отдает запасенную энергию обратно в сеть. А в окружающую среду с реактивного сопротивления энергия не передается.

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с

угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы

удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и .

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число

синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол

сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного

значения путем формального учета угловой частоты: .

е ктивн я мощность [править]

Единица измерения — вольт-ампер реактивный (var, вар)

Реактивная мощность — величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I, умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними: (если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает — отрицательным). Реактивная мощность связана

с полной мощностью S и активной мощностью Рсоотно ением: .

Физический смысл реактивной мощности — это энергия, перекачиваемая от источника на реактивные элементы приёмника (индуктивности, конденсаторы, обмотки двигателей), а затем возвращаемая этими элементами обратно в источник в течение одного периода колебаний, отнесённая к этому периоду.

Необходимо отметить, что величина sin φ для значений φ от 0 до плюс 90° является положительной величиной. Величина sin φ для значений φ от 0 до −90° является отрицательной величиной. В соответствии с формулой Q = UI sin φ, реактивная мощность может быть как положительной величиной (если нагрузка имеет активно-индуктивный характер), так и отрицательной (если нагрузка имеет активно-ёмкостный характер). Данное обстоятельство подчёркивает тот факт, что реактивная мощность не участвует в работе электрического тока. Когда устройство имеет положительную реактивную мощность, то принято говорить, что оно её потребляет, а когда отрицательную — то производит, но это чистая условность, связанная с тем, что боль инство электропотребляющих устройств (например, асинхронные двигатели), а также чисто активная нагрузка, подключаемая через трансформатор, являются активно-индуктивными.

Синхронные генераторы, установленные на электрических станциях, могут как производить, так и потреблять реактивную мощность в зависимости от величины тока возбуждения, протекающего в обмотке ротора генератора. За счёт этой особенности синхронных электрических ма ин осуществляется регулирование заданного уровня напряжения сети. Для устранения перегрузок и повы ения коэффициента мощности электрических установок осуществляется компенсация реактивной мощности.

Применение современных электрических измерительных преобразователей на микропроцессорной технике позволяет производить более точную оценку величины энергии возвращаемой от индуктивной и емкостной нагрузки в источник переменного напряжения.

Измерительные преобразователи реактивной мощности, использующие формулу Q = UI sin φ, более просты и значительно де евле измерительных преобразователей на микропроцессорной технике.[

о и иент мощности — безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей. Коэффициент мощности показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения.

Численно коэффициент мощности равен косинусу этого фазового сдвига.

Для расчётов в случае гармонических переменных U (напряжение) и I (сила тока) используются следующие математическиеформулы:

1.

2.

3.

4.

Здесь — активная мощность, — полная мощность, — реактивная мощность.

37

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 2.2.1).

Рисунок 2.2.1. Последовательный RLC-контур

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду:

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

q(t) = q0 cos(ωt + φ0).

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний,

который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переключения ключа K в положение 2, q0 = C, φ0 = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).

Рисунок 2.2.3. Затухающие колебания в контуре

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: Fтр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(**)

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от

электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности Q колебательной системы:

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω0 идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.

38

Последовательная RLC-цепь

Рассмотрим последовательную RLC-цепь (рис. 5.2, а), находящуюся под гармоническим воздействием, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 5.2, б. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесии цепи

; ;

; ; (5.12)

.

где ; ; - комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему (5.12) относительно тока , получаем

. (5.13)

Здесь - комплексное входное сопротивление последовательной RLC-цепи, равное сумме комплексных сопротивлений входящих в цепь элементов, которое определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:

. (5.14)

Переходя от алгебраической формы записи к показательной, находим модуль и аргумент комплексного входного сопротивления:

Из выражения (5.15) следует, что характер входного сопротивления цепи зависит от соотношения между

Используя уравнение (5.13), можно по известному напряжению,

приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток и наоборот (рис.2.15).

Падение напряжения на сопротивлении , совпадает по направлению с током ;

напряжение сдвинуто по фазе относительно на (опережает ток);

напряжение отстает по фазе от тока на и направлено в противоположную сторону . При сумма совпадает по направлению с вектором , ток цепи отстает по фазе от напряжения ().

При сумма совпадает по направлению с вектором , ток цепи опережает по фазе напряжение () Если , то сумма , напряжение на зажимах цепи равно напряжению на сопротивлении , ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением ().

Выводы

Метод комплексных амплитуд позволяет определять реакцию цепи на гармоническое воздействие не прибегая к составлению и решению дифференциального уравнения цепи. Для анализа достаточно использовать алгебраические уравнения, составленные на основе законов Ома и Кирхгофа, неизвестными величинами являются комплексные амплитуды искомых токов и напряжений.

В последовательной RL-цепи величина протекающего тока зависит от модуля полного сопротивления, которое определяется параметрами элементов и частотой воздействия. С ростом частоты увеличивается влияние индуктивности на полное сопротивление. Ток в цепи отстаёт от напряжения, причём тем больше, чем больше частота воздействия, и в пределе разность фаз стремится к /2.

В последовательной RLС-цепи величина протекающего тока зависит от модуля полного сопротивления, которое определяется параметрами элементов и частотой воздействия. На низких частотах преобладает влияние ёмкости, ток в цепи опережает по фазе приложенное напряжение. С ростом частоты увеличивается влияние индуктивности и уменьшается влияние ёмкости на полное сопротивление. Начиная с некоторой частоты 0 характер цепи становится резистивно-индуктивным. Ток в цепи отстаёт от напряжение, причём тем больше, чем больше частота воздействия, и в пределе разность фаз стремится к /2. Резистивная часть полного сопротивления от частоты не зависит.

езон нс н пряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает ссобственной частотой контура.

Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f, и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f.

В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Кату ка в первое мгновение не пропускает ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.

Далее: конденсатор начинает разряжаться на кату ку. Напряжение на нем падает с такой же скоростью, с какой умень ается напряжение на генераторе.

Далее: конденсатор разряжен до нуля, вся энергия электрического поля, имев аяся в конденсаторе, пере ла в энергию магнитного поля кату ки. На клеммах генератора в этот момент напряжение нулевое.

Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает умень аться, пересекая витки кату ки в обратном направлении. На выводах кату ки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой кату ка заряжает конденсатор.

Далее: кату ка перезарядила конденсатор до максимального напряжения. Напряжение на генераторе к этому моменту тоже достигло максимального.

Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.

Следовательно, в следующем полупериоде на кату ку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на кату ке.

В контурах с низкой добротностью напряжение на кату ке будет ниже удвоенного, так как часть энергии будет рассеиваться (на излучение, на нагрев) и энергия конденсатора не перейдет полностью в энергию кату ки). Соединены как бы последовательно генератор и часть конденсатора.

39

Колебательный контур LC

Свободные электрические колебания в параллельном контуре.

-Конденсатор C – реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать электрическую энергию.

-Кату ка индуктивности L – реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать магнитную энергию.

Основные свойств индуктивности:

- Ток, протекающий в кату ке индуктивности, создаёт магнитное поле с

них ЭДС, препятствующую изменению тока и магнитного потока.

Период свободных колеб ний контур LC можно опис ть следующим обр зом:

Если конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения U, потенциальная энергия его заряда

составит .

Если параллельно заряженному конденсатору подключить кату ку индуктивности L, в цепи пойдёт ток его разряда, создавая магнитное поле в кату ке.

Магнитный поток, увеличиваясь от нуля, создаст ЭДС в направлении противоположном току в кату ке, что будет препятствовать нарастанию тока в цепи, поэтому конденсатор разрядится не мгновенно, а через время t1, которое определяется индуктивностью кату ки и ёмкостью

конденсатора из расчёта t1 = .

По истечении времени t1, когда конденсатор разрядится до нуля, ток в кату ке и магнитная