6.6. Дифференциальные уравнения второго порядка

1. Дифференциальное уравнение второго порядка, его об­щее решение и начальные условия.

Дифференциальное уравне­ние второго порядка, разрешенное относительно у", имеет вид:

.

(6.41)

В общее решение уравнения второго порядка входят две произвольные постоянные и .

Функция , удовлетворяющая уравнению (6.41), на­зывается егообщим решением.

Рассмотрим два частных случая, когда уравнение второго порядка (6.41) сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

1) Пусть в правой части уравнения (6.41) отсутствует функция и ее производная, т.е. уравнение имеет вид

.

(6.42)

В результате двукратного последовательного интегрирования получаем общее решение этого уравнения:

.

(6.43)

2) Пусть в правой части уравнения (6.41) отсутствует функция , т.е. уравнение имеет вид

.

(6.44)

В этом случае обозначим , тогда. Подстановка этих выражений в уравнение (6.44) приводит его к уравнению первого порядка вида

.

(6.45)

общим решением этого уравнения будет функция . Отсюда получаем уравнениеили.

Интегрируя последнее соотношение, получим общее решение уравнения (6.44): .

6.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

,

(6.46)

где - заданная функция, аи- числовые (постоянные) коэффициенты называетсянеоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Замечание. Отметим, что в общем случае имогут быть функциями переменной. Но мы будем рассматривать только случай, когдаипостоянные.

Если , то уравнение принимает вид:

.

(6.47)

Уравнение (6.29) называется однороднымлинейным, дифференциальным уравнением второго порядка.

Теорема 6.1. (О структуре общего решения уравнения (6.45)).

Общее решениеуравнения (6.45) имеет вид:

,

(6.48)

гдеи-линейно независимыефункции, удовлетворяющие уравнению (6.45), (т.е. являющиеся решениями этого уравнения) а и - произвольные постоянные.

Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (9.45) нужно найти две функции и(линейно независимые), для которых выполняются равенства

,

(6.49)

Функции иназываютсялинейно зависимыми, если существует числотакое, что для всех значений в рассмат­риваемом интервале выполняется тождественное соотношение

.

(6.50)

Если такого не существует, то функции и называютсялинейно независимыми.

Доказательство. Докажем сначала, что (6.48) является решением дифференциального уравнения (6.47). Для этого подставим функцию (6.48) вуравнение (6.47), получим

= .

Обращение в ноль всего выражения является следствием равенства нулю выражений в круглых скобках в двух последних слагаемых, что является следствием тождеств (6.49).

Следовательно, выражение (6.48) является решением уравнения (6.47), и поскольку это решение содержит две произвольные постоянные, то оно является общим решением однородного уравнения (6.47). Теорема доказана.

Отметим, что требование линейной независимости функций иявляется обязательным. Действительно, предположим, что функции линейно зависимы. Тогда из равенства (6.50) следует, что. Подставим последнее равенство в решение (6.48), получим=

= . Если обозначить, тогда полученное решение примет вид, Эта функция, конечно, будет решением уравнения (6.47), однако это решение не является общим, так как содержит одну произвольную постоянную.

Пусть в линейном однородном уравнении (6.47) и - постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения (6.47) будем искать в виде функции

.

(6.51)

где - действительное или комплексное число, подлежащее опреде­лению. Дифференцируя по выражение (6.51) , получим:

, .

(6.52)

Внося выражения (6.51) и (6.52) в уравнение (6.47), будем иметь:

.

(6.53)

Отсюда, учитывая, что , имеем:

.

(6.54)

Алгебраическое уравнение (6.54) называется характеристическим уравнением однородного уравнения (6.47). Характеристическое уравне­ние и дает возможность найти. Уравнение (6.54) есть уравнение вто­рой степени и потому имеет два корня. Обозначим их через и. Возможны три случая.

1) Корни и действительные и различные (). В этом случае по формуле (6.51) получим два частных решения уравнения (6.47), , которые являются линейно независимыми. Действительно, если бы эти решения были линейно зависимы, то в интервале должно было бы выполняться тождество(иодновременно не нули) или тождество. Отсюда, что невозможно, так как справа в последнем тождестве постоянное число, а слева функция переменной. По теореме 6.1 общее решение уравнения (6.47) будет

.

Пример 6.11.

Найти общее решение уравнения .

Решение

Составим характеристи­ческое уравнение: . Оно имеет два различных действительных корняи. Поэтому общее решение есть.

2) Корни и действительные и равные. В этом случае одно частное решение уравнения (6.47) выразится функцией. Можно показать, что частным решением уравнения (6.47) в случае 2) будет так­же функция. Заметим, что решения и линейно независимы. По теореме 6.1, общее решение уравнения (6.45) будетили

Пример 6.12.

Найти общее решение уравнения .

Решение

Составим характеристи­ческое уравнение: . Оно имеет два равных корня. Поэтому общее решение есть.

3) Корни и– комплексные. Можно показать, что общее решение уравнения (6.45) в этом случае будет иметь вид.

Пример 6.13.

Найти общее решение уравнения .

Решение

Составим характеристи­ческое уравнение: . Оно имеет комплексные корни,, где,. Поэтому общее решение есть.