dircurrent1

ãäå →i , →j , →ê — орты декартовое системы координат,

Ex = -dj/dx, Ey = - dj/dy, Ez = - dj/dz, т.е. каждая декартовая составляющая вектора Å→ численно равна изменению потенциала на

единицу длины, отсчитанному в направлении, перпендикулярном эквипотенциальной поверхности, и направлена в сторону убывания потенциала.

Примеры.

1. Точечный заряд (рис. 2)

2. Диполь — система двух зарядов, расположенных на расстоянии l (рис. 3):

В электростатическом поле выполняется принцип суперпоз иции полей и оно потенциально, т.е. работа по перемещению заряда не зависит от формы пути, а определяется только положением н ачальной и конечной точки траектории.

2. Сообщенный проводнику заряд распределяется на его пове рхности таким образом, чтобы напряженность поля внутри пров одника равнялась нулю. Такое распределение является единст венным, поэтому всякое сообщение дополнительного заряда привод ит к распределению его способом, подобным распределению заряда q, следовательно, потенциал уедин¸нного проводника пропорционален величине заряда.

82

Величина С называется электрической емкостью проводник а. При приближении к проводнику других проводников на них появл яются связанные заряды (электростатическая индукция) и потенц иал уменьшается, т.е. электрическая емкость возрастает. Система про водников называется конденсатором, а собственно проводники — о бкладками.

Величина емкости конденсатора зависит от разности потен циалов между обкладками:

и определяется формой, размером обкладок и расстоянием ме ж- ду ними, так как этими величинами определяется поле между ними.

Примеры:

à

h

d

I. Плоский конденсатор. Поле однородно без учета краевых эф - фектов при d << a, h

Емкость единицы длины:

Распределение поля вдоль оси ОХ:

83

Емкость единицы длины:

b

Распределение поля вдоль оси ОХ:

Емкость единицы длины:

3. Подобие поля квазистационарного, т.е. медленно изменяющегося во временем, тока в проводящей среде и электростатич еского поля в диэлектрике широко используется для определения х арактеристик последнего. Аналогия между полями устанавливаетс я путем сопоставления теоремы Гаусса для электростатического п оля и уравнения непрерывности для квазистационарного тока:

в которых Dn — нормальная к замкнутой поверхности S, состав-

→ →

ляющая индукции электростатического поля D = εεo E , ei — заряды внутри поверхности, jn — нормаль к замкнутой поверхности So

→

составляющая плотность тока j , r — объемная плотность заряда в проводнике.

84

Соотношения (17) и (18) справедливы как для однородных, так и для неоднородных сред, для которых выполняются граничные условия для вектора поля и плотности тока: D1n = D2n; j1n = j2n;

Из соотношения (17) и (20) следует, что если обеспечено геомет-

рическое подобие областей, в которых рассматривается эле ктроста-

тическое поде и течет квазистационарный ток, и если ε2 = λ2 , òî

ε1 λ1

электростатическое поле можно изучить по модели проводя щей среды с током (математическая модель).

Лабораторная установка и проведение эксперимента

Описанная идея моделирования сравнительно легко реализ уется для плоских электростатических цупей методом электроли тической волны. Неглубокая ванная из изоляционного материала запо лнена электролитом — слабым раствором соли в воде.

В ванну помещаются электроды 1 и 2, конфигурация которых соответствует конфигурации обкладок конденсатора, а раз меры пропорциональны размерам обкладок, чем обеспечивается г еометрическое подобие. В электролите имеются свободные заряды . Под действием поля электродов они могут перемещаться и создавать свое поле, в результате чего в электролите устанавливается пол е, равное сумме поля электродов и свободных зарядов, которое модели рует плоское поле реальной системы.

Для измерения потенциала в модели используется зонд, небо льшой электрод в виде металлического стержня. Между электро дами

85

1 и 2 создается разность потенциалов от внешнего источника небольшой частоты, например, от сети 50 Гц. Зонд 3 через миллиамперметр соединен с движком потенциометра R, которым задается разность потенциалов j1 - j3 = Dj между зондом и электродом 1. Четыре участка цепи — два между движком потенциометра и е го концевыми контактами и два между зондом и электродами обр азуют мост. Ток в диагонали моста равен нулю, когда зонд установлен в точку, потенциал которой совпадает с потенциалом движка потенциометра. Для исключения возможности перегрузки микр оамперметра большим током используется нелинейный элемент 4. По ложение указанной точки фиксируется с помощью координатно й сетки, нанесенной на две ванны, или специального координатор а.

В результате измерений получают систему эквипотенциале йj1, j2 … jn с равномерным шагом Dj для электродов.

Линия напряженности строятся следующим образом. Проводи т- cя ось симметрии поля CC1, проходящая через электроды. Из точки 0 на поверхности электрода по линии симметрии измеряется расстояние 01 до ближайшей эквипотенциали и это расстояние откла дывается вдоль поверхности электрода (точка 11). Через точку 1 проводится отрезок 112 перпендикулярно поверхности электрода, и расстояние 112 откладывают вдоль поверхности электрода, получая точ- ку 21. После деления ближайшей к электроду эквипотенциали чере з точки деления проводят перпендикуляры до пересечения со следующей энвипотенциалью и т.д. После деления всех эквипотенци алей точки деления соединятся плавной линией, ортогональной к эквипотенциалям в точках пересечения.

Напряженность поля считается в пределах каждого отрезка постоянной и вычисляется по формуле:

ϕê−1 − ϕê

ãäå jê-1, jê — значения потенциалов на ближайших эквипотенциалях, Drê-1, к — расстояние между средними точками отрезков на ближайших эквяпотенциалях.

По измеренному распределению потенциала и вычисленному зна- чению напряженности находится емкость системы электрод ов по формуле (8). Для нахождения q используем теорему Гаусса (15):

86

h, построенный на ближайшей к отрезку замкнутой эквипотенциали, как на направляющей. Выберем в качестве разбиения эквипот енциали j1, точки, использованные при построении силовых линий. Тогда емкость единицы высоты цилиндра, т.е. погонная емкость С/h с учетом выражения (22):

ãäå Dli — секущая эквипотенциальной линии между двумя соседними точками.

Эксперимент проводится в такой последовательности:

1.Установить электроды выбранной формы в ванну с электролитом.

2.На листе бумаги в масштабе 1х1 изобразить контуры ванны, электроды и нанести для удобства дальнейших наблюдений к оординатную сетку в произвольном масштабе. Удобно использов ать миллиметровую бумагу.

3.Установить зонд на один из электродов и измерить его поте н- циал по вольтметру, поворачивая ручку потенциометра до ис чезновения тока через миллиамперметр.

4.То же проделать со вторым электродом.

5.Сместить зонд на некоторое расстояние от одного электро да по направлению ко второму. Потенциометром R установить ноль

микроамперметра, зафиксировать потенциал j1, найти по координатной сетке на дне ванны или по осям координатора положе ние этой точки и отметить ее на дубликате сетки. Измерение луч ше осуществлять с ассистентом. Плавно перемещать зонд вблизи эл ектрода таким образом, чтобы нуль — индикатор не изменял показа ния и зафиксировать положение 10 ¸ 15 точек на первой эквипотенциали, которая должна быть замкнутой. Несмотря на симметрию испо льзуемых электродов измерение следует проводить с обеих ст орон от оси симметрии.

6.Изменить показания вольтметра с помощью R, найти положе-

87

ние новой эквипотенциали и зарегистрировать 10 - 15 ее точек.

7.Построить 5-6 эквипотенциален.

8.Указанные измерения можно провести для других электрод ов.

Обработка результатов

1.По картине эквипотенциалей построить силовые линии.

2.По формуле (21) вычислить напряженность поля Е на каждом из отрезков первой эквипотенциали, построить векторы и ук азать их длину.

3.Используя формулу (21) рассчитать и построить распределен ие напряженности поля вдоль оси симметрии электродов.

4.По формуле (11) рассчитать распределение напряженности вдоль оси симметрии и сравнить с экспериментальными данн ыми.

5.По формуле (23) вычислить емкость системы электродов.

6.По формуле (12) рассчитать теоретически ту же емкость и сра в- нить с экспериментальными значениями.

7.Таким же образом обрабатываются экспериментальные данные для плоского конденсатора (формулы (9) и (10), коаксиально й линии (формулы (13) и (14) или других электродов).

Возможный порядок расчета погрешностей

1.Систематическая погрешность геометрических размеров о пределяется масштабом координатной сетки на дне ванны или ма сштабом осей координатора, а систематическая погрешность эле ктрических величин — классом точности регистрирующих приборов.

2.Погрешность определения Е и С/h оценивается по методике расчета погрешностей косвенных измерений.

Лабораторная работа ¹ 13

Эффект Холла

Цель работы: изучение эффекта Холла в полупроводнике; исследование зависимости Э.Д.С. Холла от напряженности внешнего п оля (градуировка датчика Холла); определение постоянной Холл а, концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводни ке; иссле-

88

дование распределения магнитного поля по оси короткого с оленоида; сравнение с теоретической зависимостью.

I. Эффектом Холла называется явление перераспределения за рядов в металле или полупроводнике, через которые течет ток и кото-

рые помещены в магнитное поле Â→ в результате чего возникает поперечная разность потенциалов между точками, расположен ными на прямой, перпендикулярной как вектору Â→ поля, так и направле-

→

íèþ òîêà J (рис. 1). Причиной возникновения поперечной разности потенциалов является магнитная составляющая силы Лорен ца, дей-

→

ствующая на движущийся со скоростью V заряд:

В результате действия силы отрицательные заряды отклоня ются к верхней грани, на нижней появляется их недостаток —поло жительный заряд (рис. 1,а). Аналогично осуществляется перераспред еление положительных зарядов (рис. 1,б). В предположении, что все но си-

→

тели тона имеют одинаковую постоянную скорость движения V и их концентрация n, сила тока через кристалл i = enVld, найдем:

89

является характеристикой вещества и называется постоян ной Холла. Так как i = jld, то напряженность поперечного электрического поля:

Ðèñ. 9.

В реальном кристалле полупроводника носители тока испыт ывают столкновения по различным механизмам, рассеиваются на примесях и колебаниях решетки. Уч¸т этих процессов для полуп роводников с собственной а) и примесной б) проводимостью привод ит к несколько отличным от (4) выражениям для R:

ãäå må, mð — подвижность электронов и дырок, n и р — их концентрации .

Знак постоянной Холла позволяет определить тип преимуще ственной проводимости полупроводника.

90