2.3. Динамика относительного движения

Пусть система отсчета Oxyzявляется инерциальной, то есть в ней выполняются первый и второй законы динамики Ньютона.

Напомним, что первый закон Ньютона – закон инерции– гласит, что изолированная (т. е. не испытывающая действия сил) материальная точка совершает равномерное и прямолинейное движение.

Второй закон – основной закон динамики– гласит, что ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление, т. е.

, (2.50)

где m– масса точки, – действующая на точку сила; – абсолютное ускорение точки.

Два первых закона динамики и все полученные на их основе уравнения справедливы для движения материальной точки в инерциальных системах отсчета. Такие системы часто называют абсолютными.

Однако в естественном мире существуют не только инерциальные системы отсчета (как правило, одну из них выбирают в качестве неподвижной), но и так называемые неинерциальные (подвижные), которые в свою очередь сами перемещаются некоторым образом относительно неподвижной системы отсчета. Обозначим подвижную систему отсчета O₁x₁y₁z₁и рассмотрим движение материальной точкиM (рис. 2.31).

Как известно из кинематики, движение точки в неподвижной системе отсчетаOxyzназываетсяабсолютным, а ее движение в подвижной системеO₁x₁y₁z₁–относительным.

Будем считать, что переносное движение системы O₁x₁y₁z₁известно. В общем случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного , переносного и кориолисова (так называемая теорема Кориолиса)

. (3.51)

Рис. 3.31 Подвижная система отсчета

Основное уравнение динамики (2.1) с учетом (2.2) приобретает вид

, (3.52)

откуда

. (2.53)

Введем в рассмотрение силы инерции

,, (2.54)

направленные противоположно переносному и кориолисову ускорениям. Эти силы называются соответственнопереноснойикориолисовой силами инерции.

Согласно (2.54) уравнение (2.53) примет вид

. (2.55)

Уравнение (2.55) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

Сопоставляя уравнения (2.50) и (2.55), видим, что в общем случае относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Напомним, что кориолисово ускорение , как известно из кинематики, определяется векторным произведением

, (2.56)

где – угловая скорость вращения подвижной системы координатO₁x₁y₁z₁;

– относительная скорость точки.

По модулю кориолисово ускорение равно

. (2.57)

Рассмотрим теперь практически важные случаи, возможные в динамике относительного движения материальной точки.

Случай 1.Подвижная система отсчетаO₁x₁y₁z₁перемещается поступательно, прямолинейно и равномерно в абсолютном пространствеOxyz.

В этом случае и переносное , и кориолисово ускорения равны нулю, поэтому уравнение движения (3.55) принимает вид

. (2.58)

Видим, что в правой части уравнения (2.58) осталась лишь активная действующая на точку сила, как и в основном уравнении динамики абсолютного движения (2.50), т.е. подвижная система отсчета O₁x₁y₁z₁является в этом случае также инерциальной системой. Сопоставление уравнений (2.58) и (2.50) показывает, что при поступательном равномерном прямолинейном переносном движении уравнение (2.58), определяющее относительное ускорение материальной точки , не отличается от основного уравнения динамики материальной точки (2.50), определяющего абсолютное ускорение точки . Следовательно, в этом случае относительное движение с точки зрения динамики не отличается от абсолютного движения.

Это означает, что относительное движение материальной точки по отношению к подвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, движущейся поступательно, прямолинейно и равномерно, происходит так же, как и в неподвижной системе отсчетаOxyz. Все такие подвижные системы являются инерциальными системами отсчета, и движение материальной точки относительно любой из них можно рассматривать как абсолютное движение. Это указывает на инвариантность уравнений динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Случай 2.Подвижная система отсчетаO₁x₁y₁z₁перемещается поступательно и криволинейно в абсолютном пространствеOxyz. Поскольку подвижная системаO₁x₁y₁z₁перемещается поступательно, в данном случае , согласно (2.56) имеем и . Поэтому уравнение (2.6) принимает вид

. (2.59)

Правая часть уравнения (2.59) кроме действующей на точку активной силы содержит только переносную силу инерции , направленную противоположно переносному ускорению (т.е. ускорению той геометрической точки подвижного пространства, где в данный момент находится материальная точкаМ).

Поскольку переносное ускорение точки имеет две составляющие – касательную и нормальную, переносная сила инерции также будет иметь две компоненты:

; . (2.60)

Случай 3.Переносное движение представляет собой равномерное вращение вокруг неподвижной осиOz(рис. 2.32).

Модуль вращательной составляющей переносной силы инерции

(2.62)

будет равен нулю, так как .

Рис. 2.32 Модель переносного движения

Следовательно, в данном случае основное уравнение динамики относительного движения точки (2.55) принимает вид

. (2.63)

Случай 4.Переносное движение – неравномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае обе составляющих переносной силы инерции : центробежная (2.61) и вращательная (2.62) - будут отличны от нуля.

Тогда уравнение (2.55) примет вид

. (2.64)

Правая часть уравнения (2.64) кроме активной силы содержит переносную центробежную, переносную вращательную и кориолисову силы инерции.