Логическое отрицание (инверсия)
•Логическое отрицание (инверсия) образуется из
высказывания с помощью добавления частицы "не" к сказуемому или использования оборота речи "неверно, что …".
•Операция унарная.
•Обозначается - Ā
(или знаком ¬A ).
•Читается "не А".
Например:
А = «мы пойдем в кино»
Ā = «мы не пойдем в кино»
Таблица истинности:
А
A
также: ,
not A (Паскаль), ! A (Си)
Вывод: инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
Логическое отрицание (инверсия)
Мнемоническое правило: слово “инверсия” (от лат. inversio - переворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.
Операцию инверсии можно графически проиллюстрировать с помощью теории множеств и диаграмм Эйлера-Венна.
Втеории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству.
Примечание 1. Логики предпочитают иметь дело с выражениями “неверно, что”, поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего высказывания.
Примечание 2. Дважды или четырежды отрицавшееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и соответствующие не отрицавшееся высказывание, трижды отрицавшееся – что и
отрицавшееся один раз.
А
A
0 1
1 0
АĀ
Логическое сложение (дизъюнкция)
также: A+B, A B,
A or B (Паскаль),
A || B (Си)
• |
Логическое сложение |
|
|
|
|
|
(дизъюнкция) образуется |
|
Таблица |
|
|
|
соединением двух высказываний |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
в одно с помощью союза "или". |
|
А |
B |
A V B |
• |
Операция бинарная. |
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
||
• |
Обозначается A v B (плюсом) |
|
|||
|
0 |
1 |
1 |
||
• |
Читается "А или В" |
|
|||
|
1 |
0 |
1 |
||
• |
Например: |
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|||
А = «мы пойдем в кино» |
|
|
|
|
|
В = «мы пойдем в театр» |
Вывод: дизъюнкция двух |
|
|||
A v B = «мы пойдем в кино или |
|
||||
высказываний истинна тогда, когда |
|||||
театр» |
хотя бы одно высказывание |
||||
истинно .
Логическое сложение (дизъюнкция)
•Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложение, и мы не
сомневаемся, что Вы заметили: 0 + 0 = 0, 0 + 1= 1, 1 + 0 = 1, но в логике: 1 V 1 = 1.
•Операцию дизъюнкции можно графически проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера-Венна.
•В теории множеств соответствует операции ОБЪЕДИНЕНИЯ множеств.
•. В диаграмме заштрихуем те множества, которые одновременно
соответствует значениям исходных множеств и А, и В.
А |
B |
A V B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Логическое умножение (конъюнкция)
•Логическое умножение (конъюнкция) образуется
соединением двух высказываний в одно с помощью союза "и".
•Операция бинарная.
• Обозначается A & B (А В) (.)
•Читается "А и В"
•Например:
А= «идет дождь»
В = «асфальт мокрый»
A /\ B = «идет дождь и асфальт мокрый»
Таблица истинности:
А |
B |
A B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Вывод: конъюнкция двух
высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба
высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Логическое умножение (конъюнкция)
также: A·B, A B, A and B (Паскаль),
A && B (Си)
•Мнемоническое правило:
конъюнкция - это логическое
умножение, и мы не сомневаемся, что
0 х 0 = 0, 0 х 1= 0, 1 х 0 = 0, 1 х 1 = 1.
•Операцию конъюнкции можно графически проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера-Венна.
•В теории множеств соответствует операции ПЕРЕСЕЧЕНИЯ множеств.
А |
B |
A B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Логическое следование |
|
|||
|
(импликация) |
|
|
||
• |
Следование (импликация) |
Таблица истинности: |
|||
|
образуется соединением двух |
||||
|
|
|
|
||
|
высказываний в одно с помощью |
|
|
||
|
слов «если…то". |
А |
B |
A B |
|
• |
Операция бинарная. |
||||
0 |
0 |
1 |
|||
• |
Обозначается A → B (А=>В) |
||||
0 |
1 |
1 |
|||
• |
Читается “если А то В" |
||||
1 |
0 |
0 |
|||
• |
Например: |
||||
1 |
1 |
1 |
|||
А = «каждое слагаемое делится |
|||||
|
|
|
|||
на 3» |
|
Вывод: Импликация ложна тогда |
|||
В = «сумма делится на 3» |
|||||
и только тогда, когда А истинно |
|||||
A → B = «если каждое слагаемое |
и В ложно, т.е из истины следует |
||||
делится на 3 , то и сумма |
ложь. |
|
|
||
делится на 3»
Логическое следование (импликация)
В теории множеств соответствующей операции нет.
Тем не менее попробуем отобразить ее с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Выберем из таблицы истинности те строки, значение которых 1. Таких строк три.
В диаграмме заштрихуем следующие области:
А |
B |
A B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
(А=0) (В=0) |
(А=0) (В=1) |
(А=1) (В=1) |
Равносильность
(эквиваленция)
Равносильность (эквиваленция)
двух высказываний в одно
образуется с помощью слова «тогда и только тогда".
Операция бинарная. Обозначается A B
Читается "А тогда и только тогда В"
Например:
А = «число делится на 2 без остатка»
В = «число четное»
A B = «число делится на 2 без
остатка тогда и только тогда, когда число четное»
Таблица истинности:
А |
B |
A B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Вывод: Высказывания эквивалентны, когда их значения истинности одинаковы
Равносильность
(эквиваленция)
В теории множеств соответствующей операции нет.
Тем не менее попробуем отобразить ее с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Выберем из таблицы истинности те строки, значение которых 1. Таких строк две.
В диаграмме заштрихуем следующие области:
А |
B |
A B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |