МАТ_ ЛОГИКА / Истинностные таблицы логики предикатов
.pdf
Истинностные таблицы формул логики предикатов
Значение любой формулы алгебры предикатов при данной области интерпретации, данных значениях предметных переменных, имеющих свободные вхождения в формулу, и данных значениях ионов, входящих в формулу, есть (как и в алгебре высказываний) либо И, либо Л.
Определение. Истинностной таблицей формулы алгебры предикатов в заданной области М называется таблица, содержащая всевозможные наборы значений переменных, имеющих свободные вхождения в формулу, и ионов, входящий в формулу, и соответствующие этим наборам истинностные значения самой формулы.
Значениями ионов являются всевозможные логические функции. Значениями нульместных ионов на любой предметной области являются
И или Л, т.е. множество значений нульместного иона есть множество {И, Л}. Число значений m-местного иона A(a1, … ,am) на n–элементной области
М={1, 2, …,n} равно 2k, где k=nm (т.к. можно составить k=nm различных наборов значений m переменных на n–элементной области).
Пример 1. Пусть одноместный ион «x – простое число» рассматривается на предметной области N – множестве натуральных чисел. Какой логической функцией характеризуется этот ион?
Первые значения этой логической функции приведены в следующей таблице:
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
… |
317 |
… |
l(x) |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
|
л |
|
л |
|
и |
…л |
и |
…и |
Пример 2. Указать значения ионов различной местности на предметной области, состоящей из одного элемента М={1} (элемент множества М условно обозначен 1, где 1 – просто символ для обозначения элемента).
Значения n-местного иона на М выписаны в таблицу
|
a1 |
|
a2 |
|
… |
|
an |
|
l0n |
|
l1n |
|
|
1 |
|
1 |
|
… |
|
1 |
|
л |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число различных одноместных логических функций на одноэлементной области равно 21=2.
Пример 3. Указать значения ионов различной местности на предметной области, состоящей из двух элементов М={1, 2} (элементы множества М условно обозначены 1 и 2, т.е. 1 и 2 просто два различных символа для обозначения элементов множества).
Для одноместного иона A(a) получим таблицу
a |
l01 |
l11 |
l21 |
l31 |
1 |
л |
л |
и |
и |
2 |
л |
и |
л |
и |
Число различных одноместных логических функций на двухэлементной области равно 22=4.
Множество значений двухместного иона A(a, b) выписано в таблицу:
a |
b |
l02(a,b) |
l12(a,b) |
l22(a,b) |
l32(a,b) |
l42(a,b) |
l52(a,b) |
l62(a,b) |
l72(a,b) |
l82 |
l92 |
l102 |
l112 |
l122 |
l132 |
l142 |
l152 |
|
1 |
1 |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
|
и |
и |
|
и |
и |
|
и |
и |
1 |
2 |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
|
л |
л |
|
л |
л |
|
и |
и |
2 |
1 |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
|
л |
л |
|
и |
и |
|
л |
л |
2 |
2 |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
|
л |
и |
|
л |
и |
|
л |
и |
В первых двух столбцах таблицы приведены всевозможные наборы значений переменных на двухэлементной области.
Замечание. Условимся всегда эти наборы записывать в такой последовательности, которая возникает при расположении этих наборов в порядке возрастания натуральных чисел, соответствующих каждому набору, если символам 1 и 2 приписывать значения чисел 1 и 2 соответственно.)
Значение такого иона есть логическая функция, сопоставляющая с каждым из четырех возможных наборов значений переменных a и b – (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) – элемент множества {И, Л}. Число различных двухместных логических функций на двухэлементной области равно 24=16.
В обозначении lji(a,b) верхний индекс указывает местность логической функции, нижний индекс – порядковый номер функции, причем этот номер, записанный в виде nm-значного числа в двоичной системе, где n – число элементов предметной области, m – местность иона, дает нам распределение значений логической функции, если символам 0 и 1 поставить в соответствие символы Л и И. Например, l72(a,b) есть двухместная логическая функция с порядковым номером 7; записав этот номер в виде (nm=22 =4) 4-х значного числа в двоичной системе: 710=01112, получим (Л,И,И,И) – набор значений функции l72(a,b :
a |
b |
l72(a,b) |
1 |
1 |
л |
1 |
2 |
и |
2 |
1 |
и |
2 |
2 |
и |
Множество значений трехместного иона A(a, b, c) на двухэлементной области имеет 28=256 логических функций, т.к. число возможных наборов значений трех переменных равно 23=8. Выпишем только три из этих функций: l253(a,b,c), l1993(a,b,c), l2353(a,b,c). Запишем номера этих функций в виде 23-значного числа и символам 0 и 1 поставим в соответствие символы Л и И:
2510=000110012 ↔ (л,л,л,и,и,л,л,и) 19910=110001112 ↔ (и,и,л,л,л,и,и,и) 23510=111010112 ↔ (и,и,и,л,и,л,и,и)
Выпишем явно эти функции:
a |
b |
c |
l253(a,b,c) |
l1993(a,b,c) |
l2353(a,b,c) |
1 |
1 |
1 |
л |
и |
и |
1 |
1 |
2 |
л |
и |
и |
1 |
2 |
1 |
л |
л |
и |
1 |
2 |
2 |
и |
л |
л |
2 |
1 |
1 |
и |
л |
и |
2 |
1 |
2 |
л |
и |
л |
2 |
2 |
1 |
л |
и |
и |
2 |
2 |
2 |
и |
и |
и |
Пример 4. Указать значения некоторых ионов различной местности на предметной области, состоящей из трех элементов М={1, 2, 3} (элементы множества М условно обозначены 1, 2, 3, т.е. 1, 2, 3 – просто три различных
символа для обозначения элементов множества). |
|
|
|
|
|
||||||
|
Значения одноместного иона на М={1, 2, 3} |
выписаны в таблицу |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
l01 |
l11 |
l21 |
l31 |
l41 |
|
l51 |
l61 |
|
l71 |
1 |
|
л |
л |
л |
л |
и |
|
и |
и |
|
и |
2 |
|
л |
л |
и |
и |
л |
|
л |
и |
|
и |
3 |
|
л |
и |
л |
и |
л |
|
и |
л |
|
и |
Число различных одноместных логических функций на трехэлементной области равно 23=8.
Различных значений двухместного иона A(a, b) на М={1, 2, 3} имеется 29=512 (9 – число различных наборов из 3-х элементов по 2 элемента). Выпишем только три из этих функций: l472(a,b), l3122(a,b), l2352(a,b). Запишем номера этих функций в виде 32-значного числа и символам 0 и 1 поставим в соответствие символы Л и И:
4710=0001011112 |
↔ (л,л,л,и,л,и,и,и,и) |
|
|
|
|||||
31210=1001110002 |
↔ (и,л,л,и,и,и,л,л,л) |
|
|
|
|||||
23510=0111010112 |
↔ (л,и,и,и,л,и,л,и,и) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
l472(a,b) |
|
l3122(a,b) |
l2352(a,b) |
|
|
1 |
|
1 |
|
л |
|
и |
л |
|
|
1 |
|
2 |
|
л |
|
л |
и |
|
|
1 |
|
3 |
|
л |
|
л |
и |
|
|
2 |
|
1 |
|
и |
|
и |
и |
|
|
2 |
|
2 |
|
л |
|
и |
л |
|
|
2 |
|
3 |
|
и |
|
и |
и |
|
|
3 |
|
1 |
|
и |
|
л |
л |
|
|
3 |
|
2 |
|
и |
|
л |
и |
|
|
3 |
|
3 |
|
и |
|
л |
и |
|
Рассмотрим пример вычисления истинностного значения формулы в |
|||||||||
алгебре предикатов. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. Найти истинностное значение формулы |
|
|
|||||||
"x P(x,y)Ú($x"z(Q(x,y)ÞRÙQ(y,z))), |
|
|
|
||||||
если М={1, 2, 3}, |
y=2, |
R=Л, P(x,y)= l3122(x,y), Q(x,y)= l472(x,y). |
|||||||
После подстановки значений переменных и ионов в формулу, получим:
" x l3122(x,2)Ú($x"z(l472(x,2)ÞЛÙ l472(2, z))).
По определению ЛÙ l472(2, z)=Л, из таблицы примера 4 находим l3122(1,2)=Л, поэтому заключаем (используя определение квантора
всеобщности), что " x l3122(x,2)=Л. Таким образом, имеем:
ЛÚ($x"z(l472(x,2)ÞЛ)).
Значения импликации l472(x,2)ÞЛ определяются значениями функции l472(x,2), совпадая со значениями ее отрицания, т.е. значение формулы $x"z(l472(x,2)ÞЛ) совпадает со значением $x"zØl472(x,2), или, учитывая, что l472(x,2) не зависит от z, со значением $xØl472(x,2). Т.к. l472(1,2)= Л, то Øl472(1,2)=И, поэтому $xØl472(x,2)=И, значит
" x l3122(x,2)Ú($x"z(l472(x,2)ÞЛÙ l472(2, z))=И.
Пример 6. Составить истинностную таблицу формулы на М={1, 2}.
Значения формулы зависят от значения переменной y, свободной в единственном своем вхождении, нульместного иона P и одноместного иона Q(x). Поскольку y имеет два значения, P – два значения, Q(x) – четыре значения ( смотри пример 3), то всего искомая таблица будет содержать
2·2·4=16 строк.
Номер строки |
y |
P |
Q(x) |
$x(PνQ(x))ÞQ(y) |
1 |
1 |
и |
l01(x) |
л |
2 |
1 |
и |
l11(x) |
л |
3 |
1 |
и |
l21(x) |
и |
4 |
1 |
и |
l31(x) |
и |
5 |
1 |
л |
l01(x) |
и |
6 |
1 |
л |
l11(x) |
л |
7 |
1 |
л |
l21(x) |
и |
8 |
1 |
л |
l31(x) |
и |
9 |
2 |
и |
l01(x) |
л |
10 |
2 |
и |
l11(x) |
и |
11 |
2 |
и |
l21(x) |
л |
12 |
2 |
и |
l31(x) |
и |
13 |
2 |
л |
l01(x) |
и |
14 |
2 |
л |
l11(x) |
и |
15 |
2 |
л |
l21(x) |
л |
16 |
2 |
л |
l31(x) |
и |
Приведем подробное вычисление для первой строки: $x(PÚQ(x))ÞQ(y)
$x(ИÚQ(x))Þ l01(1) $x(ИÚQ(x))Þ l01(1)
ИÞ Л
Л