13.6. Метод резолюций

Далеко не всегда можно легко найти невыполнимое множество основных примеров дизъюнктов. Трудности заключаются в порождении основных примеров дизъюнктов и поиске опровергающих интерпретаций. Поскольку множество дизъюнктов представляет собой конъюнктивную нормальную форму, то задача проверки невыполнимости этого множества эквивалентна задаче проверки ложности конъюнктивной нормальной формы, а это задача экспоненциальной сложности. После многочисленных поисков более эффективных процедур, Дж. Робинсоном был предложен метод, названый методом резолюций.

Основная идея метода резолюций состоит в том, чтобы прове­рить, содержит ли множество S пустой дизъюнкт □. Если и S содер­жит □, то множество S невыполнимо, если нет, то надо проверить, может ли он быть получен из данного множества дизъюнктов. Ины­ми словами, необходимо найти множество основных примеров. Опровергающих исходное множество дизъюнктов. Эта процедура основана на правиле резолюций.

Правило резолюций Робинсона. Если для любых двух дизъюн­ктов С₁ и С₂ существует литера L₁С₁, и контрарная ей литера L₂С₂ (L₂=L₁), то вычеркнув L₁ из С₁, и L₂ из С₂ и построив дизъюнкт из оставшихся литер, получим резольвенту С₁, и С₂: С₁С₂, где С₁ = С₁\L₁, С₂ = С₂\L₂.

Теорема 13.6. Резольвента С есть логическое следование дизъ­юнктов С₁ и С₂, содержащих контрарные литеры L и L: LC₁, L₁C­₂= С₁С₂.

Доказательство. Предположим, что |LC₁| =T, |L₁C­₂| = T, |С₁С₂| = F. Тогда | С₁| = F, |С₂| = F. Если | LC₁| = Т, |L| =T, но |L₁C­₂| = T, следовательно, |L| = F. Полученное противоречие доказывает теорему.

Правило резолюций является обобщением многих известных нам правил вывода. Например, правило силлогизма: АВ, ВС=АС может быть переписано в виде: АВ, ВС=АС, что соответствует правилу резолюций. Правило МР: А, АВ=В может быть переписано в виде: А АВ=В, что также соответству­ет правилу резолюций. Наконец, закон противоречия А&АF равнозначен правилу: А, А= □, согласно которому резольвента двух контрарных однолитерных дизъюнктов есть пустой дизъюнкт.

Определение 13.13. Резолютивный вывод из множества дизъ­юнктов S есть последовательность С₁, С₂, ..., С_k, такая, что каждое С_i либо принадлежит S, либо является резольвентой предшеству­ющих С_i.Если последний дизъюнкт С_k = □, то множество дизъюнктов S является невыполнимым, а весь вывод называется опровержением S. Если С_k не является пустым дизъюнктом и дальнейшее применение правила резолюций невозможно, то множество S является выполнимым.

Пример. Рассмотрим пример 10.1. (см. главу 10). Необходимо проверить логическое следование в логике высказываний: РS, SR, Р=R. Составим множество дизъюнктов S, для чего каждую формулу приведем к КНФ, а от заключения R возьмем отрицание.

Получим:

1. PS

2. SR

3. Р

4. R

5. S резольвента 4, 2

6. P резольвента 5, 1

7. □ резольвента 3, 6

Правило резолюций - очень мощное средство логического доказательства. Можно показать [Чень, Ли, 1983] полноту метода резолюций, т.е. доказать, что множество дизъюнктов S невыполнимо тогда и только тогда, когда существует резолютивный вывод пустого дизъюнкта из S.