Высшая математика. Том 2
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(y′ )′t |
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(1 − t2 ) |
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(1 − t2 ) |
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′′ |
x |
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′′ |
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= (1 + t2 )2 t . |
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= (1 + t2 )2 t . 3 |
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yxx = |
xt′ |
$ : yxx |
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;, |
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sinx, cosx, |
tg x, |
ctg x, secx = |
1 |
, |
csecx = |
1 |
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- |
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cosx |
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sinx |
. % # 3.1.
3.28. " # !$ " % 3.12
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&
x = cos 2t,
y = 2sec2 t.
x = et cost,
3.
y = et sin t.
x = t + sin t, 5. y = 2 − cost.
7. |
x = |
t, |
|
1 − t . |
|
|
y = 1 |
x = tgt,
9.y = 1sin 2t.
x = t,
11.y = 3 t − 1.
13. |
x = |
t3 − 1, |
|
|
|
|
y = ln t. |
|
15. |
x = |
t − 1, |
|
|
|
|
y = 1 |
t . |
17. |
x = |
t − 3, |
|
|
|
|
y = ln (t − 2). |
y′′
xx
, .
2. |
x = |
1 − t2 , |
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|
y = 1 t. |
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2 |
t, |
4. |
x = sh |
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|
|
|
|
|
y = 1 ch2 t. |
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|
x = 1 t, |
|
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6. y = 1 (1 + t2 ). |
x = sin t,
8.y = sect.
10. |
x = |
t − 1, |
|
|
|
|
y = t |
1 − t . |
x = cost (1 + 2cost),
12.y = sin t(1 + 2cost).
14.x = sh t,y = th2 t.
16. x = cos2 t,y = tg2 t.
18. x = sin t,
y = ln cost.
141
19.xy
21.xy
23.x
y
25.x
y
27.x
y
x
y
31.xy
=t + sin t,
=2 + cost.
=cost,
=ln sin t.
=et ,
=arcsin t.
=ch t,
=3 sh2 t.
=2(t − sin t),
=4(2 + cost).
=1t2 ,
=1 (t2 + 1).
=ln t,
=arctgt.
20. x = t − sin t,y = 2 − cost.
22. x = cost + tsin t,y = sin t − tcost.
24. x = cost,
=sin4 (t 2).
x = arctg t,
26.y = t22.
x = sin t − tcost,
28.y = cost + tsin t.
x = cost + sin t,
30.y = sin 2t.y
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x2 |
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142
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, f(x) %, -
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2 |
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f (b)− f |
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b − a |
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y=f(x) # ,
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[ ; b] # c, a<c<b , - f(b) – f(a)=f '(c)(b – a).
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, g'(x) = 0 x ( ; b), -
[ ; b] # ( ; b), - |
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f (b)− f |
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f ′(x) |
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b − a |
|
g′(x) |
143
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x→a |
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x |
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x→a |
( |
x |
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= 0 |
x→a |
( |
x |
) |
|
x→a |
( |
x |
) |
= ∞ . ,, - % |
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lim f |
|
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= lim g |
|
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# lim f |
|
|
= lim g |
|
|
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f ′(x) |
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|
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|
|
|
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|
|
|
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x→a g′(x) |
f (x) |
|
f ′(x) |
|
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f(x) /g(x) x6 , lim |
= lim |
. |
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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x→a g(x) |
x→a g′(x) |
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%. , lim |
x + sin x |
% lim |
x + sin x |
= lim 1 |
+ |
sin x |
|
= 1. |
x→∞ |
x |
x→∞ |
x |
x→∞ |
|
x |
|
< ( (1+cosx)/1=1+cos x x6?
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|
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|
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|
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|
|
ln x |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin x |
|
1 |
|
' 1. 2lim |
|
|
|
|
= |
= lim |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
lim |
= |
.3 |
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|
|
+ 2ln(sin x) |
∞ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 1 |
|
|
|
x→0 2 1 |
|
cos x |
|
2 x→0 xcos x |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 2. |
2lim |
1 − cos 4x |
= |
0 |
= lim |
4sin 4x |
= lim |
16cos 4x |
= 8.3 |
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
x2 |
0 |
|
x→0 2x |
|
x→0 |
2 |
|
|
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|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
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|
ln x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 3. |
2lim xln x = 0 ∞ = lim |
= |
= lim |
|
x |
= − lim x = 0 .3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
1x |
∞ |
|
x→0 − 1x2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
144
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
ln x − x +1 |
|
0 |
|
|
1 |
−1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
' 4. 2lim |
− |
= ∞ − ∞ = lim |
= |
= lim |
|
x |
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|||||||||||
|
x→1 |
x −1 ln x |
|
|
x→1 |
(x −1)ln x 0 |
x→1 |
ln x + |
|
||||||||||||||
|
1 − x |
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
= lim |
|
|
= − |
.3 |
|
|
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|||||||
|
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|
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|
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|||||
x→1 xln x + x − 1 |
|
x→1 ln x + 2 |
2 |
|
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|
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|
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|
|
|
' 5: 2lim(1 + x2 )1 x = 1∞ .
x→0
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"-
.
' y = (1 + x2 )1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1 + x2 ) |
|
|
|
|
||||
" % ln y = |
1 |
ln (1 + x2 )= |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ln (1 + x2 ) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
& limln y = lim |
= |
∞ |
= lim |
|
2x |
= lim |
|
2 |
= 0 . |
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|
∞ |
|
|
|
|
|
+ x2 |
||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
x |
x→∞ x(1 + x2 ) |
x→∞ 1 |
|
||||||||||||
ln y #, ln lim y = limln y = 0 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||
, lim y = e0 |
# lim(1 + x2 )1 x = 1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1. |
lim |
|
2x2 |
+ 5x − 3 |
|
. |
|
2. |
lim |
5x2 |
− 4x − 1 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|||||||||
|
x → -3 |
|
|
|
|
|
x → 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
lim |
3x2 |
+ 5x − 2 |
. |
|
4. |
lim |
4x2 |
− 14x + 6 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
||||||||||
|
x → -2 |
|
|
|
|
|
x → 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
lim |
6x2 + x − 1 |
. |
|
6. |
lim |
|
6x2 − x − 1 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x → -1 2 x + 1 2 |
|
|
|
x → 1 2 x − 1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
lim |
9x2 − 1 |
. |
|
|
|
|
8. |
lim |
3x2 |
− 5x − 2 |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
||||||||||
|
x → -1 3 x + 1 3 |
|
|
|
|
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
lim |
3x |
2 − 2x − 1 |
. |
10. |
lim |
7x2 + 8x + 1 |
. |
|||||||||||||||
|
x + 1 3 |
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x → -1 3 |
|
|
|
|
x → |
-1 |
|
|
|
|
|
145
11. |
lim |
|
x2 − 4x + 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
lim |
|
|
2x2 + 3x − 2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x → 3 x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. |
lim |
6x |
2 − 5x + 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
lim |
|
|
|
|
10x2 + 9x − 7 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 7 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x → |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
-7 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
lim |
|
|
2x2 + 13x + 21 |
. |
16. |
lim |
|
|
|
2x2 − 9x + 10 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x + |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x → |
-7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
17. |
lim |
6x |
2 + x − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
lim |
|
|
|
|
6x2 − 75x − 39 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x → |
1 3 x − 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
-1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
lim |
2x2 − 21x − 11 |
. |
|
|
|
20. |
lim |
|
5x2 |
− 24x − 5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x → |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. |
lim |
2x2 + 15x + 7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
22. |
lim |
2x2 + 6x − 8 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x → |
-7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
-4 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
23. |
lim |
|
6x2 − x − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
lim |
|
+ 2x − 15 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x → |
-1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25. |
lim |
|
3x2 |
− 40x + 128 |
. |
|
|
26. |
lim |
|
5x |
2 − 51x + 10 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x → 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x → |
10 |
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27. |
lim |
2x2 − 5x + 2 |
. |
|
|
|
|
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|
28. |
lim |
3x2 + 17x − 6 |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x − 1 2 |
|
|
|
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x + 6 |
|
|
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||||||||||||||||||
|
x → |
1 2 |
|
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x → |
-6 |
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||||||||
29. |
lim |
3x |
2 + 17x − 6 |
. |
|
|
|
30. |
lim |
|
|
|
15x2 − 2x − 1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
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x − 1 3 |
|
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x + 1 5 |
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||||||||||||||||||
|
x → |
1 3 |
|
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x → |
-1 5 |
|
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||||||||||||
31. |
lim |
15x2 − 2x − 1 |
. |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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x − 1 3 |
|
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||||||||||
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x → |
1 3 |
|
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|
3.32. '#! 4 +!
) y= f(x) (a, b) x0 (a, b). / %
: # P(x), x0 #
% f(x) . , # -
, - f(x)(P(x) # f(x) x0
( # P(x).
) ( # % n P(x)= Pn(x). @
Pn (x) = f (x0 )+ |
f ′(x0 ) |
(x − x0 )+ |
f ′′(x0 ) |
(x − x0 )2 + + |
f (n) (x0 ) |
(x − x0 )n . |
|
2! |
|
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1! |
|
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n! |
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' Rn (x) = f (x)− Pn (x) n- ( |
||||||
f(x) x0. & |
f (x) = Pn (x)+ Rn (x) |
, , f (x) ≈ Pn (x) |
146
- ( Rn (x) # .
$%, - x0 ( , b) x ( , b) % f (n+1)(x),
x ( , b) % ξ , - ( x0 x,
- ( |
R (x) = |
|
f (n+1) (ξ ) |
(x − x ) |
n+1 |
. |
||||||||||||||||||||
|
(n + 1)! |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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n |
|
|
|
0 |
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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f ′(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
f ′′(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
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f (x) = Pn (x)+ Rn (x) = f (x0 )+ |
(x − x0 )+ |
(x − x0 )2 + |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
f (n) (x ) |
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
n |
|
|
f (n+1) (ξ ) |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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+ |
0 |
(x − x0 ) |
|
+ |
|
(x |
− x0 ) |
|
|
, x (x0, x) |
|
|
|
|
|
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n! |
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
0- x0 |
= 0, ( |
||||||||||||||||||||||||
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= f (0)+ |
|
f ′(0) |
x + + |
|
f (n) (0) |
xn + |
|
f (n+1) (ξ ) |
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( x0, x). |
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|
|
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1! |
|
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n! |
|
|
|
(n + 1)! |
5 , ).
3.33.! ) '#!- /
! ' ( )# * +
* f(x)=ex. ' : "
# (. -
( (n+1) : f (x) = ex , f (0) = 1;
f ′(x) = ex , f ′(0) = 1;
……………………..
f (n) (x) = ex , f (n) (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f (n+1) (x) = ex , f (n) (ξ ) = eξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
, , % |
f (n) (0) |
|
|
|
f (n+1) (ξ ) |
||||||||||||||||
f (x) = f (0)+ |
|
f ′(0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x + + |
|
|
|
xn |
+ |
|
xn+1 = |
||||||||||||
|
1! |
n! |
|
(n + 1)! |
|||||||||||||||||
|
x x2 |
|
x3 |
|
xn |
xn+1 |
ξ |
|
ξ ( 0, x). |
||||||||||||
= 1 + |
|
+ |
|
+ |
|
|
+ + |
|
+ |
|
e |
|
, |
||||||||
1! |
2! |
|
3! |
n! |
(n + 1)! |
|
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$ x , |
|||||||||||||||||||||
# ex. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x=1, n=8, |
, - % |
# e : e = 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 = 2,71828 - 2! 3! 8!
147
( R < |
e |
|
< 10−5 . |
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|
|
|
|
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|
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$ , |
- #- x R ( |
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|
|
|
|
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|
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|
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ξ |
→ 0 - n → ∞ . |
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R |
= |
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e |
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( |
|
) |
|
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n |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
n + 1 ! |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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, , #- x, ( % ,
# ex #- .
& ( : " f(x)=sin x. & f(x)=sin x:
f (x) = sin x , f (0) = 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
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π |
|
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|
f |
′(0) = 1; |
|
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|
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|
|
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f ′(x) = cos x = sin x + |
, |
|
|
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|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
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|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
f |
′′(x) = cos x |
+ |
2 |
|
= sin x |
+ |
|
|
|
|
|
, |
f |
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0) = 0 ; |
|
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2 |
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|
|
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2π |
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3π |
|
|
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|
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||||||||||||||
f |
′′′(x) = cos x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin x |
+ |
|
|
|
|
, |
|
f ′′′(0) = −1; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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|||||||||||||
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IV |
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3π |
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4π |
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|
IV |
) (0) = 0 ; |
|
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f |
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|
|
) (x) = cos x |
+ |
|
|
|
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= sin x + |
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f ( |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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……………………………………………………….. |
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f |
( |
n |
) |
|
|
|
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|
π |
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n |
) |
(0) = sin |
π n |
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|
(x) = sin x + n |
|
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, |
|
|
|
2 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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f |
(n+1) (x) = sin x + |
(n + 1)π |
|
, |
|
|
f (n+1) (ξ ) = sin |
ξ + (n + 1)π |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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2 |
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|
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|
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|
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|
|
|
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2 |
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|
ξ + (n + 1)π |
|
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|
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|
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|
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|
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|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
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|
sin π n |
|
|
|
|
sin |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin x = x − |
|
|
|
+ |
|
− + |
|
|
|
|
|
2 |
|
xn + |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
xn+1 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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( |
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) |
|
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|
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
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|
|
|
|
|
|
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n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 ! |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
, - ( n- , |
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|
|
|
|
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x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
− + (−1)n−1 |
|
|
x |
2n−1 |
|
|
|
|
sin ξ + |
(n + 1)π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x = x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2 |
xn+1 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2n |
|
) |
|
|
|
n |
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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3! 5! |
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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− 1 ! |
|
|
|
|
+ 1 ! |
|
|
|
||||||||||||||||||||
sin |
ξ + (n + 1)π |
|
|
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≤ 1, ex - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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, - lim Rn (x) = 0 x.
x→∞
148
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' 1: # # sin 20°
: ".
2 & % n=3. : %:
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
5 |
− + (−1)n−1 |
|
|
x |
2n−1 |
|
|
|
sin ξ + |
(n + 1)π |
|||||||||||||||
|
|
sin x = x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
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2 |
xn+1 . |
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|
|
|
|
|
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( |
2n − 1 ! |
|
|
|
( |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! 5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 ! |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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) |
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|
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|
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|
|
|
|
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|
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π 3 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
3 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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9 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
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$ , - 20°=π/9: sin |
9 |
= 9 |
− |
|
|
|
|
= 9 |
− |
|
|
|
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= 0,342 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
3! |
|
|
|
6 93 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
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# (, ( : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
ξ + (n + 1)π |
|
|
|
= π |
|
4 |
sin (ξ + 2π ) |
|
|
|
|
π |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
= |
|
|
2 |
xn+1 |
|
≤ |
|
|
|
≈ 0,00062 < 0,001 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4! |
|
|
|
|
, , sin 20°= 0,342 0,001.3
' 2: * : " f(x) = cos x.
2 < -
:
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
cos π n |
|
|
|
cos |
ξ |
|
+ (n + 1)π |
|
|||||||
cos x = 1 − |
|
|
+ |
|
− + |
|
|
2 |
|
xn + |
|
|
|
|
2 |
|
xn+1 # |
||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
( |
) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 ! |
|
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
− + (−1)n−1 |
x |
2n |
|
|
cos ξ |
+ (n + 1)π |
|
||||||||||||
cos x = 1 − |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
2 |
|
xn+1 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|||||||||||||||
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
( |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
n + 1 ! |
|
|
|
||||||||||||
, lim Rn (x) = 0 x.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
' 3: |
|
* : " f(x)=ln(1+x). |
2 &, - # % D(y)=(–1; +?). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
& : " . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
( |
|
x |
) |
|
|
( |
|
|
|
) |
, f |
( |
0 |
) |
= 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ln 1 + x |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f ′ |
( |
x |
) |
= |
( |
+ x |
) |
−1 , f |
′ |
( |
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
( |
|
) |
1 |
|
|
|
0 |
( |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f ′′ |
x |
= − |
( |
+ x |
) |
−2 , |
|
f ′′ |
|
|
) |
= −1; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||
f ′′′ |
( |
x |
|
|
( |
+ x |
) |
−3 , |
|
f ′′′ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= 2 1 |
|
|
|
|
0 |
|
= 2 ; |
) |
|
||||||||||||||||||||||
f IV |
( |
|
|
|
) |
|
|
3 |
( |
|
|
|
) |
−4 , f IV |
( |
|
= −2 3 ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
= −2 |
|
1 + x |
|
|
0 |
|
………………………………………………………..
149
f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)!(1 + x)− n , f (n) (0) = (−1)(n − 1)!;
f (n+1) (x) = (−1)n n!(1 + x)−(n+1) , f (n+1) (ξ ) = (−1)n n!(1 + ξ )−(n+1) .
' : ".
ln (1 + x) = x − |
x2 |
+ |
2x3 |
− |
|
2 3x4 |
+ + (−1)n−1 (n − 1)! xn + (−1)n |
n!(1 + ξ )−(n+1) |
|
xn+1 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
||||||||||||
2! |
3! |
|
|
4! |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||||||
# ln (1 + x) = x − |
x2 |
|
+ |
x3 |
− |
x4 |
+ + (−1)n−1 |
xn |
+ (−1)n |
|
xn+1 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
n |
(n + 1)(1 + ξ )(n+1) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 4 |
|
|
|
|
: , - x (–1;1], lim Rn (x) = 0 , # -
x→∞
x ( –1;1].3
' 4: * : " f(x) = (1+x)m, m R,
m=0.
2 ' m+Z x> –1. & :- " % :
f (x) = (1 + x)m , f (0) = 1;
f ′(x) = m(1 + x)m−1 , f ′(0) = m;
f ′′(x) = m(m − 1)(1 + x)m−2 , f ′′(0) = m(m − 1);
f ′′′(x) = m(m − 1)(m − 2)(1 + x)m−3 , f ′′′(0) = m(m − 1)(m − 2);
………………………………………………………..
f (n) (x) = m(m − 1) (m − n + 1)(1 + x)m−n , f (n) (0) = m(m − 1) (m − n + 1)!; f (n+1) (x) = m(m − 1) (m − n)(1 + x)m−n−1 ,
f (n+1) (ξ ) = m(m − 1) (m − n)(1 + ξ )m−n−1 .
,
(1 + x)m = 1 + m x + m(m − 1) x2 + + m(m − 1) (m − n + 1) xn +
1! 2! n!
+ m(m − 1) ((m − n))(1 + ξ )m−n−1 xn+1 .
n + 1 !
: , - |x|<1 lim Rn (x) = 0 .3
x→∞
3.34. 7 ( &( ( #' "
&( ( #7#" )# *
' % # . ; y=f(x), [ , b], %
, - # ( x [ , b] - % # ( , # - x1 < x2, f(x1) < f(x2).
150