Высшая математика. Том 2
.pdf
|
∆y |
3 |
∆x |
1 |
|
|
|||
lim |
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
= +∞ . , % - |
∆x |
|
∆x |
|
2 |
|
||||
∆x→0 |
∆x→0 |
∆x→0 ∆x |
3 |
|
x= 0. % # π/2, #
% Oy.3
3.10. 4 ' # & ! )# *
) = f(u), u= u(x). % , x:=f(u(x)). % % # -
.
# =f(u(x)) % # # -
u= u(x) # , u, -
# y= f(u).
« » , #-
. $ .
4 ' 2. 0- u=u(x) % x0
′ |
′ |
(x0 ) % u0 |
= u(x0), y= f(u) % - |
ux |
= u |
u0 y'u= f '(u0), =f(u(x)) x0 %
, y'x= f '(u0) · u'(x0), u #
u= u(x).
, , #
u x.
, -# =f(u(x)), #
«(» f, , ,
«(» .
f ′(u(x))= f ′(u) u′ (x)
u x
0- y=f(x) y=f(u), u=u(v), v=v(x), y'x %
. & % y'x= y'u · u'x. &
u'x % |
′ |
′ |
′ |
ux |
= uv |
vx , # y'x = y'x· u'v· v'x = f 'u (u) · u'v |
|
(v) · v'x (x). |
|
|
|
|
|
! |
|
& |
' 1: y = − 1 e− x2 (x4 + 2x2 + 2). |
||||
|
|
2 |
|
|
2 & (uv)′ = u′v + uv′ |
||||
|
′ |
′ |
|
′ |
f |
|
(u(x))= fu (u) |
|
ux (x) : |
121
|
|
|
|
|
|
y′ = − |
1 |
(e− x2 (−2x) (x4 + 2x2 + 2)+ e− x2 (4x3 + 4x))= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e− x2 (x5 + 2x3 + 2x − 2x3 − 2x)= |
x |
|
. $ : y′ = |
|
x |
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
' 2: y = ln |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin (1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 & % ln′ x = |
1 |
, |
|
|
sin′ x = cos x , |
f ′(u(x))= fu′(u) u′x (x), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin (1 |
|
|
)− ln x cos(1 ) (−1 |
|
2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (1 |
) 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
u v − uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
(1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
2 ) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
) ( |
|
|
2 ) |
|
|||||
|
|
sin (1 |
) |
|
|
1 |
|
|
sin ( |
1 |
|
) |
|
|
|
sin (1 |
x |
) ln x cos(1 |
x |
) |
1 |
|
|
1 |
|
|
cos(1 |
|
1 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
= |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 ( |
1 |
) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(1 |
|
) |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
ln x |
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg(1 |
) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
$ : y′ = 1 |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 3: y = tg |
cos(1 3) + |
|
|
sin2 31x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
31cos62x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 & % # 2sin² α = 1 – cos 2α: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 31x |
|
1 |
|
1 − cos62x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
31cos62x |
|
62 |
|
|
|
|
cos62x |
|
|
|
|
62 |
|
cos62x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&, - #- , -
– % , . ,:
|
1 |
|
1 |
|
|
' |
62 |
|
sin 62x |
|
tg62x |
|
|
|
|||||||
y′ = 0 + |
|
|
|
|
− |
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
62 |
|
|
62 |
cos |
2 |
62x |
cos62x |
||||||||||||||
|
cos62x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
$ : y′ = |
tg62x |
|
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos62x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
' 4: y = arctg |
tg(x 2)+ 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 & % arctg′x = |
|
tg′x = |
|
. |
|||||||||||||||||
1 + x2 |
cos2 x |
$ , - 2 cos²α/2 = 1+ cosα %;
y′ = 4 12 1cos2 (x2) 12 =
2
4 + (tg(x2)+ 1)
122
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1cos2 (x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
4 cos2 (x |
2 )+ sin 2 (x |
2 )+ 2 sin (x |
2 ) cos (x |
2 )+ cos2 (x |
2 ) |
(x |
2 ) |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
||||
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 + 4cos2 (x |
|
)+ sin x |
= |
|
|
|
= |
|
. |
||||||||||||
|
2 |
|
1 + 2 + 2cos x + sin x |
3 + 2cos x + sin x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
$ : y′ = |
|
|
|
|
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 + 2cos x + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.11. " # !$ " % 3.3
/ ’ , # (
.
|
|
|
& |
|||||
1. |
y = x − ln (2 + ex + 2 e2x + ex + 1). |
|||||||
3. |
y = |
1 |
arctg |
ex − 3 |
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y = 2 ex + 1 + ln |
ex + 1 − 1 |
. |
|
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ex + 1 + 1 |
||
7. |
y = |
1 |
ln (e2x + 1)− 2arctg ex. |
|||||
2 |
||||||||
9. |
y = |
2 |
( 2x − 1 − arctg 2x − 1) |
|||||
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
ln 2
11.y = eα x (α sin β x − β cos β x).
α2 + β 2
|
|
ax 1 |
|
acos 2bx + 2bsin 2bx |
||
13. |
y = e |
|
|
+ |
2(a2 + 4b2 ) |
. |
2a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
15. |
y= x−3ln (1+ex 6) 1+ex 3 −3arctgex 6. |
|||||
17. |
y = ln (ex + |
|
e2x − 1)+ arcsin e− x. |
|
2. y = e2x (2 − sin 2x − cos 2x)8.
4. |
y = |
1 |
1 |
+ 2x |
|
|
|||||
|
|
|
ln |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
− 2x |
|||||||
|
|
|
ln 4 1 |
|
|
||||||
6. |
y = |
2 |
|
(arctg ex )3 . |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y = ln (ex + 1)+ |
18e2x + 27ex + 11 |
. |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(ex + 1)3 |
10. y = 2(x− 2) 1+ ex − 2ln 1+ ex −1. 1+ ex +1
12.y = eα x (β sin β x − α cos β x).
α2 + β 2
14. |
y = x + |
|
|
1 |
|
− ln (1 |
+ ex ). |
|
1 |
+ e |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
y = x + |
|
|
8 |
|
|
. |
|
1 |
+ ex 4 |
|
||||||
18. |
y= x−e−x arcsinex −ln(1+ 1−e2x ). |
123
19. y =
21. y =
x − ln (1 + ex )− 2e− x 2 arctg ex
1 |
|
a |
|
|
arctg emx |
|
. |
m ab |
|
||
|
b |
2 − (arctg ex 2 )2 . |
20. y = |
|
ex3 |
. |
|
+ x3 |
|||
|
1 |
|
||
22. y = 3e |
3 x (3 x2 − 23 x + 2). |
23. |
y = ln |
1 |
+ ex + e2x − ex − 1 |
. |
|
1 + ex + e2x − ex + 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
25. |
y = |
|
|
(x |
|
− 1)cos x + (x − 1) |
|
sin x |
. |
|||
|
2 |
|
|
|||||||||
27. |
|
3 |
x (3 x5 |
−53 x4 +20x−603 x2 |
+1203 x−120). |
|||||||
y=3e |
|
|||||||||||
29. |
y = arcsin e− x − 1 − e2x . |
|
|
|
||||||||
31. |
y = |
|
|
ex2 |
. |
|
|
|
|
|||
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
24. |
y = esin x x − |
|
. |
||||||
cos x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
y = arctg (ex − e− x ). |
||||||||
28. |
y = − |
|
|
e3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3sin3 x |
|
|
||||
30. |
y = − |
1 |
e− x2 |
(x4 + 2x2 + 2). |
|||||
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3.12. " # !$ " % 3.4
/ ’ , # (
.
&
1. |
y = x ln ( x + x + a )− x + a. |
|||||
3. |
y = 2 x − 4ln (2 + x ). |
|||||
5. |
y = ln ( x + x + 1). |
|||||
7. |
y = ln2 (x + cos x). |
|||||
9. |
y = ln |
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 − x2 |
|
|
|||
11. y = ln 4 |
1 |
+ 2x |
. |
|||
|
|
|||||
|
1 |
− 2x |
13.y = ln sin 2x + 4 . x + 1
15. y = log4 log2tg x.
17.y = ln cos 2x + 3. x + 1
2. |
y = ln (x + a2 + x2 ). |
||||||||||||
4. |
y = ln |
|
x2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 − ax4 |
|
|
|||||||
6. |
y = ln |
|
a2 |
+ x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y = ln3 (1 + cos x). |
|
|
||||||||||
10. |
y = lntg π + |
x |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
12. |
y = x + |
1 |
ln |
x − |
2 |
+ aπ 2 . |
|||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
14. y = log16 log5tg x.
16. y = x(cosln x + sin ln x)2.
18. y = lg ln (ctg x).
124
19. |
y = loga |
|
1 |
|
. |
|
|
20. |
y = |
1 |
|
ln( 2 tg x + |
1+ 2tg2 x). |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
− x4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
21. |
y = ln arcsin 1 − e2x . |
22. |
y = ln arccos 1 − e4x . |
|||||||||||||
23. |
y = ln (bx + |
a2 + b2 x2 ). |
24. |
y = ln |
|
x2 + 1 + x |
2 |
. |
||||||||
|
x2 + 1 − x |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25. |
y = ln arccos |
1 |
. |
26. |
y = ln (ex + 1 + e2x ). |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
y = ln |
5 + tg (x 2) |
28. |
y = ln |
|
ln x |
|
|
||||||||
|
. |
|
. |
|
|
|||||||||||
5 − tg (x 2) |
sin (1 x) |
|
|
|||||||||||||
29. |
y = ln lnsin (1 + 1 x). |
30. |
y = ln ln3 ln2 x. |
|
|
|||||||||||
31. |
y = ln ln2 ln3 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.13. " # !$ " % 3.5
/ ’ , # (
.
& x0=2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
y = sin |
3 + |
|
1 sin |
2 3x |
|
|
2. |
y = cosln 2 − |
1 cos2 3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 sin 6x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
y = tg lg |
1 |
+ |
1 |
|
|
sin2 4x |
. |
|
|
|
4. |
y = ctg 3 5 − |
1 |
|
|
cos2 4x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
4 cos8x |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
sin8x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
y = |
cossin 5 |
sin2 2x |
|
|
6. |
y = |
sin cos3 |
cos2 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin 4x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
y = |
cosln 7 sin2 7x |
. |
|
|
|
|
|
8. |
y = cos(ctg 2)− |
1 |
|
cos2 8x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7cos14x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 sin16x |
||||||||||||||||||||||
9. |
y = ctg(cos 2)+ |
1 |
|
sin2 6x |
. |
|
|
10. |
y = 3 ctg 2 − |
1 |
|
cos2 10x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 cos12x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 sin 20x |
|||||||||||||||||||||||||||||
11. y = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 sin2 |
10x |
|
12. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2 12x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
cos tg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
y = ln sin |
|
|
− |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
10 cos 20x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
24 sin 24x |
13. |
y = 8sin (ctg3)+ |
1 |
|
sin2 5x |
. |
14. |
y = |
cos(ctg3) cos2 14x |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 cos10x |
|
|
|
28sin 28x |
|
|
|
||||||
|
|
cos tg |
1 |
|
sin2 15x |
|
|
sin tg |
1 |
cos2 |
16x |
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
15. |
y = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
16. |
y = |
|
7 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
32sin 32x |
|
||||||||||||
|
|
15cos30x |
|
|
|
|
|
|
125
|
|
ctg sin |
1 |
|
sin2 17x |
|
|
|
3 |
||||
17. |
y = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
17cos34x
19.y = tg (ln 2) sin2 19x.
|
19cos38x |
||||||||||||||||
21. |
y = tg 4 + |
|
|
sin2 |
21x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
21cos 42x |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
sin2 23x |
||||||||||
23. |
y = ln cos |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
23cos 46x |
||||||||||
25. |
y = sin ln 2 + |
|
|
sin |
2 25x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25cos50x |
||||||||||
27. |
y = 7 tg(cos 2) + |
sin2 27x |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27cos54x |
|||||||
29. |
y = cos2 sin 3 + |
sin2 29x |
. |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29cos58x |
||||||||
31. |
y = tg cos(1 3) + |
sin2 31x |
. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31cos 62x |
18. |
y = |
5 ctg 2 |
cos2 18x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
36sin 36x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 20x |
|
|
||||||||||||||||||||
20. |
y = ctg(cos5)− |
1 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
sin 40x |
|
||||||||||||||
22. |
y = cos(ln13)− |
1 |
|
|
|
cos2 22x |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
sin 44x |
|
||||||||||||||
24. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2 24x |
|
|||||||||||||
y = ctg sin |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
13 |
|
|
48 sin 48x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
26. |
y = 3 cos |
2 − |
1 |
|
cos2 26x |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
sin 52x |
|
|||||||||||||||
28. |
y = sin 3 tg 2 − |
|
|
cos2 28x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
56sin 56x |
|
||||||||||||||||||
30. |
y = sin3 cos 2 − |
cos2 30x |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60sin 60x |
|
|
|
|
|
|
|
3.14. " # !$ " % 3.6 |
||||||||||
/ ’ , # ( |
||||||||||||||||
. |
|
|
||||||||||||||
& |
|
|
||||||||||||||
1. |
y = arctg |
tg x − ctg x |
, x0=2. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
y = arcsin |
|
x − 2 |
, x0=2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x − 1 |
|
|
5x |
|
|
9 |
|
2x − 1 |
|
|||||
3. |
y = |
|
|
2 + x − x2 |
+ |
arcsin |
, x0=1/4. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
3 |
|
|||
4. |
y = arctg |
|
|
|
1 + x2 − 1 |
, |
x0=2. |
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
y = arccos |
|
x2 − 4 |
|
x0=2. |
|
|
|||||||||
|
|
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x4 + 16 |
|
|
|
|
|
|
|
6.y = 2 arctg 3x − 1, 0=2. 3 6x
7.y = 1 ln x − 1 − 1 arctg x, x0=2. 4 x + 1 2 x
126
8. |
y = |
1 |
(x − 4) 8x − x2 − 7 − 9arccos |
x − 1 |
, x0=2. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||
9. |
y = |
(1 + x)arctg |
x |
+ |
|
|
1 |
|
, x0=2. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
||||||||||||
10. |
y = |
x3 |
arccos x − |
2 + x2 |
|
1 − x2 , x0=1/4. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 + x |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
y = |
|
|
1 |
|
+ |
arctg x, x0=2 |
|||||||||||||||||||
2 |
|
x |
2x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. |
y = |
3 + x |
|
x(2 − x) + 3arccos |
x |
, x0=1/4. |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
13. |
y = |
4 |
+ x4 |
x2 |
4 |
|
|
x0=2. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
+ |
|
|
, |
||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.y = arcsin x + arctg x, x0=2. x + 1
15.y = 1 1 − 1 − arccos x , x0=1/4. 2 x2 2x2
16. |
y = 6arcsin |
|
|
|
x |
− |
6 + x |
|
|
|
|
x(4 − x), x0=2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
17. |
y = |
|
|
|
|
|
|
6 x − x2 − 8 + arcsin |
− 1, x0=3. |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
18. |
y = |
(1 + x)arctg |
|
x − |
|
|
|
x |
, x0=2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
y = |
2 1 − x arcsin |
x |
+ |
|
2 |
|
, x0=1/4. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
20. |
y = |
2x − 5 |
|
|
|
|
5x − 4 − x2 |
+ |
9 |
arcsin |
x − 1 |
, x0=2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
21. |
y = arctg x + |
5 |
|
|
|
x2 + 1 |
x0=2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
22. |
y = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
, x0=2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( |
x − 1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23. |
y = |
1 − x2 |
− xarcsin |
|
|
1 − x2 , x0=1/4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
y = |
x + |
1 |
arctg |
|
x + |
8 |
arctg |
x |
, x0=2. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25. |
y = arctg |
|
|
|
1 − x |
, x0=1/4. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
− |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
26.y = (2x2 + 6x + 5)arctg x + 1 − x, x0=2. x + 2
27. y = |
x |
|
arcsin 2x + |
1 |
ln |
(1 − 4x |
2 |
), x0=1/4. |
|||||||||||||||
2 1 − 4x2 |
8 |
|
|||||||||||||||||||||
28. y = 2x2 − x + |
1 |
arctg |
x2 − 1 |
− |
x3 |
|
− |
3 |
x, x0=2. |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
29. y = (x + 2 |
x + 2)arctg |
|
x |
|
− |
x, x0=2. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
30. y = 1 + 2x − x2 arcsin |
x |
2 |
− |
|
|
2 ln (1 + x), x0=2. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
tg (x 2)+ 1 |
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
31. y = arctg |
|
, x0=2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15. "-&( " )# * ) *-"
- % % y = uv, u=u(x), v=v(x). -
: (uv )′ = uv (v ln u)′ = uv v′ ln u + |
v |
u′ |
, |
(uv )′ = v uv−1 u′ + uv ln u v′ . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
' 1: |
# y = x x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 ′ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 y′ = x |
|
|
|
= |
1 |
x |
|
−1 + x |
|
ln x |
− |
1 |
|
= x |
|
|
1 |
|
− |
ln x |
.3 |
|||||||
x |
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 2: # y = (sin x)tg x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 y′ = tg x (sin x)tg x−1 cos x + (sin x)tg x ln (sin x) |
1 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln (sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
||||||||||
= (sin x) |
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# -%, -
. #:
1." # ( ):
ln y = ln f(x) = ϕ(x).
2.# , ln
% x: 1 y′ = ϕ′(x). y
128
3.$ y' = y·ϕ '(x) = f(x)·(ln f(x))'.
!
& |
|
|
|
y = (cos 2x)ln(cos 2x)4 .
2 1. & loga xy = loga x + loga y loga xk = k loga x |
||||||
% : |
|
|||||
|
|
ln y = 1 |
4 ln (cos 2x) ln (cos 2x) = 1 |
4 ln2 (cos 2x). |
||
2. % ( ) # % , |
||||||
%: y′ = 1 |
4 |
2 ln (cos 2x) |
2 (−1) sin 2x |
= − ln (cos 2x) tg2x. |
||
|
||||||
y |
|
|
cos 2x |
|
& : y′ = − y ln (cos 2x) tg2x.
3. ' , %: y′ = − (cos 2x)ln(cos 2 x)/ 4 ln (cos 2x) tg2x .3
3.16. " # !$ " % 3.7
/ ’ , # (
.
& |
|
1. y = (arctg x)(1 2) ln(arctg x) , x0=2. |
2. y = (sin x)ln(sin x), x0=1/4. |
3. y = (sin x)5ex , x0=2. 5. y = (ln x)3x , x0=2.
7. y = (ctg3x)2 ex , x0=1/4. 9. y = (tg x)4 ex , x0=1/4.
11. |
y = (xsin x)8ln( xsin x) , x0=2. |
13. |
y = (x3 + 4)tg x , x0=2. |
15. |
y = (x2 − 1)sh x , x0=2. |
17. |
y = (sin x)5x 2 , x0=2. |
19. |
y = 19x19 x19, x0=1. |
4. y = (arcsin x)ex , x0=1/4.
6. y = xarcsin x, x0=1/4.
8. y = xetg x , x0=2.
10. |
y = (cos5x)ex |
, x0=1/4. |
||
12. |
y = (x − 5)ch x , x0=6. |
|||
14. |
y = xsin x3 |
, x0=2. |
||
16. |
y = (x4 |
+ 5)ctg x , x0=2. |
||
18. |
y = (x2 |
+ 1)cos x , x0=2. |
||
20. |
y = x3x |
2x, x0=2. |
129
21. y = (sin x )e1x , x0=2.
23. y = xecos x , x0=2. 25. y = xesin x , x0=2.
27. y = xearctg x , x0=2.
29. y = x29x 29x, x0=1/4.
31. y = xex x9 , x0=1.
22. y = xectg x , x0=2.
24. y = x2x 5x, x0=2.
26. y = (tg x)ln( tg x)4 , x0=1/4.
( )th x
28. y = x8 + 1 , x0=2.
30. y = (cos2x)ln(cos2x)4 , x0=1/4.
3.17. (( ) * ! )# *. 5"' ' 6 ) * ! ' -
) % y=f(x) [ ; b].
' % 0 [ ; b] % :
lim |
∆y = f ′(x0 ). |
∆x→0 |
∆x |
∆y = f ′(x )+ α (∆x), α → 0 ∆x → 0 . ∆x 0
' +x, :
+y = f '(x0)·+x + α·+x.
, +y y=f(x), - %-, # , ( % -
( f '( 0)=0), - +x, – -
- , +x. !
, # f '(x0)·+x 0 -
dy.
, , - y=f(x) % f '(x) x, #
f '(x) +x -
: dy = f '(x)·+x.
& y= x. $ y' = (x)' = 1 , , dy=dx=+x. , , dx x %
+x. , : dy = f '(x)dx.
< ( , - f ′(x) = lim ∆y . ,
∆x→0 ∆x
( -
.
* ( , - % , %
. / .
0- x +y = f(x++x) – f(x)
+y = A·+x + 7, 7 – , - -
130