Высшая математика. Том 2
.pdf2.7.& ' # # #
# #
% # 4. + ! " f(x) x' a, " -
1/f(x) x'a.
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) 1: - |
lim |
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1 |
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. |
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|||
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||||||
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x→+∞ x2 + 1 |
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3 7 y=x2+1 x'+* . 5 |
||||||||||||
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1 |
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|||
" ! " y = |
|
|
– |
|||||||||
x2 + 1 |
||||||||||||
x'+*, lim |
1 |
|
= 0 . 4 |
|
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|||
x→+∞ x2 + 1 |
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1 |
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||
) 2: 3 lim |
e− x = |
lim |
|
= 0 .4 |
|
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|
|||||
|
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|
|
|||||||||
|
x→+∞ |
x→+∞ ex |
|
$ .
% # 5. + ! " f(x) – x'a ( x'*)
, y=1/f(x) " .
) 1: |
3 lim |
1 |
= ∞ .4 |
|
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|
x→0 |
x |
|
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) 2: 3 lim sin x = lim |
% sin x 1 & |
= [ " × - |
||||||||
] =0.4 |
x→∞ |
x |
x→∞ |
, |
|
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|
x − |
|
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lim% 5 − 6 |
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1 |
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|||
) 3: |
- |
+ |
& . |
|
||||||
x2 |
|
|||||||||
|
|
|
x→∞ , |
x |
|
|
− |
|
||
3 % " |
− 6 |
|
|
1 |
|
– |
x'+*, |
|||
|
x2 |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
− 6 |
+ |
1 |
, " " . 7 - |
||
x2 |
|||||
x |
|
6 |
1 |
xx2 " . %,
1 " :5 − +
lim% |
5 |
− 6 |
+ |
1 |
& |
= 5 .4 |
|
x2 |
|||||||
x→∞ , |
|
x |
|
− |
|
71
# , -
" :
A: 0.
A ∞ = ∞ , A0 = ∞ , ∞A = 0 , ∞ + A = ∞ , +∞ + ∞ = +∞ .
2.8. % #
% # 6. ,
" "
|
|
|
lim |
# |
|
|
+ |
g ( x) |
= |
lim f ( x) |
+ |
lim g ( x) |
||
|
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|
f ( x) |
|
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||||||||
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x→a |
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x→a |
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x→a |
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||
|
x2 |
+ 2x |
|
% |
|
2 & |
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|
2 |
|
|
|
|
3 lim |
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
= lim 1 + lim |
|
= 1 |
+ 0 = 1.4 |
||||
|
x2 |
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
x→∞ , |
|
x − |
x→∞ |
|
x→∞ x |
|
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% # 7. , " -
" :
|
lim |
# |
|
|
|
g ( x) |
= |
lim f ( x) |
|
lim g ( x) |
|||
|
f ( x) |
|
|
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|
||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
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|
x→a |
|
x→a |
|
1. ) : |
|||||||||||||
|
|
|
lim c |
f ( x) = c lim f |
( x) |
||||||||
|
|
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
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||||
2. : |
|||||||||||||
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lim |
# |
|
|
n = # |
|
n |
||||
|
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|||||||
|
|
|
f ( x) |
|
! lim f ( x) |
||||||||
|
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|
x→a |
|
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|
x→a |
|
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||
3lim5x3 |
= 5 lim x3 = 5 8 = 40 .4 |
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||||||||
x→2 |
x→2 |
|
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% # 8. |
" |
||||||||||||
" , ! |
|||||||||||||
|
lim |
f ( x) |
= |
lim f ( x) |
, ! lim g ( x) ≠ 0 . |
||||||||
|
|
|
x→a |
|
|
||||||||
|
|
|
lim g ( x) |
||||||||||
|
x→a g ( x) |
|
|
|
x→a |
|
|||||||
|
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|
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|
x→a |
|
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|
) 1: 3lim 3x + 5 x→1 4x − 2
lim(3x + 5)
= x→1
lim(4x − 2)
x→1
3 |
lim x + 5 |
|
3 1 + 5 |
|
8 |
= 4 .4 |
|
= |
|
x→1 |
= |
= |
|||
4 |
lim x − 2 |
4 1 − 2 |
2 |
||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
72
) 2: 3 lim
x→2
x − 2
2 + x
= |
lim |
( x − 2) |
= |
0 |
= 0 .4 |
|
x→2 |
|
2 |
||||
lim |
2 + x |
|||||
|
|
|
||||
|
x→2 |
|
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|
) 3: |
3 2 |
lim |
|
x |
|
|
. ) x'1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→1 x − 1 |
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|||||
1, 0. 5, lim( x − 1) = 0 , ( –1) - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
|
|
x→1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
" x'1, lim |
|
|
|
= ∞ .4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
− |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x→1 |
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% # 9. 6 " |
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f(x), u(x) v(x), ! - |
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u(x),f(x), v(x). + ! " u(x) |
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||||||
v(x) |
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||||
x'a ( x'*), " f(x) |
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||||||
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|||||||
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|||||||
|
, |
|
! |
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|||
lim u ( x) = lim v( x) = b , |
lim f ( x) = b |
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|||||
x→a |
x→a |
|
x→a |
|
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|
( . . 2.10).
2. 2.10. ) 4
% # 10. + ! x'a ( x'*) " y=f(x) -
-0 b,
: b-0.
% # 11. + ! " f(x) g(x) x
f(x) - g(x) : |
|
|||||||||
lim f ( x) = b , |
lim g |
( x) = c , b-c. |
|
|||||||
x→a |
x→a |
|
|
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|
2.9. () ), |
||||||||
|
|
|
|
! # * ) |
|
|||||
6 : |
|
|
||||||||
lim |
Pk (n) |
, |
P |
(n) = a nk + a |
|
nk −1 + + a n + a , |
||||
|
|
|||||||||
n→∞ Qm (n) |
|
k |
|
k |
k −1 |
1 |
0 |
|||
|
|
(n) = b nm + b nm−1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
Q |
+ + b n + b . |
|||||
# Pk (n) |
|
m |
m |
|
m−1 |
1 |
0 |
|||
– |
|
k ( |
||||||||
nk ) |
Q |
(n) – m ( - |
||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm ). |
|
|
|
|
Pk (n) |
||||
) |
|
|
73
nk . % Pk (n) = nk p(n) , p(n) = ak + ak −1 / n + + a1 / nk −1 + a0 / nk . |
||||||||||||||||
) |
|
|
|
|
Qm (n) - |
|||||||||||
nm . % Qm (n) = nm q(n) , |
q(n) = bm + bm−1 / n + + b1 / nm−1 + b0 / nm . |
|||||||||||||||
|
|
|
P |
(n) |
|
|
|
|
nk p(n) |
|
|
|
||||
# lim |
k |
|
= |
|
lim |
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n→∞ Qm (n) |
|
n→∞ nm q(n) |
|
|
|
||||||||||
% , !: |
|
|
|
|
Pk (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
! k > m , |
lim |
|
|
|
|
= ∞ ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n→∞ Qm (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
! |
k < m , |
lim |
Pk (n) |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n→∞ Qm (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
! |
k = m , |
|||||||||||||||
|
|
lim |
Pk (n) |
|
= lim |
|
p(n) |
= |
ak |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n→∞ Qm (n) |
n→∞ q(n) |
|
bm |
) 1: - :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(2n +1)2 − (n +1)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + n +1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 lim |
(2n + 1)2 − (n + 1)2 |
= |
lim |
4n2 + 4n + 1 − n2 − 2n − 1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
n2 + n + 1 |
|
|
|
n |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
n2 + n + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
3n2 + 2n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n → ∞ n2 + n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 % |
|
|
1 & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
% |
k = m , : |
lim |
|
|
|
|
, |
|
|
n − |
|
|
= |
= 3.4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 % |
|
|
1 |
|
1 |
& |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
) 2: - : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
n 6 n + 3 n10 +1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ (n + 4 n ) 3 n3 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
1 |
|
|
|
|
10 % |
|
1 |
|
& |
|
|
|||
|
|
|
n |
6 n + 3 n10 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 + 3 n |
1+ |
n10 |
|
|
|
|||||||||||||
|
3 lim |
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
− |
|
= |
||||||||||||
|
(n |
|
4 |
n ) |
3 3 |
|
|
|
% |
|
|
|
1 |
|
|
& |
|
3 % |
|
|
|
& |
||||||||||
|
n → ∞ |
+ |
−1 |
|
n |
→ ∞ |
|
+ n |
4 |
|
− |
1 |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
3 n 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
|
n |
− |
74
|
|
|
|
|
7 |
|
|
10 |
3 s3 |
1+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
% |
1 |
|
|
|
+ 3 1+ 1 |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
6 |
+ n |
n10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
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= lim |
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, |
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6 n13 |
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n |
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− |
= |
|
|
|
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|||||||||||||
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|
% |
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|
& |
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& |
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|
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|||||||||||
n → ∞ |
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2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
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n |
→ ∞ |
n |
2 |
|
% |
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1 |
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1 |
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|||||||||
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n |
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3 |
|
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|
3 |
1− |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
+ |
|
|
|
3 |
|
3 1− |
3 |
|
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||||||||||||||
|
|
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1+ |
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4 |
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|
, |
4 |
|
− |
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
n |
− |
|
|
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|
n |
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n |
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n |
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10 |
3 |
(0 |
+1) |
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|
|
|
|
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|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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4 |
3 = ∞ .4 |
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||
% |
|
k > m , |
lim |
|
|
|
|
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|
|
|
= lim |
n |
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
n |
2 ( |
+ |
0 |
) |
3 |
1− 0 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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n |
→ ∞ |
|
|
n |
→ ∞ |
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. ! " 2.2 |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
, ’ |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
% . |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
lim |
|
( |
3 − n)2 + (3 + n)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
lim |
(3 − n)4 − (2 − n)4 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
3 − n)2 − (3 + n)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − n)4 |
− (1 + n)4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
lim |
|
( |
3 − n)4 − (2 − n)4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
lim |
(1 − n)4 − (1 + n)4 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(1 − n)3 − (1 + n)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + n)3 |
− (1 − n)3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
lim |
|
(6 − n)2 − (6 + n)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
lim |
(n + 1)3 − (n + 1)2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
(6 + n)2 − (1 − n)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
(n − 1)3 − (n + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. |
lim |
|
(1 + 2n)3 − 8n3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
lim |
|
|
|
|
(3 − 4n)2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(1 + 2n)2 + 4n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − 3)3 |
− (n + 3)3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
|
|
|
|
|
(3 − n)3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
lim |
|
(n+1)2 + (n−1)2 −(n+ 2)3 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
(n + 1)2 − (n + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ |
|
|
|
(4− n)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11. |
lim |
|
|
2 |
(n + 1)3 − (n − 2)3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
lim |
|
|
(n + 1)3 + (n + 2)3 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
→ ∞ |
|
|
|
n2 + 2n − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ (n + 4)3 + (n + 5)3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
13. |
lim |
|
|
(n + 3)3 + (n + 4)3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
lim |
|
|
(n + 1)4 − (n − 1)4 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
→ ∞ |
|
(n + 3)4 − (n + 4)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ (n + 1)3 + (n − 1)3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
lim |
|
|
|
|
8n3 − 2n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
lim |
|
|
|
(n + 6)3 − (n + 1)3 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(n + 1)4 − (n − 1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (n + |
4)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ (2n + 3)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
lim |
|
|
( |
2n − 3)3 − (n + 5)3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
lim |
|
|
(n + 10)2 + (3n + 1)2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
→ ∞ |
|
(3n − 1)3 + (2n + 3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ (n + 6)3 − (n + 1)3 |
|
|
|
75
19. |
lim |
(2n + 1)3 + (3n + 2)3 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
n → ∞ |
(2n + 3)3 − (n − 7)3 |
||||||||
21. |
lim |
|
(2n + 1)3 − (2n + 3)3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
(2n + 1)2 + (2n + 3)2 |
||||||||
23. |
lim |
(n + 2)4 − (n − 2)4 |
. |
|
|
|||||
(n + 5)2 + (n − 5)2 |
|
|
||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|||||
25. |
lim |
(n + 1)3 − (n − 1)3 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
(n + 1)2 − (n − 1)2 |
|
|
|
|
||||
27. |
lim |
(n + 2)3 + (n − 2)3 |
. |
|||||||
|
|
|||||||||
|
n → ∞ |
n4 + 2n2 − 1 |
|
|
|
|
||||
29. |
lim |
|
(n + 1)3 + (n − 1)3 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
n3 + 1 |
|
|
|
|
||||
31. |
lim |
(2n + 1)2 − (n + 1)2 |
|
. |
|
|
||||
n2 + n + 1 |
|
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
20. |
lim |
(n + 7)3 − (n + 2)3 |
. |
||||||
(3n + 2)2 + (4n + 1)2 |
|||||||||
|
n → ∞ |
|
|||||||
22. |
lim |
n3 − (n − 1)3 |
. |
|
|
|
|
|
|
(n + 1)4 − n4 |
|
|
|
|
|
||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
||
24. |
lim |
(n + 1)4 − (n − 1)4 |
. |
|
|
||||
(n + 1)3 + (n − 1)3 |
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
||||
26. |
lim |
(n + 1)3 − (n − 1)3 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
n → ∞ |
(n + 1)2 + (n − 1)2 |
|
|
|
|
|||
28. |
lim |
(n + 1)3 + (n − 1)3 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
n3 − 3n |
|
|
|
|
|
|
|
30. |
lim |
(n + 2)2 − (n − 2)2 |
. |
|
|||||
(n + 3)2 |
|
|
|
||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
2.11. ! " 2.3
, ’ ,
.
% .
1. |
lim |
n 3 5n2 + |
4 9n8 + 1 |
. |
|||||
(n + n ) 7 − n + n2 |
|||||||||
|
n → ∞ |
|
|
||||||
3. |
lim |
n3 + 1 − |
n − 1 |
. |
|
|
|
||
3 n3 + 1 − n − 1 |
|
|
|
||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
||||
5. |
lim |
3n − 1 − 3 |
125n3 + n |
. |
|||||
5 n |
− n |
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
||||
7. |
lim |
n + 2 − |
n2 + 2 |
. |
|
|
|||
4 4n4 + 1 − |
3 n4 − 1 |
|
|
||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|||||
9. |
lim |
6n3 − n5 + 1 |
. |
|
|
|
|
||
4n6 + 3 − n |
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
|
n − 1 − |
n2 + 1 |
. |
|
|
||
3 |
|
3n3 + 3 + 4 n5 + 1 |
|
|
||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|||||
4. |
|
3 n2 − 1 + 7n3 |
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n → ∞ |
4 n12 + n + 1 − n |
|
|
|
|
||||
6. |
lim |
n |
5 n − 3 27n6 + n2 |
. |
|
|||||
|
(n + 4 n ) |
9 + n2 |
|
|
||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|||||
8. |
lim |
|
|
n4 + 2 + |
n − 2 |
. |
|
|
|
|
4 n4 + 2 + n − 2 |
|
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|||||
10. |
lim |
|
|
5n + 2 − 3 8n3 + 5 |
. |
|||||
|
|
4 n + 7 − n |
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
76
11. |
lim |
n 4 3n + 1 + 81n4 − n2 + 1 |
. |
|||||||||||
(n + 3 n ) 5 − n + n2 |
||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
||||||||||||
13. |
lim |
(n − 3 n3 − 5 )n |
n. |
|
|
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
lim |
4n + 1 − 3 27n3 + 4 |
. |
|
|
|||||||||
4 n − 3 n5 + n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17. |
lim |
3 n3 − 7 + |
3 n2 + 4 |
. |
|
|
|
|||||||
4 n5 + 5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
lim |
4n2 − 4 n3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
3 n6 + n3 + 1 − 5n |
|
|
|
|
||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
lim |
n 4 11n + |
25n4 − 81 |
. |
|
|||||||||
(n − 7 n ) |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ |
− n + 1 |
|
|
||||||||||
23. |
lim |
n7 + 5 − |
n − 5 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
7 n7 + 5 + n − 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
lim |
n + 2 − 3 n3 + 2 |
. |
|
|
|
|
|||||||
7 n + 2 − 5 n5 + 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27. |
lim |
n + 6 − |
n2 − 5 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
3 n3 + 3 + 4 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
29. |
lim |
n2 − n3 + 1 |
. |
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||
3 n6 + 2 − n |
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|||||
|
n → ∞ |
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|||
31. |
lim |
n 6 n + 3 n10 + 1 |
. |
|
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|||||||
|
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|
|
||||||||||
|
n → ∞ |
(n + 4 n ) 3 n3 − 1 |
|
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12. |
n |
lim |
n( |
n(n − 2) − |
|
n2 − 3). |
||||||
|
→ ∞ |
|
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14. |
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3 n − 9n2 |
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|||
|
lim |
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|
. |
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|
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n |
3n − 4 9n8 |
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|||||
|
→ ∞ |
+ 1 |
|
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|
|
|
|
||||
16. |
|
lim |
n 3 7n − 4 81n8 − 1 |
. |
|
|||||||
n |
(n + 4 n ) |
n2 − 5 |
|
|||||||||
|
→ ∞ |
|
|
|||||||||
18. |
|
lim |
n6 + 4 + |
n − 4 |
. |
|
|
|||||
n |
5 n6 + 6 − n − 6 |
|
|
|||||||||
|
→ ∞ |
|
|
|
||||||||
20. |
n |
lim |
n3 + 8( |
n3 + 2 − |
|
n3 −1). |
||||||
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
22. |
|
lim |
3 n2 − |
n2 + 5 |
. |
|
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|||
n |
5 n7 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→ ∞ |
n + 1 |
|
|
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|
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|||||
24. |
|
lim |
3 n2 + 2 − 5n2 |
. |
|
|
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|
||||
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|||
|
n |
→ ∞ n − n4 |
− n + 1 |
|
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|
||||
26. |
|
lim |
n |
71n − 3 64n6 + 9 |
. |
|||||||
n |
(n − 3 n ) |
11 + n2 |
|
|||||||||
|
→ ∞ |
|
|
|||||||||
28. |
nlim→ ∞ ( |
n (n + 5) − n). |
|
|
|
|||||||
30. |
|
lim |
n + 1 − |
3 n3 + 1 |
. |
|
|
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||||
n |
4 n + 1 − 5 n5 + 1 |
|
|
|
||||||||
|
→ ∞ |
|
|
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|
2.12. () ),
! # * #
6 lim |
Pk (n) |
, |
|
||
n→∞ Qm (n) |
|
|
Pk (n) Qm (n) – " . |
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77
- " " : |
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an = a1 + d (n − 1), |
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Sn = |
2a1 + d (n − 1) |
n , |
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Sn = |
a1 + an |
n , |
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2 |
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2 |
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a1 |
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an – n- " ; |
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Sn – |
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n " ; d – . |
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- Pk (n) |
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Qm (n) |
, |
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’ , |
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. 2.9. |
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% |
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% 2 + 4 + ... + 2n |
− n |
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|
n + 3 |
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. |
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n → ∞ |
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− |
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3 - " |
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Sn = |
a1 + an |
n = |
2 + 2n n = n + n2 |
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2 |
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2 |
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|
n + n2 − n2 − 3n |
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||||||||||||||||||||
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% 2 + 4 + ... + 2n |
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|
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% n + n2 |
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lim |
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− n |
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= lim |
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− n = |
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= |
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n + 3 |
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n → ∞ |
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n + 3 |
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n |
|
→ ∞ |
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n + 3 |
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|||||||||||||||||||||||||
n → ∞ , |
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− |
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− |
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= lim |
|
−2n |
= |
lim |
|
−2 |
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= −2 .4 |
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||||||||||
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1 + 3 |
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|||||||||||||
n → ∞ n + 3 |
n → ∞ |
n |
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2.13. () ), |
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c an + c bn |
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6 |
lim |
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1 |
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2 |
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, |
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a b |
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n → ∞ c an − c bn |
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– " , c1 c4 – ". |
3 |
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4 |
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c1 + c2 |
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lim |
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− c4b |
n |
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n |
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b |
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n |
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n → ∞ |
|
n → ∞ |
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n → ∞ |
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n |
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, |
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− |
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1 |
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1 |
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n → ∞ c an |
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c |
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3 |
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4 |
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3 |
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|||||
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2n + 7n |
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2n − 7n−1 |
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n → ∞ |
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78
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7n |
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7 |
)n |
+ 1 |
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0 + 1 |
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0 + 1 |
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3 lim |
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= lim |
= lim |
= −7 .4 |
||
|
#(2 )n − 1 |
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|||||||||
n → ∞ 7n |
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n → ∞ 0 − 17 |
n → ∞ 0 − 17 |
||||||||||
|
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! |
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7 |
|
|
7 |
|
|
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|
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||
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|
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|
|
2.14.() ),
! #, *
6 |
lim |
Pk (n) |
, |
Pk (n) |
|
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|||||
|
|
n→∞ Qm (n) |
|
|
|
Qm (n) – ". - |
" |
||||
n! = n (n − 1)! Pk (n) |
Qm (n) , |
||||
’ |
|
. 2.9. |
|
|
lim
n→∞
% lim |
|
n!+ (n + 2)! |
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
− 1)!+ (n |
+ 2)! |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ (n |
|
|
||||||||
3 - " : (n − 1)! = |
n! |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n!+ n! (n + 1) (n + 2) |
= |
lim |
n2 + 3n + 3 |
= lim |
|
1+ 3n + 3n2 |
|
|
=1.4 |
||||||
n!/ n + n! (n + 1) (n + 2) |
|
|
|
1 |
|
+1 |
+ 3 |
+ 2 |
|
|
|||||
|
n→∞1/ n + n2 + 3n + 2 |
n→∞ |
|
n2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.15. ! " 2.4 |
|
|
||||||||||||
|
|
, ’ |
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
% . |
(2n + 1)!+ ( |
2n + 2)! |
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
% 1 |
+ |
2 |
+ |
3 |
+ ... + |
n − 1& |
|
|
|
|
2. |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
lim |
|
|
(2n + |
3)! |
. |
||||||||
|
n2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n → ∞ , n2 |
|
|
|
|
n2 − |
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|||||||||
|
|
#1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) |
|
2n + 1 |
|
|
|
2 |
n+1 |
n+1 |
|
|
||||||||||||
3. |
lim |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
. |
4. |
lim |
|
+ 3 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n → ∞ |
|
2n + 3n |
|
|
5. |
lim |
1 + 2 + 3 + ... + n . |
|
6. |
lim |
1+ 3 + 5 + ... + (2n −1) |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
n → ∞ |
|
9n |
4 |
+ 1 |
|
|
n → ∞ |
|
1+ 2 + 3 + .. + n |
|
|||
7. |
lim |
#1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) |
− n . |
8. |
lim |
1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) |
. |
|||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n + 3 |
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
n → ∞ |
|
5n |
+ n + 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
9. |
lim |
(n + 4)!− (n + 2)! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n → ∞ |
|
|
|
|
|
(n + 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
lim |
|
|
|
|
2n − 5n+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2n+1 |
+ 5n+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. |
lim |
1−3+5−7+9−11+...+(4n−3) −( |
4n−1) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 +1+ n2 + n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15. |
lim |
|
1 − 2 + 3 − 4 + ... + (2n − 1) − 2n |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9n4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
|
|
|
# |
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n → ∞ |
|
1 + 2 + 3 + ...n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
19. |
lim |
|
|
2 − 5 + 4 − 7 + ... + 2n − (2n + 3) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
lim |
|
1 + 2 + ... + n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
n − n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
23. |
|
|
|
% |
|
3 |
+ |
5 |
+ |
9 |
|
+ ... + |
1 + 2n |
& |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
4 |
|
16 |
|
64 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25. |
lim |
#1 + 5 + 9 + 13 + ... + (4n − 3) |
− |
|
4n + 1 . |
|||||||||||||||||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
27. |
lim |
1 − 2 + 3 − 4 + ... − 2n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
3 n3 + 2n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
29. |
lim |
|
|
3 + 6 + 9 + ... + 3n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31. |
lim |
% |
2 + 4 + ... + 2n − n &. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
, |
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
lim |
|
(3n − 1)!+ (3n + 1)! |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
(3n)!(n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 + 1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
+ ... + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
32 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12. |
lim |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n → ∞ 1 + |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
+ ... + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
|
52 |
|
|
|
5n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
14. |
lim |
|
|
|
3n − 2n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3n−1 |
+ |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16. |
lim |
|
|
|
3 n3 + 5 − |
3n4 + 2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n → ∞ 1+ 3 + 5 + ... + (2n −1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
18. |
% |
5 |
|
+ |
13 |
+ ... + |
|
3n |
|
+ 2n & |
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n → ∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
− |
|||||||||||||
20. |
lim |
|
|
(2n + 1)!+ (2n + 2)! |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
(2n + 3)!− (2n + 2)! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
22. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + |
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
2 + |
7 +12 + |
.. + (5n − 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
lim |
|
|
|
2 + 4 + 6 + ... + 2n |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
1 + |
3 + 5 + .. + (2n − 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
lim |
|
|
|
2n + 7n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2n |
− |
7n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
28. |
lim |
|
|
|
|
|
n!+ (n + 2)! |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(n |
− 1)!+ (n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
30. |
% |
|
|
7 |
|
+ |
|
|
29 |
|
+...+ |
|
2n |
|
+5n |
& |
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n → ∞,10 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
− |
|
2.16. ! + ) –
- " -
’ |
9 ± 9 - |
, , : |
|
(a±b)2=a2±2ab+b2; |
a3±b3=(a±b)(a2 ab+b2); |
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3; |
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b); |
a2–b2=(a+b)(a–b); |
(a–b)3=a3–b3–3ab(a–b). |
80