Высшая математика. Том 2
.pdf' 2: $ , f ′(0)
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− cos |
( |
xsin 1 |
x) |
, x ≠ 0; |
1 |
|||||
f (x) = |
|
|
|
0, x = 0.
2 |
$ , %: |
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(∆x sin 1∆x) |
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||||||||||||||||||||||||
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f ′ |
( |
0 |
) |
= lim |
|
f (0 + ∆x)− f (0) |
= lim |
1 − cos |
. |
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||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
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( |
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∆x→0 |
) |
|
x |
∆x |
|
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|
∆x→0 |
|
∆x |
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|||||||||
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|
x→0 |
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2 |
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|||||
lim 1 − cos x = |
2 |
, : |
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1 |
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(∆x2 sin2 |
1 |
∆x |
) |
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sin |
1 |
∆x |
|
sin |
|
1 |
∆x 1 |
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|||||||||
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lim |
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|
= 1 |
lim |
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∆x |
= 1 |
2 |
lim 1 |
∆x |
= ∞ .3 |
||||||||||
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|
∆x |
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|
1 |
|
|
1 |
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|||||||||||||||||||
|
2 ∆x→0 |
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2 ∆x→0 |
∆x |
∆x |
|
∆x→0 |
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||||||||||||||||||
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3.2. " # !$ " % 3.1
/ ’ , # (
.
$ , f ′(0).
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3 |
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2 |
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2 |
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1. |
tg x |
|
+ x |
|
sin |
|
, |
x ≠ 0; |
|||
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|||||||||
f (x) = |
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|
x |
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||
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|
x = 0. |
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||
|
0, |
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|||
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1 |
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|
3. |
arctg xcos |
|
, |
x ≠ 0; |
|||||||
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|||||||||||
f (x) = |
|
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|
|
5x |
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|||
|
|
|
x = 0. |
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|
||
|
0, |
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|
3 |
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|||||
5. |
sin xsin |
|
|
, |
x ≠ 0; |
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|||||||||||
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|||||||||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
x |
|
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|
|
|
|||||
|
|
|
x = 0. |
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||
|
0, |
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|||
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|
x2 sin |
5 |
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||
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|
|||||
|
|
|
e |
|
|
x |
|
−1 |
|
+ x, |
|
x ≠ 0; |
|||||
7. |
sin |
|
|
|
|
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||||||||||
f (x) = |
|
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|||
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|
|
x = 0. |
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|
||||
|
0, |
|
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|
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|
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|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|||
9. |
arctg |
|
x − x |
|
|
sin |
3x |
, |
x ≠ 0; |
||||||||
f (x) = |
|
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||||
|
|
|
|
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|
|
x = 0. |
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|
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
arcsin x2 cos |
1 |
|
+ |
2 |
x, |
x ≠ 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||
2. |
|
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|
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|
|
|
||||||
f (x)= |
|
|
|
|
|
9x 3 |
|
|
|||||||||||||
|
0, |
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
4. |
ln |
1 |
− sin x |
sin |
|
|
|
, |
x |
≠ 0; |
|||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||
f (x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
6. |
1+ln 1+ x2 sin |
|
−1, |
x ≠ 0; |
|||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||
f (x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 cos |
4 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
x |
|
+ |
|
, |
|
|
x ≠ 0; |
|
||||||||||||
3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
10. |
sin x cos |
|
, |
x ≠ 0; |
||
x |
||||||
f (x) = |
|
|
|
|||
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
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