VMLA-Matzokin-2012 / билеты / 2010-11_ВМЛА+ЧА_билеты
.pdf
БИЛЕТ № 21
1.Метод неполной релаксации для решения систем линейных уравнений с симметричной положительно-определенной матрицей.
2.Оценить точность формулы прямоугольников
b f (x) dx (b a) f ( |
a |
b |
) |
|
|
||
a |
2 |
|
|
3.Сходиться ли метод Якоби для решения системы Ax=b (сформулируйте метод и условия его сходимости),
1.5 1 0 A 1 1.5 1 0 1 1.5
БИЛЕТ № 22
1.Оценка точности приближения собственных значений матрицы методом Якоби (вращений).
2.Оценить точность формулы трапеций
b f (x)dx |
(b a) |
f (a) f (b) |
. |
|
|||
a |
2 |
|
|
3. Решить систему методом Гаусса (прогонкой)
2 |
1 |
0 |
x1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
x2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
x3 |
1 |
БИЛЕТ № 23
1.Теорема о существовании LU - разложения матрицы.
2.Оценить точность квадратуры Гаусса
b f (x) dx |
f (x0 ) f (x1) |
(b a) , где |
|
||
a |
2 |
|
x |
|
, x |
a b |
|
|
3 |
(b a) . |
0 |
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
6 |
|
|||
|
|
|
|
||||
3. Определить количество шагов метода деления пополам (бисекций) для вычисления max (A) с точностью ,
2 1 0 A 1 2 1 0 1 2
БИЛЕТ № 24
1.Решение системы линейных уравнений методом вращений (QR - разложение матрицы).
2.Оценить точность формулы Симпсона
b f (x) dx |
f (a) 4 f ([a b]/ 2) f (b) |
(b a) . |
|
||
a |
6 |
|
3.Найти оптимальный параметр метода простой итерации (Ричардсона)
3 1 0
xk 1 xk |
(Axk b) , A 1 3 1 |
0 1 3
БИЛЕТ № 25
1. Теорема о достаточном условии сходимости
итерационного метода B(xk 1 xk ) |
(Axk b) с |
симметричными положительно-определенными матрицами A и B : сформулируйте теорему об убывании функционала ошибки, определение положительно-определенных матриц, какую норму порождает матрица A .
2.Оцените точность составной квадратурной формулы прямоугольников.
3.Сходится ли итерационный процесс (сформулируйте и примените теорему о необходимом и достаточном условии сходимости стационарного итерационного метода)
0 0.5 0
xk 1 0.5 0 0.5 xk f ? 0 0.5 0
БИЛЕТ № 26
1. Метод Якоби для решения системы уравнений, достаточное условие сходимости (лемма Гершгорина).
2. Оцените точность составной квадратурной формулы Симпсона.
3. Определить количество положительных собственных чисел матрицы (сформулируйте и примените теорему о ЧПЗ якобиевой матрицы)
1 1 0 A 1 0 1 0 1 1
БИЛЕТ № 27
1.Метод наискорейшего спуска, сходимость для систем с симметричными, положительно определенными матрицами.
2. Оцените для xn 1 |
(xn ) ускорение Эйткена |
||||
xn 2 |
xn 2 |
(xn |
2 |
xn 1)2 |
|
|
|
|
. |
||
xn |
2xn |
|
|||
|
|
1 xn 2 |
|||
3. Вычислить собственный вектор для собственного значения
0 якобиевой матрицы (сформулируйте определение и свойства якобиевой матрицы)
1 1 0 A 1 2 1 0 1 1
БИЛЕТ № 28
1. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами (схема построения метода без доказательств).
2. Сжимающее отображение, теорема о сходимости метода последовательных приближений.
3. Оценить границы спектра (множества собственных значений) матрицы (сформулируйте определение и свойства якобиевой матрицы, лемму Гершгорина)
1 0.5 0 A 2 0 2 0 0.5 1
БИЛЕТ № 29
1.Релаксация, сходимость метода неполной релаксации для систем с симметричными, положительно-определенными матрицами.
2.Метод Ньютона, анализ его сходимости как метода простой
итерации для уравнения x x f (x) / f (x) .
3.Определить количество отрицательных собственных чисел матрицы (сформулируйте и примените теорему о ЧПЗ якобиевой матрицы)
3 1 0 A 1 0 1 0 1 2
БИЛЕТ № 30
1.Метод минимальных невязок, сходимость для систем с положительно определенными матрицами.
2.Доказать, что, если сходимость простой итерации для
x(x) линейная, то для эквивалентного уравнения
xx x (x) она будет квадратичной.
1(x)
3.Привести к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия матрицу (изложите схему метода деления пополам для вычисления собственных значений самосопряженной матрицы, есть ли в ней аналогичная задача
икак она решается?)
3 3 4 A 3 2 2 4 2 4