VMLA-Matzokin-2012 / билеты / 2010-11_ВМЛА+ЧА_билеты

БИЛЕТ № 1

а) какого типа этот итерационный процесс; б) условие его сходимости;

в) примените лемму Гершгорина для проверки условия сходимости.

БИЛЕТ № 2

1. Число обусловленности сомножителя в методе квадратного

корня для решения системы Ax b с A A 0 : а) сформулировать метод квадратного корня (на каком

разложении матрицы A он основан);

б) оценить число обусловленности сомножителя в методе; в) что из этой оценки следует?

2.Оценить объем арифметических операций вычисления коэффициентов интерполяционного полинома в форме Ньютона:

а) сформулировать решение задачи интерполяции функции

f (x) по её значениям в заданных n 1 узле полиномом Pn (x) в форме Ньютона;

б) оценить объем арифметических операций вычисления значения полинома Pn (x) в форме Ньютона.

3. Определить количество положительных собственных чисел матрицы (вспомните определение и свойства якобиевой матрицы)

1 1 0 A 1 0 1 0 1 1

БИЛЕТ № 3

1. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса): условия применимости, схема единственного деления.

2. Определение, алгебраическая степень точности интерполяционной квадратурной формулы, простейшие квадратуры.

3. Вычислить собственный вектор для собственного значения

0 якобиевой (её определение и свойства) матрицы

1 1 0 A 1 2 1 0 1 1

БИЛЕТ № 4

1. Метод вращений (QR - разложение) для решения системы

Ax b .

2. Определение кубического сплайна, формула вычисления его значения в произвольной точке, вывод системы уравнений для значений его вторых производных в узлах сетки.

3. Оценить границы спектра (множества собственных значений) матрицы (вспомните определение и свойства якобиевой матрицы, лемму Гершгорина)

1 0.5 0 A 2 0 2 0 0.5 1

БИЛЕТ № 5

1.Метод прогонки для систем с трехдиагональными матрицами: условие применимости и вывод формул.

2.Как определить, является ли квадратурная формула интерполяционной? (определение квадратурной формулы, определение интерполяционной квадратурной формулы и ее свойства).

3.Определить количество отрицательных собственных чисел матрицы (сформулируйте и примените теорему о числе перемен знака метода деления пополам)

0 1 0 A 1 1 1 0 1 2

БИЛЕТ № 6

1.Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости стационарного итерационного метода.

2.Как практически определить алгебраическую степень точность квадратурной формулы? (определение квадратурной формулы, определение ее алгебраической степени точности, квадратура Симпсона и ее алгебраическая степень точности).

3.Привести к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия матрицу (изложите схему метода деления пополам для вычисления собственных значений самосопряженной матрицы, есть ли в ней аналогичная задача и как она решается?)

3 3 4 A 3 2 2 4 2 4

БИЛЕТ № 7

БИЛЕТ № 8

1.Достаточные условия сходимости метода Якоби для решения системы линейных уравнений.

2.Построить квадратуру Гаусса на одном узле для

b

приближенного вычисления интеграла a f (x) dx :

определение квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности, ее свойства.

3. Построить LDU – разложение матрицы

3 1 0 A 1 3 1 0 1 3

БИЛЕТ № 9

1. Теорема о достаточном условии сходимости

симметричными положительно-определенными матрицами A и B : сформулируйте теорему об убывании функционала ошибки, определение положительно-определенных матриц, какую норму порождает матрица A .

2.Определите и оцените точность составной квадратурной формулы трапеций.

3.Решить методом прогонки систему (сформулируйте условие применимости метода прогонки и выпишите его формулы)

БИЛЕТ № 10

1.Сходимость метода Зейделя (полной релаксации) для систем с симметричными, положительно определенными матрицами.

2. Для каких матриц отображение (x) x (Ax b) из Rn в

Rn является сжимающим? Дайте определение сжимающего отображения и сформулируйте теорему о его неподвижной точке.

3. Построить LL* - разложение матрицы (сформулируйте метод квадратного корня для решения системы Ax b , условие его применимости и основное свойство)

1 1 1 A 1 5 3 1 3 11

БИЛЕТ № 11

1. Метод исключения неизвестных для решения системы Ax b с выбором главного элемента по столбцу.

2. Построить квадратуру Гаусса на трех узлах для

b

приближенного вычисления интеграла a f (x) dx :

определение квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности, ее свойства.

3. Найти оптимальный параметр итерационного метода

3 1 0

0 1 3

БИЛЕТ № 12

1. Метод наискорейшего спуска для решения системы Ax b с

A A 0 : сформулируйте теорему об убывании функционала ошибки, определение положительно-

определенных матриц, какую норму порождает матрица A , постройте формулы метода.

2. Постройте метод простой итерации для приближения

БИЛЕТ № 13

1. Метод минимальных невязок для решения системы Ax b с

A 0 : сформулируйте теорему об убывании функционала ошибки, определение положительно-определенных матриц (как установить положительную определенность несимметричной матрицы?), постройте формулы метода.

2. Постройте метод Ньютона для приближения положительного

корня уравнения x2 a 1: сформулируйте метод Ньютона и нужную для решения задачи теорему.

3.Решить методом Гаусса с выбором главного элемента систему

БИЛЕТ № 14

1. Изложите схему построения метод Ричардсона с чебышевским набором параметров решения системы Ax b с A A 0 .

2.Сформулируйте и обоснуйте сходимость метода Ньютона для поиска корня гладкой и выпуклой функции.

3.Сходиться ли метод минимальных невязок для решения системы Ax=b (сформулируйте метод и условие его сходимости)

3 1 0 A 1 2 1 1 1 2

БИЛЕТ № 15

1. Изложите схему построения метода сопряженных градиентов решения системы Ax b с A A 0 .

2.Постройте модификацию метода Ньютона с квадратичной скоростью сходимости для приближения корня полинома

(x 1)2 .

3.Привести ортогональным преобразованием подобия к трехдиагональному виду матрицу (изложите схему метода деления пополам для вычисления собственных значений самосопряженной матрицы, есть ли в ней аналогичная задача и как она решается?)

3 3 4 A 3 2 2 4 2 4

БИЛЕТ № 16

1.Определение и критерии положительной определенности симметричной матрицы:

а) доказать неравенство min (A) E A max (A) E , б) сформулировать и доказать критерий Сильвестра.

2. Оценить погрешность приближения первой производной

3.Применим ли метод сопряженных градиентов для решения системы (сформулируйте условие его сходимости)

БИЛЕТ № 17

1.Изложите схему метода Якоби (вращений) для приближенного вычисления собственных значений самосопряженной матрицы.

2.Оценить погрешность приближения первой производной

БИЛЕТ № 18

1.Сформулируйте и докажите сходимость степенного метода приближенного вычисления максимального собственного значения самосопряженной положительно-определенной матрицы.

2.Оценить погрешность приближения первой производной

3.Сходиться ли метод наискорейшего спуска для решения системы Ax=b (сформулируйте метод и условие его сходимости),

3 2 1 A 2 2 2 1 2 4

БИЛЕТ № 19

1.Сформулируйте и докажите сходимость степенного метода приближенного вычисления минимального собственного значения самосопряженной положительно-определенной матрицы.

2.Оценить точность формулы прямоугольников

ab f (x) dx (b a) f (a) .

3.Определить количество положительных собственных чисел матрицы (сформулируйте и примените теорему о ЧПЗ метода деления пополам)

5 1 0 A 1 0 1 0 1 5

БИЛЕТ № 20

1. Метод минимальных невязок для решения системы Ax b с A 0 : сформулируйте теорему об убывании функционала ошибки, определение положительно-определенных матриц (как установить положительную определенность несимметричной матрицы?), постройте формулы метода.

2. Оценить точность формулы прямоугольников ab f (x) dx (b a) f (b)

3. Решить систему методом Гаусса