VMLA-Matzokin-2012 / билеты / Задачи_к_экзамену-2011_BMLA+ЧА

I:\0студенты спецкурсы\2012_13\Программы-2012_13-ВМЛА+ЧА\ВМЛА и

- 1 -

ЧА\Задачи_к_экзамену-2011_BMLA+ЧА.doc

1.

Определить векторные нормы || x ||

и || x ||1 , найти константы их

эквивалентности.

2.

Определить векторные нормы || x ||

и || x || 2 , найти константы их

эквивалентности.

7.

Вычислить число обусловленности Cond (A), если A

2

2 .

1

2

8.

Вычислить число обусловленности Cond 1(A) , если A

2

1 .

1

1

9.

Вычислить число обусловленности Cond 2 (A) , если A

2

1 .

1

2

min (A) (x, x) (Ax, x)

max (A) (x, x)

x .

I:\0студенты спецкурсы\2012_13\Программы-2012_13-ВМЛА+ЧА\ВМЛА и

- 2 -

ЧА\Задачи_к_экзамену-2011_BMLA+ЧА.doc

18. Докажите, что оптимальные значения параметров

( 1 , 2 ) 2-

2

2

(A)

0

2

19. Докажите оценку ||

(x) || C[a, b]

(n

1)! hn 1 , где

(x)

(x

x0 ) ... (x

xn ), {xi

a

i h}in

0 , h

(b

a) / n .

20. Докажите, что кусочно-кубический сплайн s(x)

C2[a, b] , построенный

по значениям fi в узлах {xi a

i h}in

0 ,

h

(b

a) / n , можно

представить на интервале [xi , xi

1] в виде

s(x)

fi

xi 1 x

fi

1

x xi

hi

hi

ci

(xi 1

x)3

hi2 (xi 1

x)

ci 1

(x xi )3

hi2 (x xi )

.

6hi

6hi

21. Докажите оценку

| f (x

)

f (x0 ) f (x1)

| M

2

(x

x

0

)2 , M

2

|| f || 2

.

1/2

2

1

C [x0 ,x1]

22. Докажите оценку

| f (x

0 )

f (x

0

h)

f (x

0

)

|

|| f

|| C[x

0

,x

0

h]

h .

h

2

I:\0студенты спецкурсы\2012_13\Программы-2012_13-ВМЛА+ЧА\ВМЛА и

- 3 -

ЧА\Задачи_к_экзамену-2011_BMLA+ЧА.doc

23.

Докажите оценку | f (x )

f (x

0

h)

f (x

0

)

|

|| f

|| C[x

0

,x

0

h]

h .

1

h

2

24.

Докажите оценку | f (x

h

)

f (x

0

h)

f (x

0

)

|

|| f

|| C[x

0

,x

0

h]

h

2

.

0

2

h

24

25.

Докажите теорему: если функция f (x)

C2n

2[a, b] , то точность

вычисления интеграла I

ab f (x) dx по квадратурной формуле Гаусса

In

n

Ak

f (xk ) на

n

1 узле оценивается следующим неравенством:

k 0

| I

In |

|| f 2(n

1) (x) || C[a,b]

b

|

(x) | 2

p(x) dx .

(2n 2)!

a

26.

Постройте квадратуру Гаусса на трех узлах.

27.

Докажите, что метод Эйткена ускорения простой итерации xn 1

(xn )

решения уравнения x

(x) , записанный в виде

xn 1

[ (xn )]

( [

(xn )]

(xn ))2

(xn ) ,

xn

2

(xn )

[

(xn )]

имеет квадратичную скорость сходимости.

28.

Докажите, что очередное приближение xn 1

метода Ньютона

xn

1

xn

f (xn )

для решения уравнения f (x)

0 является точкой

f (xn )