VMLA-Matzokin-2012 / билеты / 1 вар.-Письм.экз.-с_ответами-12.02.2012
.pdf
|
|
|
1 вариант письменного экзамена по ВМЛА+ЧА |
|
|
- 1 - |
|||||||
|
Студент(ка): __________________________ группа 013__ |
|
|
|
|
||||||||
|
Вопросы письменного экзамена и их оценка |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
Вопрос |
|
|
|
|
|
Оценка (0 : 5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1.1. Дать определения векторных норм || x || |
|
и || x || 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Для x (1, 2, 3)T вычислить || x || |
и || x || 2 |
|
|
|| x || |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1.2. Дать определение матричное нормы || A || |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|| x || 2 |
14 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|| A || |
7 |
||
1. |
Для |
A |
|
вычислить || A || |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.3. Дать определения числа обусловленности матрицы, |
|
Cond |
9 |
|||||||||
|
спектрального радиуса матрицы. |
|
|
|
|
|
(A) |
1 |
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для A |
|
вычислить Cond |
(A), |
|
(A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
x1 |
1 |
x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2. 2.1. Решить методом Гаусса систему |
1 |
2 |
1 |
x |
1 |
x2 |
7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
x3 |
1 |
x3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. Дать определения: стационарного итерационного метода для решения системы линейных алгебр.уравнений Ax b , вектора ошибки, вектора невязки, матрицы шага для
3.ошибки, матрицы шага для невязки.
3.2.Сформулировать теорему о необходимом и достаточном
условии сходимости стационарного итерационного метода |
|
|
|||||||||||
для решения системы линейных алгебр.уравнений Ax |
b . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
4.1. К решению какой системы уравнений сходится |
|
|
|
||||||||||
итерационный метод Bxk |
1 Cxk |
b. |
(B C)x |
|
b |
||||||||
4. 4.2. При каких |
сходится итерационный метод |
(0, |
2 |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
k 1 |
x |
k |
(Ax |
k |
b), |
A |
2 |
1 |
3 |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1.Дать определения: скалярного произведения, положительной определенности матрицы.
5. |
5.2. Вычислить (Ax, y) для A |
2 |
1 |
, x |
1 |
, y |
3 |
(Ax, y) 12 |
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
Доказать, что эта матрица положительно определена.
1 вариант письменного экзамена по ВМЛА+ЧА |
- 2 - |
№ |
|
|
|
|
Вопрос |
|
|
|
|
|
|
Оценка (0 : 5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6.1. Сформулировать метод наискорейшего спуска для решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
системы линейных алгебр.уравнений Ax |
b с A |
|
A |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6.2. Вывести формулу для его параметра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
7.1. Сформулировать степенной метод для вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
максимального собственного числа матрицы A |
A |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
8.1. Сформулировать задачу алгебраической интерполяции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
функции f (x) |
C[a, b] по ее значениям {f (xk )}nk |
0 |
в узлах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
{xk }kn |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
|
x2 |
||||||||
|
8.2. Дать ее решение в форме Лагранжа. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8.3. Построить интерполяционный полином для n 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
{xk }kn |
0 |
{0, 1, 2}, {f (xk )}kn |
0 |
{0, 1, 4}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9.1. Дать определение квадратурной интерполяционной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
формулы для вычисления |
ab f (x) dx по значениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
{f (xk )}nk |
0 в узлах {xk }kn |
0 , ее алгебраической степени |
|
m |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
точности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9.2. Определить алгебраическую степень точности квадратуры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Симпсона |
1f (x) dx |
|
f ( 1) |
|
4 f (0) f ( |
1) |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
x |
|
f (x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10.1. Дать определение метода Ньютона для нахождения корня |
|
|
|
f (x) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции f (x) |
C [a, b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.2. Доказать его сходимость для нахождения корня функции |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(x) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||
|
f (x) |
x2 |
2 |
C1[1, |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
, |
|
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИТОГО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|