Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

VMLA-Matzokin-2012 / билеты / 1 вар.-Письм.экз.-с_ответами-12.02.2012

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
06.06.2015
Размер:
160.82 Кб
Скачать

 

 

 

1 вариант письменного экзамена по ВМЛА+ЧА

 

 

- 1 -

 

Студент(ка): __________________________ группа 013__

 

 

 

 

 

Вопросы письменного экзамена и их оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос

 

 

 

 

 

Оценка (0 : 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Дать определения векторных норм || x ||

 

и || x || 2

 

 

 

 

 

 

Для x (1, 2, 3)T вычислить || x ||

и || x || 2

 

 

|| x ||

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Дать определение матричное нормы || A ||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| x || 2

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

|| A ||

7

1.

Для

A

 

вычислить || A ||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Дать определения числа обусловленности матрицы,

 

Cond

9

 

спектрального радиуса матрицы.

 

 

 

 

 

(A)

1

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для A

 

вычислить Cond

(A),

 

(A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

x1

1

x

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2. 2.1. Решить методом Гаусса систему

1

2

1

x

1

x2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

4

x3

1

x3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. Дать определения: стационарного итерационного метода для решения системы линейных алгебр.уравнений Ax b , вектора ошибки, вектора невязки, матрицы шага для

3.ошибки, матрицы шага для невязки.

3.2.Сформулировать теорему о необходимом и достаточном

условии сходимости стационарного итерационного метода

 

 

для решения системы линейных алгебр.уравнений Ax

b .

 

 

 

 

 

 

4.1. К решению какой системы уравнений сходится

 

 

 

итерационный метод Bxk

1 Cxk

b.

(B C)x

 

b

4. 4.2. При каких

сходится итерационный метод

(0,

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k 1

x

k

(Ax

k

b),

A

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1.Дать определения: скалярного произведения, положительной определенности матрицы.

5.

5.2. Вычислить (Ax, y) для A

2

1

, x

1

, y

3

(Ax, y) 12

 

 

 

1

2

 

2

 

4

 

Доказать, что эта матрица положительно определена.

1 вариант письменного экзамена по ВМЛА+ЧА

- 2 -

 

 

 

 

Вопрос

 

 

 

 

 

 

Оценка (0 : 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.1. Сформулировать метод наискорейшего спуска для решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

системы линейных алгебр.уравнений Ax

b с A

 

A

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. Вывести формулу для его параметра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

7.1. Сформулировать степенной метод для вычисления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

максимального собственного числа матрицы A

A

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.1. Сформулировать задачу алгебраической интерполяции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции f (x)

C[a, b] по ее значениям {f (xk )}nk

0

в узлах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

{xk }kn

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (x)

 

x2

 

8.2. Дать ее решение в форме Лагранжа.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.3. Построить интерполяционный полином для n 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{xk }kn

0

{0, 1, 2}, {f (xk )}kn

0

{0, 1, 4}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.1. Дать определение квадратурной интерполяционной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы для вычисления

ab f (x) dx по значениям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

{f (xk )}nk

0 в узлах {xk }kn

0 , ее алгебраической степени

 

m

3

 

 

 

 

 

 

 

точности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.2. Определить алгебраическую степень точности квадратуры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Симпсона

1f (x) dx

 

f ( 1)

 

4 f (0) f (

1)

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

x

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.1. Дать определение метода Ньютона для нахождения корня

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

функции f (x)

C [a, b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.2. Доказать его сходимость для нахождения корня функции

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x2

 

f (x)

x2

2

C1[1,

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

,

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИТОГО