алгебра от Галины Валентиновны / теорема о знаке действительного многочлена

Теорема о знаке действительного многочлена положительной степени

Знак действительного многочлена при достаточно больших по модулю значениях переменной совпадает со знаком старшего одночлена. Более точно: Пусть f x a0 a1x ... an xn x . Тогда для та-

Доказательство. Если A 0 , то утверждение очевидно. Поэтому, пусть A 0 , а значит A 0 . Достаточно проверить, что

an xn a0 ... an 1xn 1 .

Прежде всего

Теорема (о существовании корня у действительного многочлена положительной степени).

Если f x a0 a1x ... an xn x и n 2k 1, то по предыдущей теореме для таких значений переменной x , что

1

ем sign f x sign an x2k 1 sign an x , поскольку sign x2n 1

при ненулевых значениях x .

M 1 1 M r

Но знаки an r и an r противоположны, поэтому в силу непрерывно-

сти функции f x на отрезке r, r функция f x имеет корень (на отрезке r, r ). Теорема доказана.