104 Глава 4. Каналы несанкционированного получения информации
где Рс и Рп — средние мощности, соответственно, сигнала и помехи в канале на входе приемника.
Каждый канал также характеризуется количеством информации, которое может быть передано по нему.
Предельное значение количества информации, которое может быть передано по каналу связи, обладающему полосой пропускания Fк, определяется формулой Шенно-
на:
Cmax = Fк log (1 + Рс/ Рш) [дв. ед./с],
где Рс — средняя мощность сигнала, Рш — мощность шумов с равномерным частотным спектром.
Сигнал и его описание
Основным элементом рассмотренных каналов утечки информации являются сигналы, совокупность которых, в свою очередь, формирует информационное сообщение. Сообщение может иметь дискретную природу, т.е. состоять из отдельных символов. В этом случае и сигнал составляется из отдельных элементов, и представляет собою дискретную последовательность. Примером может служить передача текста по телеграфу.
Сообщение может представлять собою и непрерывную функцию времени. В простейшем случае эта функция непосредственно используется в качестве сигнала. Так обстоит, например, дело при обычной городской телефонной связи. Для передачи на большие расстояния прибегают к модуляции, к которой и сводится образование сигнала.
Если же при передаче используется непрерывная функция с импульсными или кодовыми методами, то нужно произвести дискретизацию функции по времени, т.е. перейти от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента. Эта операция выполняется путем взятия отсчетов функции в определенные дискретные моменты tк. В результате функция m(t) заменяется совокупностью мгновенных значений
{ mк } = { m(tк) }.
Обычно моменты отсчетов располагаются по оси времени равномерно, т.е.
tк = k t.
Выбор интервала t производится на основании теоремы Котельникова, которая гласит:
функция с ограниченным спектром полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервалы
t = ½ F,
где F — ширина спектра.
Это положение может применяться и к функциям с неограниченным, но быстро убывающим за пределами интервала F спектром. В таком случае функция восстанавливается по своимотсчетамнеточно, нос легкооцениваемымприближением.
Сигнал и его описание 105
Исходное сообщение может представлять собой функцию не одного, а многих аргументов. В этом случае такая функция превращается в функцию m(t), зависящую от одного аргумента. Это осуществляется посредством операции, называемой разверткой. При этом может произойти дискретизация по одному, нескольким или всем аргументам. Примером может послужить образование телевизионного сигнала. Изображение может быть представлено как B(x, y, t), где x и y — пространственные координаты (координаты плоскости изображения), B — яркость. Время дискретизируется в результате покадровой передачи ( t = 1/25 с). При обычной строчной развертке координата x (вдоль строки) остается непрерывной, а координата y дискретизируется. Шаг y определяется количеством строк развертки. Таким образом, получается функция
m(t) = m(i y, k t, vt),
где v — скорость развертки вдоль строки, i — номер строки, k — номер кадра.
До сих пор речь шла о дискретизации по аргументам. Но возможна (а иногда необходима) дискретизация по значениям функции. Предполагается, что функция ограничена, т.е. ее значения лежат в конечном интервале. В таком случае дискретизация состоит в замене несчетного множества возможных значений функции конечным множеством. Обычно дискретные значения располагаются по шкале функции равномерно, так что
mi = [m/ m + ½] m,
где скобки обозначают функцию выделения целой части, m — шаг квантования. Понятно, что квантование, заменяющее истинное значение m округленным значени-
ем mi, вносит погрешность ε = m – mi.
Однако существенно, что эта погрешность не превосходит половины шага квантования и, следовательно, находится под нашим контролем.
Итак, при импульсной передаче необходима дискретизация по времени, а при кодовой передаче, кроме того, и дискретизация по значениям функции, т.е. квантование.
Рассмотрим вопросы модуляции. Берется некоторая функция
f = f(a, b, c, ..., t),
называемая переносчиком. Величины a, b, c, ... представляют собой в отсутствие модуляции постоянные параметры.
Сущность модуляции состоит в том, что один из параметров получает приращение, пропорциональное передаваемому сообщению, например
a = a0 + δa = a0 + a m(t) = a0 (1 + ( a/a0) m(t)),
где δa — переменное приращение, a — постоянная величина, выражающая степень изменения параметра. Если |m(t)| ≤ 1, то отношение a/a0 есть наибольшее относительное изменение параметра a, или глубина модуляции.
Таким же образом может изменяться и любой другой параметр. Если изменяется (модулируется) параметр a, то мы имеем a-модуляцию, если параметр b — b- модуляцию и т.д. Количество возможных видов модуляции при данном переносчике
106 Глава 4. Каналы несанкционированного получения информации
равно количеству его параметров. Так, например, если в качестве переносчика выбрано синусоидальное колебание
f(t) = A sin (ωt + ψ),
то параметрами являются амплитуда A, частота ω и начальная фаза ψ. Каждый из этих параметров можно модулировать, в результате чего получается, соответственно, амплитудная (АМ), частотная (ЧС) и фазовая модуляция ФМ.
Если переносчиком является периодическая последовательность импульсов определенной формы, параметрами являются: амплитуда, длительность, частота следования и фаза. Это дает четыре основные вида импульсной модуляции: амплитудно-импульсная (АИМ), длительностно-импульсная (ДИМ), частотно-импульсная (ЧИМ) и фазовоимпульсная (ФИМ). Переход от видеоимпульсов к радиоимпульсам позволяет получить еще два вида модуляции: по частоте и по фазе высокочастотного заполнения.
Возможны, в принципе, многочисленные виды модуляции по параметрам, определяющим форму видеоимпульсов; однако на практике такие виды модуляции пока не применяются.
В качестве переносчика можно воспользоваться не только периодической функцией, но и стационарным случайным процессом. В этом случае в качестве модулируемого параметра можно взять любую числовую характеристику, которая в силу стационарности является, по определению, постоянной (т.е. не зависящей от начала отсчета времени) величиной. Таковы, например, моменты распределения или их Фурье-преобразования. Первый момент, т.е. среднее значение, обычно равен нулю. Второй момент есть функция корреляции, зависящая от временного сдвига τ. Фурье-преобразование функции корреляции есть спектр мощности. Второй момент при τ = 0 есть просто мощность. Модуляция по мощности представляет собой аналогию амплитудной модуляции. Модуляция по положению спектра на шкале частот в чем-то подобна частотной модуляции. Аналога фазовой модуляции для случайного процесса не существует.
Следует иметь в виду, что мощность, определенная для конечного отрезка реализации случайного процесса, есть случайная величина, флуктуирующая около среднего значения. Тоже относится и к любым другим моментам или их преобразованиям. Поэтому при использовании случайного процесса в качестве переносчика в сигнал с самого начала примешивается специфическая помеха, хотя и не устранимая, но с известными статистическими характеристиками.
Сигналы с помехами
Наряду с полезным сигналом на вход приемника, как правило, действует помеха. Обычно сигнал и помеха взаимодействуют между собой аддитивно, т.е. суммируются. Иногда между ними имеет место и мультипликативное взаимодействие. Таким образом, при достаточно сильных помехах прием полезного сигнала может значительно затруднится или вообще стать невозможным. Поэтому для обеспечения необходимого качества приема необходимо каким-то образом устранить или ослабить воздействие помехи на средство приема.
Сигналы с помехами 107
Исследуем влияние помехи на основные характеристики сигнала при аддитивном их взаимодействии в трех основных случаях.
1.Если сигнал х(t) и помеха хп(t) являются квазидетерминированными, то суммарный сигнал хΣ(t) = х(t) + хп(t). Предположим, что х(t) и хп(t) — импульсы. Тогда спектр суммарного сигнала
SΣ(iω) = S(iω) + Sп(iω),
где S(iω) и Sп(iω) спектры соответственно х(t) и хп(t).
Энергия суммарного сигнала будет описываться следующим выражением:
+∞ |
+∞ |
+∞ |
+∞ |
EΣ = ⌠⌡х2Σ(t) dt = Ex + Exп+ 2Exxп = ⌠⌡х2 (t) dt + ⌠⌡хп2(t) dt + 2⌠⌡х(t)xп(t) dt ,
–∞ |
–∞ |
–∞ |
–∞ |
где Exxп — энергия взаимодействия сигнала и помехи.
Если Exxп= 0, то сигнал и помеха ортогональны. Корреляционная функция суммарного сигнала в этом случае имеет следующий вид:
+∞
RΣ(τ) = ⌠⌡хΣ(t) хΣ(t – τ)dt = Rxx(τ) + Rxпxп(τ) + Rxxп(τ) + Rxпx(τ)
–∞
Rxxп(0) + Rxпx(0) = Exxп
2.Если сигнал является квазидетерминированным, а помеха случайной, то суммарный сигнал, описываемый выражением хΣ(t) = х(t) + хп(t), может рассматриваться, как нестационарный сигнал, у которого математическое ожидание является функцией времени. Сигнал и помеха в этом случае взаимонезависимы, поэтом корреляционная функция суммарного сигнала
RΣ(τ) = Rx(τ) + Rxп(τ)
Если сигнал периодический, то Rx(τ) является периодической функцией, а Rxп(∞) = 0. Это используется для выделения периодического сигнала из случайной помехи.
3.Если сигнал и помеха являются случайными, то XΣ(t) = X(t) + Xп(t). В этом случае плотность вероятности pΣ(x) сигнала XΣ(t) будет равна свертке распределений p(x)
и p(хп).
Корреляционная функция суммарного сигнала:
RΣ(τ) = Rxx(τ) + Rxпxп(τ) + Rxxп(τ) + Rxпx(τ) + …
Если X(t) и Xп(t) некоррелированы, то
Rxxп(τ) = 0 иRxпx(τ) = 0
Тогда
RΣ(τ) = Rxx(τ) + Rxпxп(τ)