§3. Проекция вектора на ось

П усть даны: l – некоторая ось и – произвольный вектор.

проекция А на ось l, координата на l;

проекция B на ось l, координата на l.

Опр. Проекцией вектора на ось называется разность

.

Свойства проекций

1. Проекция вектора на ось l равна модулю вектора умноженному на косинус угла между и осью l.

где .

2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

3. При умножении вектора на число проекция на ось также умножается на это число.

4. Проекции двух равных векторов на одну и ту же ось равны.

.

§4. Линейная зависимость векторов. Базис

Рассмотрим n векторов и n чисел .

Опр. Выражение вида называется линейной комбинацией векторов .

Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю при условии, что среди есть отличные от нуля.

Например, , тогда ,

есть линейная комбинация .

Итак, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Справедливо и обратно.

Опр. Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю при условии, что

Итак,

1) Два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.

2) Два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

Итак, для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинераны.

Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и , то любой третий вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и , т.е.

. (3.2)

Следствие 1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

Следствие 2. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

линейно зависимые.

Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Аналогично Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Опр. Базисом на плоскости называется два любых линейно независимых вектора плоскости, т.е. пара неколлинеарных векторов .

Базисом в пространстве называется три любых линейно независимых вектора пространства, т.е. тройка некомпланарных векторов.

Рассмотрим разложение (3.2) на плоскости , где и неколлинеарны. Коэффициенты и называются координатами вектора в базисе .

Аналогично для разложения (3.3): , где некомпланарные векторы пространства. Коэффициенты называются координатами вектора в базисе

Пример 4.1. Доказать, то векторы образуют базис в R³.

§5. Разложение вектора в декартовом базисе.

Операции над векторами, заданными координатами.

Длина вектора, направляющие косинусы

1. Прямоугольный декартов базис.

Разложение вектора в декартовом базисе

Рассмотрим пространство 0xyz, т.е. введем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат.

Векторы единичные векторы осей Оx, Oy, Oz. Векторы называются ортами. Поскольку некомпланарны, то они образуют базис в пространстве, который называют декартовым базисом.

Теорема. Любой вектор , заданный в пространстве 0xyz, может быть представлен в виде

. (3.4)

Такое представление вектора называется разложением вектора в декартовом базисе или разложением вектора по ортам.

Проекции называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Записывают или . Каждый вектор имеет единственное представление в виде (3.4) в заданном базисе.

2. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)

Пусть даны два вектора и .

Тогда сумма векторов:

.

Разность векторов:

.

Произведение вектора на число

.

Итак, ,

.

Пример 5.1. . Найти

3. Модуль вектора

По теореме о длине диагонали параллелепипеда

или .

модуль вектора .

IV. Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим вектор , где

Тогда разложение по ортам, где

Расстояние между точками А и В равно .значит

расстояние между точками

Частный случай.

Расстояние между точками на плоскости

, где

V. Направляющие косинусы

Направление вектора в пространстве определяется углами которые вектор составляет с осями Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е. называются направляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

или

Тогда

VI. Условие коллинеарности двух векторов

Для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны

условие коллинераности векторов.