§4. Линейная зависимость векторов. Базис

Рассмотрим n векторов иn чисел .

Опр. Выражение виданазываетсялинейной комбинацией векторов .

Опр. Векторы называютсялинейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулюпри условии, что средиесть отличные от нуля.

Например, , тогда,

есть линейная комбинация .

Итак, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Справедливо и обратно.

Опр. Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулюпри условии, что

Итак,

1) Два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.

2) Два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

Итак, для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинераны.

Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и, то любой третий векторплоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторови, т.е.

. (3.2)

Следствие 1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

Следствие 2. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

линейно зависимые.

Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Аналогично Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Опр. Базисом на плоскости называется два любых линейно независимых вектора плоскости, т.е. пара неколлинеарных векторов .

Базисом в пространстве называется три любых линейно независимых вектора пространства, т.е. тройка некомпланарных векторов.

Рассмотрим разложение (3.2) на плоскости ,где инеколлинеарны. Коэффициентыиназываютсякоординатами вектора вбазисе .

Аналогично для разложения (3.3): ,где некомпланарные векторы пространства. Коэффициентыназываютсякоординатами вектора вбазисе

Пример 4.1. Доказать, то векторы образуют базис вR³.

§5. Разложение вектора в декартовом базисе.

Операции над векторами, заданными координатами.

Длина вектора, направляющие косинусы

1. Прямоугольный декартов базис.

Разложение вектора в декартовом базисе

Рассмотрим пространство 0xyz, т.е. введем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат.

Векторы единичные векторы осейОx, Oy, Oz. Векторы называютсяортами. Поскольку некомпланарны, то они образуют базис в пространстве, который называютдекартовым базисом.

Теорема. Любой вектор , заданный в пространстве0xyz, может быть представлен в виде

. (3.4)

Такое представление вектора называется разложением вектора в декартовом базисе или разложением вектора по ортам.

Проекции называются прямоугольными декартовыми координатами вектора .Записывают или. Каждый вектор имеет единственное представление в виде (3.4) в заданном базисе.

2. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)

Пусть даны два вектора и.

Тогда сумма векторов:

.

Разность векторов:

.

Произведение вектора на число

.

Итак, ,

.

Пример 5.1. . Найти

3. Модуль вектора

По теореме о длине диагонали параллелепипеда

или .

модуль вектора .