IV. Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим вектор , где

Тогда разложение по ортам, где

Расстояние между точками А и В равно .значит

расстояние между точками

Частный случай.

Расстояние между точками на плоскости

, где

V. Направляющие косинусы

Направление вектора в пространстве определяется углами которые вектор составляет с осямиOx, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е. называютсянаправляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

или

Тогда

VI. Условие коллинеарности двух векторов

Для того, чтобы два вектора ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны

условие коллинераности векторов.

§6. Скалярное произведение векторов

1. Определение

Опр. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

. (3.5)

Придадим (3.5) другой вид (по свойству 1 проекций).

проекция на ось, определяемую.

проекция на ось, определяемую.

(3.6)

2. Свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство

Доказательство из определения.

2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя .

3. Распределительное свойство

Пример 6.1. Векторы иобразуют уголЗная, чтовычислить

4. Условие ортогональности векторов

По определению ., еслиили, или

т.е. Пусть и– ненулевые векторы. Тогда.

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Пример 6.2. При каком векторыиортогональны, если

Ответ:

3. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора и. Найти

Найдем предварительно скалярное произведение ортов.

Тогда скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Если тоусловие перпендикулярности векторов.

4. Угол между векторами в пространстве

По определению , значит

.

Пример 6.3. Даны вершины четырехугольника А(1, -2, 2), В(1, 4, 0), С(-4, 1, 1), D(-5, -5, 3). Вычислить угол между его диагоналями. Ответ:

§7. Векторное произведение векторов

1. Определение

Опр. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который определяется следующим образом:

1) модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах

2. вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е.,

3. направление вектора таково, что если смотреть с его конца (вдоль вектора), то поворот по кратчайшему пути от векторак векторувиден совершающимся против часовой стрелки.

ориентированы как прав. тройка).

Обозначается: или.

Частные случаи:

2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак

.

Доказательство. ;

2. сочетательное свойство относительно скалярного множителя, т.е. числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

3. распределительное свойство.

4. Условие коллинеарности векторов.

Векторное произведение равно нуль-вектору, если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой или синус угла между ними равен нулю, т.е. векторы коллинеарны.

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору

3. Векторное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора: и.

Найти: .

Предварительно найдем векторное произведение ортов:

a) .

Аналогично

б) 1)

2)

3) с конца поворот откпо кратчайшему пути виден против часовой стрелки;(по свойству 1).

Аналогично:

Тогда Итак,.

Пример 7.1.

Найти: а) б)

Решение. а)

б)

Пример 7.2. Найти , еслиA(0;2;1), B(-1;3;4), C(2;5;2).

Самостоятельно: Деление отрезка в данном отношении.

Даны две точки пространства:и. Разделить отрезокв данном отношенииЭто значит найти на отрезе такую т.М, что (или.

Доказать, что координаты т. вычисляется по формулам:

Частный случай. Деление отрезка пополам.

Координаты середины отрезка:

11