
- •Глава 2. Векторная алгебра
- •§1. Векторы, основные определения
- •§2. Линейные операции над векторами. Линейное пространство
- •§3. Проекция вектора на ось
- •Свойства проекций
- •§4. Линейная зависимость векторов. Базис
- •§5. Разложение вектора в декартовом базисе.
- •Прямоугольный декартов базис.
- •§6. Скалярное произведение векторов
- •§7. Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Векторное произведение векторов, заданных координатами
Глава 2. Векторная алгебра
§1. Векторы, основные определения
Опр. Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого различают начало и конец).
Если А
– начало, В
– конец, то вектор обозначают
(или
).
Часто вектор
обозначают одной буквой
.
Опр.
Длиной
или модулем
вектора
называется длина отрезка
.
Обозначают
.
Опр.
Вектор, у которого начало и конец
совпадают, называется нуль-вектором
и обозначают
.
Будем рассматривать только свободные векторы, т.е. те, которые можно переносить в любое место пространства, сохраняя длину и направление.
Опр.
Векторы
и
,
расположенные на одной прямой или
параллельных прямых, называются
коллинеарными.
Опр.
Векторы
и
называются равными,
если они:
имеют равные модули;
коллинеарны;
направлены в одну сторону.
О
пр.
Вектор
называется противоположным
вектору
,
если этот вектор имеет модуль, равный
модулю вектора
,
коллинеарен с ним, но направлен в
противоположную сторону (вектор
– не нуль-вектор).
Опр. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
§2. Линейные операции над векторами. Линейное пространство
Сложение векторов
Правило треугольника
С
уммой
векторов
и
называется вектор
,
который соединяет начало 1-го вектора
с концом 2-го, при условии, что точка
приложения 2-го вектора находится в
конце 1-го. Распространяется на любое
конечное число векторов.
Ч
астный
случай.
Сложение коллинеарных векторов.
Правило параллелограмма
Отложить от т. О
вектор
и
.
Построить на этих векторах как на
сторонах параллелограмм. Вектор, служащий
диагональю параллелограмма, проведенный
из т. О, является суммой
.
Вычитание векторов
Опр.
Разностью
двух векторов
и
называется вектор
,
который будучи сложенным с вектором
дает вектор
.
Если
то
.
Из определения
вытекает правило построения
.
направлен
из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
Ч
астный
случай.
или
Итак:
Умножение вектора на число
Опр. Произведением вектора на число λ называется вектор λ :
коллинеарный вектору ;
имеющий длину
;
тоже направление, что и , если
, противоположное направлению , если
единичный
вектор (орт) вектора
,
т.е.
коллинеарен
,
одинакового с ним направления,
.
Тогда
(3.1)
или
.
Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными.
Они обладают свойствами:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1–8, образуют линейное (векторное) пространство, которое обозначается R3.