- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1. Дифференциальным уравнением (ду) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).
- •2. Решить ду – значит найти все его решения!
- •3. Решение ду – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество!
- •3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .
- •3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!
3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!
Пример 3–100: Решить дифференциальное уравнение: –=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===+.
3). Вычислим производную: =– и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: =++=.
4). Вычислим интеграл: ===.
5). Запишем решение: =+=. У нас: +=.
Ответ: += – общее решение.
Пример 4–102: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===.
3). Вычислим производную: = и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: =.
4). Вычислим интеграл: ==0.
5). Запишем решение: =+=. У нас: =.
Ответ: = – общее решение.
Пример 5–104: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===.
3). Вычислим производную: = и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: ==.
4). Вычислим интеграл: ===.
5). Запишем решение: =+=. У нас: +=.
Ответ: += – общее решение.
Пример 6–149: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===.
3). Вычислим производную: = и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: ==.
4). Вычислим интеграл: ===.
5). Запишем решение: =+=. У нас: +=. Воспользовались свойством произвольной постоянной величины .
Ответ: += – общее решение.
Пример 7–154: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===.
3). Вычислим производную: = и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: ==.
4). Вычислим интеграл: ===.
5). Запишем решение: =+=. У нас: =. Воспользовались свойством произвольной постоянной величины .
Ответ: = – общее решение.
Пример 8–171: Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если для любого отрезка [1,x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше отношения абсциссы концевой точки к ординате .
Решение:
1) Так как вычисление площади требует применения интеграла, то в соответствии с условием задачи запишем равенство: =+2. Как решают такие уравнения, мы не знаем: изучаем дифференциальные уравнения и, вдруг, в равенстве появился интеграл!.. Для перехода к известным образам продифференцируем равенство с интегралом по переменной . Получаем: . (1)
2) Так как по условию , уравнение (1) можно записать в виде: . (2)
3). Уравнение (2) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения, при этом имеем: = и =.
2). Применим подстановку: = и перепишем (1) как: , то есть: , или , где =, =.
3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
4). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
5). Вычисляем: =+=+ =+.
6). Запишем общее решение уравнения: =∙, или =. По условию: кривая проходит через точку , получим частное решение: =.
Ответ: =– общее решение; частное решение: =.
Пример 8–187: Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры от времени , если тело, нагретое до градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна градусам.
Решение:
Замечание: рисунок «мотивирует» решение задачи, а также «намекает», что охлаждение тела происходит за счет «молекулярного взаимодействия» тела и среды: подвеска тела к потолку на тонкой нити с минимальной теплопроводностью.
1). Из условия задачи следует дифференциальное уравнение: . (1)
2). Уравнение (1) – ДУ с разделяющимися переменными. Его интегрирование не представляет труда: . (2)
3). Учитывая начальные условия, из уравнения (2) получаем: – закон охлаждение тела в заданных условиях.
Ответ: – общее решение уравнения. Частное решение: .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Как определяют ДУ в полных дифференциалах?
-
Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?
-
Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?
-
Что такое «интегрирующий множитель уравнения»?
-
Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.
-
Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.
Задачи для самоподготовки:
Пример C5–1: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: += – общее решение ДУ.
Пример C5–2: Решить дифференциальное уравнение: +=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: += – общее решение ДУ.
Пример C5–3: Решить ДУ: +=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C5–4: Решить дифференциальное уравнение: +=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C5–5: Решить ДУ: +=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C5–6: Решить дифференциальное уравнение: –=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах
Ответ: – частное решение.
Пример C5–7: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.
Ответ: Случай-1: ; Случай-2: – частные решения ДУ.
Пример C5–8: Через сколько времени температура тела, нагретого до 1000C, понизится до 250C, если температура помещения равна 200C и за первые 10 мин тело охладилось до 600C?
Ответ: t ≈ 40 мин.
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 114, 116, 118, 120, 122,124. |
6 |
☺ ☻ ☺
Если Дифференциальное уравнение 1-порядка записано в виде: , то говорят, что это уравнение – неразрешённое относительно !..
Рассмотренные ранее типы уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, линейные, однородные... достаточно просто можно было разрешить относительно . Теперь мы рассмотрим такие уравнения, которые:
• достаточно сложно приводятся к форме записи уравнения ;
• принципиально не могут быть приведены к форме записи уравнения .
Мы рассмотрим только некоторые из типов уравнений, неразрешённых относительно производной , а именно:
1. Левая часть уравнения есть многочлен n-ой степени относительно символа : , (1)
где – функции от переменных: (в частном случае постоянные).
В высшей алгебре доказано, что многочлен левой части уравнения (1) в любом случае может быть преобразован в произведение простейших множителей:
. (2)
Из записи (2) следует уравнений 1-го порядка: , . Решение каждого такого уравнения даст функцию , являющуюся решением уравнения (1).
Замечание: На самом деле, начиная с многочлена 3-й степени, процесс разложения многочлена в произведение простейших скобок весьма трудоёмкий!..
2. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее x: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.
• Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, интегрированием которого получаем: =.
• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .
3. Уравнение, разрешенное относительно x и не содержащее y: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: .
• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.
• Интегрируя уравнение: = получаем: =.
• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .
4. Уравнение, разрешенное относительно y и содержащее x: . Для решения таких уравнений применяют специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
• Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции по переменной , именно: =. Заменяя =, получим: =.
• Составим систему: – из этой системы находят решение в явном или параметрическом виде.
Замечание: Рассмотренные в этом Занятии примеры вполне иллюстрируют особенности решения подобных задач!..
5. Уравнение Лагранжа: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: .
• Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: .
• Выделим решение . Может быть получено несколько решений:, каждое из которых дополнительно анализируют после получения общего решения!
• Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде линейного уравнения: –=. Пусть его решение: .
• Составим систему: – общий интеграл уравнения Лагранжа.
••• ≡ •••
Пример 1–114: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
Замечание: Заданное уравнение представляется многочленом 3-го порядка и разложение его в произведение скобок выполняется трудоёмко!..
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Это специальная форма уравнения, неразрешённого относительно . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме.
2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
3). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!
4). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, которое легко интегрируется: =, то есть =.
5). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение – особое.
Замечание: Решение называют особым, если оно не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной!..
Пример 2–116: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =. Так как есть некоторая функция переменной , то и .
2). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!
3). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, которое легко интегрируется: =, то есть =.
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать: не получится!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 3–118: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.
2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!
3). Интегрируем уравнение: ==, или =.
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 4–120: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.
2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!
3). Интегрируем уравнение: ==, или =.
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 5–122: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =0.
2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: =.
3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: . В нашем случае: =, производная = и =0. Тогда уравнение имеет вид: =
4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено:, , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..
5). Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде:
–= – линейное уравнение,
решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение: .
6). Cоставим систему: у нас: – общий интеграл заданного
Ответ: – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.
Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =.
2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: .
3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: . В нашем случае: =, производная = и =. Тогда уравнение имеет вид: =.
4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено:, , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: и . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..
5). Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде:
–= – линейное уравнение,
решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение найдём применением общего алгоритма решения линейного уравнения:
• Решение уравнения ищем в виде функции: .
• Вычислим: ==, и запишем: u=, то есть .
• Вычислим: ==+, и запишем.
• Запишем общее решение линейного уравнения: =∙. Если последнее записать в виде: =∙+ и в первой дроби выполнить преобразование выделение целой части, то =.
6). Вычислим: =, и запишем:
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: и .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Как определяют уравнение 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?
-
Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.
-
Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?
-
Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?
-
Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?
-
Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?
-
Что такое «Уравнения Лагранжа»?
-
Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.
-
Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.
Задачи для самоподготовки:
Пример C6–1: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение – особое.
Пример C6–2: Найти общее решение уравнения: .
Ответ: – общее решение уравнения. Решение – особое.
Пример C6–3: Найти общее решение уравнения: .
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример C6–4: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Ответ: – общее решение, – особое решение.
Пример C6–5: Найти решение уравнения Лагранжа, применяя метод введения параметра.
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.
Пример C6–6: Найти решение уравнения Лагранжа, применяя метод введения параметра.
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.
Пример C6–7: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.
Ответ: или – частные решения для: =1.
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 7. Повторение: все типы уравнений 1-го порядка. Обзорные упражнения: определение типа дифференциального уравнения и обсуждение общего алгоритма решения. Систематизация знаний. Подготовка к контрольной работе.
☺ ☻ ☺
Систематизация знаний по ДУ 1-го порядка предполагает повторение основных понятий теории Дифференциальных уравнений с их толкованием и примерами использования при решении заданных ДУ и при решении простых геометрических и физических задач.
Повторение темы Классификация различных дифференциальных уравнений предполагает быстрое распознавание произвольно выбираемых из Задачника примеров.
Применение общих алгоритмов решения ДУ первого порядка при рассмотрении конкретного уравнения проводится с соблюдением принципов обоснованности (правомерности) последовательно применяемых шагов решения.
Основные требования по оформлению решения любого уравнения при выполнении домашнего Задания и Контрольной работы.
Замечание: 1). При подготовке к настоящему Занятию необходимо тщательно повторить материал Глав 1-5 Пособия по Дифференциальным уравнениям для факультета ЭТМО 1-го курса.
2). Предполагается за время проведения Занятия оценить степень готовности к выполнению Контрольной работы по ДУ № 1 всех студентов группы!..
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 8. Уравнения 1-го порядка. Контрольная работа №1. Прием части-1 БДЗ. Выдача части-2 БДЗ.
☺ ☻ ☺
Контрольная работа №1 предназначена оценить степень усвоения основных понятий теории Дифференциальных уравнений и способов решения простейших типов ДУ первого порядка:
• Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
• Однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению 1-го порядка.
• Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
• Уравнения в полных дифференциалах.
• Уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной.
Состав и степень трудности предлагаемых в Контрольной работе заданий согласовывается с Методическим советом кафедры «Высшая математика».
При разработке заданий Контрольной работы учитывается также требование побудить студентов повторить пройденный материал по предмету. Это значит, что в заданиях не должно быть ничего такого, что, так или иначе, требует самостоятельных обобщений и выводов со стороны студентов.
Перед выполнением Контрольной работы студенты должны ознакомиться с перечнем вопросов, которые будут отражены в заданиях. Также важным элементом подготовки к контрольной работе должны быть регулярные текущие контрольные мероприятия в виде оперативных опросов: по 6-7 минут в начале каждого занятия.
Прием части-1 БДЗ определяется двумя последовательными мероприятиями:
1). Формальный приём выполненных Заданий непосредственно в аудитории: проверка на соответствие правилам закрепления вариантов заданий за каждым студентом.
2). Защита выполненных заданий БДЗ каждым студентом в специально назначенное время (обычно, в день консультаций по предмету). Определение окончательной оценки качества выполнения Части-1 БДЗ.
Замечание: 1). Сборник заданий по БДЗ находится в информационной системе института с самого начала семестра, постоянно.
2). Сборник заданий по БДЗ содержит по каждому заданию примеры решения и оформления.
•• ☻☻ ••