Отчет к упражнению 3.18.

Вычислить площадь треугольника с вершинами иИзобразить плоскость треугольника. Как соотносятся площадь треугольника и векторное произведение. Изобразить это соответствие по аналогии с предыдущим упражнением.

a=[1 -3 1];b=[2 -1 4];c=[5 0 3];

line([a(1);b(1)],[a(2);b(2)],[a(3);b(3)],'LineWidth',2);

line([a(1);c(1)],[a(2);c(2)],[a(3);c(3)],'Color','green','LineWidth',2);

ab=b-a;ac=c-a;

v=cross(ab,ac);d=a+v;%векторное произведение

line([a(1);d(1)],[a(2);d(2)],[a(3);d(3)],'Color','red','LineWidth',2);

grid on;box on;

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z');

axis square;axis equal;

hold on;

plot3(b(1),b(2),b(3),'>b');

plot3(c(1),c(2),c(3),'>g');

plot3(d(1),d(2),d(3),'vr');

e=c+ab;%четвертая точка параллелограмма

line([a(1):0.05:b(1);c(1):0.05:e(1)],[a(2):0.1:b(2);c(2):0.1:e(2)],...

[a(3):0.15:b(3);c(3):0.15:e(3)],'Color','yellow');

line([b(1);c(1)],[b(2);c(2)],[b(3);c(3)],'Color','black');

Отчет к упражнению 3.19.

Найти смешанное произведение векторов , где векторыиперемножаются векторно, а их результат на векторскалярно, см формулу (10). Затем найти смешанное произведение по формуле (16).

Проверить свойства (11) и (12) смешанного произведения по формуле (10).

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3;

>> a=[a1 a2 a3];b=[b1 b2 b3];c=[c1 c2 c3];

>> bc=cross(b,c);

>> abc=sum(a.*bc);%---------------------------------------------------------по формуле (10)

>> abc

abc =

a1*(b2*c3-b3*c2)+a2*(b3*c1-b1*c3)+a3*(b1*c2-b2*c1)

>> simplify(abc)

ans =

a1*b2*c3-a1*b3*c2+a2*b3*c1-a2*b1*c3+a3*b1*c2-a3*b2*c1

>> d=[a;b;c];

>> det(d)%------------------------------------------------------------------------по формуле (16)

ans =

a1*b2*c3-a1*b3*c2+a2*b3*c1-a2*b1*c3+a3*b1*c2-a3*b2*c1

>> sum(b.*cross(c,a)) %-------------------------------------------------проверка свойства (11)

ans =

b1*(a3*c2-a2*c3)+b2*(c3*a1-c1*a3)+b3*(c1*a2-c2*a1)

>> simplify(ans)

ans =

a1*b2*c3-a1*b3*c2+a2*b3*c1-a2*b1*c3+a3*b1*c2-a3*b2*c1

>> simplify(sum(c.*cross(a,b)))

ans =

a1*b2*c3-a1*b3*c2+a2*b3*c1-a2*b1*c3+a3*b1*c2-a3*b2*c1

>> simplify(sum(b.*cross(a,c)))%--------------------------------------проверка свойства (12)

ans =

a2*b1*c3-a3*b1*c2+a3*b2*c1-a1*b2*c3+a1*b3*c2-a2*b3*c1

>> simplify(sum(c.*cross(b,a)))

ans =

a2*b1*c3-a3*b1*c2+a3*b2*c1-a1*b2*c3+a1*b3*c2-a2*b3*c1

>> simplify(sum(a.*cross(c,b)))

ans =

a2*b1*c3-a3*b1*c2+a3*b2*c1-a1*b2*c3+a1*b3*c2-a2*b3*c1

Отчет к упражнению 3.20.

С помощью смешанного произведения доказать, что векторы ,инекомпланарны, определить ориентацию этой тройки. Ответьте на вопрос: как связано понятие компланарность с понятиями базис и линейная зависимость для этих векторов. Построить эти векторы. Векторизобразить синим, векторзеленым, векторкрасным.

a=[1 -2 0];b=[0 1 1];c=[1 2 2];

simplify(sum(a.*cross(b,c)))

ans=

-2

Смешанное произведение меньше нуля, значит, векторы некомпланарны и составляют левую тройку. Если векторы не компланарны, то они составляют базис и их линейная комбинация линейно-независима.

line([0;a(1)],[0;a(2)],[0;a(3)]);

line([0;b(1)],[0;b(2)],[0;b(3)],'Color','green');

line([0;c(1)],[0;c(2)],[0;c(3)],'Color','red');

hold on;

plot3(a(1),a(2),a(3),'<b');

plot3(b(1),b(2),b(3),'>g');

plot3(c(1),c(2),c(3),'>r');

box on;grid on;axis square;axis equal;

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z');