Занятие 12. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера.

Ауд.

Л-2, Гл. 10

№ 377, 379, 381, 383, 385.

5

☺ ☻ ☺

Общее о решении уравнений Эйлера:

До сих пор мы рассматривали линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Представляет интерес рассмотреть уравнение с переменными коэффициентами специального вида: , (1)

где - постоянные числа; q(x) – заданная функция; каждый коэффициент уравнения – степенная функция, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит. Такое уравнение называют уравнением Эйлера. Для решения уравнения (1) используют два способа.

Способ-1. Используется подстановка: а) , если ; б) , если .

Так как и , то . Используя формулы вычисления производных для функций, заданных в параметрической форме, можем записать:

(2)

Так как особенности решения уравнения Эйлера вполне проявляются при решении уравнения 3-го порядка, примем . Подставим производные (2) в уравнение (1) для случая , причём, для лучшей читаемости дальнейших выражений, в записи производных не станем применять индекс t: ,

или окончательно: . (3)

Замечание: 1). При решении конкретного уравнения Эйлера 3-го и 2-го порядков не следует каждый раз получать формулу (3) заново.

2). В записи уравнения 3-го порядка использование коэффициента позволяет получать результаты для уравнения 2-го порядка при значении .

Уравнение (3) является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Его решение ищут в виде по известному алгоритму. Для записи окончательного выражения решения исходного уравнения используют замену: .

Способ-2. Применяется подстановка: . В этом случае вычисление необходимых производных совсем просто: Подставляя эти производные в уравнение (1) для случая получаем, после деления на общий множитель , уравнение:

. (4)

Легко заметить, что уравнение (4) для уравнения (3) можно считать характеристическим, хотя получено оно для других целей.

При решении алгебраического уравнения (4) в общем случае получим действительные и комплексные корни. Пусть =. Учитывая: =, запишем =, или = → = и =. (5)

Если уравнение Эйлера неоднородное, для применения Способа-1 необходимо переписать правую часть: .

Общее о решении краевой задачи.

Решение краевой задачи предполагает выделение из общего решения некоторого частного, но начальные условия относят к разным точкам. Понятно, что количество задаваемых начальных условий всегда равно числу произвольных постоянных общего решения уравнения!..

Из геометрических соображений легко установить, что для уравнения 1-го порядка краевая задача не определяется, так как можем задать только одну точку и из семейства кривых выделить единственную кривую, проходящую через заданную точку. Для уравнения 2-го порядка краевая задача может быть определена так. Из множества интегральных кривых дифференциального уравнения необходимо выделить кривую, которая проходит через заданные точки: ,. Для уравнений 3-го и более высоких порядков возможны и другие граничные условия. Ниже приведены Примеры, иллюстрирующие возможные построения граничных условий.

••• ≡ •••

Пример 1–377: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае: , . Используя формулу (3), получаем: → .

1). Из характеристического уравнения имеем: = и ФСР: =,=.

2). Общее решение: =, где .

Ответ: общее решение уравнения: =, где .

Способ-2.

0). Применим подстановку: . Учитывая результаты применения Способа-1, сразу записываем уравнение: и вычисляем: =.

1). Учитывая (5), записываем ФСР: = и =.

2). Общее решение: =.

Ответ: общее решение уравнения: =.

Замечание: обратим внимание на особенности применения второго способа в связи с преобразованием (5) для случая комплексных корней !

Пример 2–379: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае: , . Используя формулу (3), получаем: → , правая часть: – многочлен 1-й степени.

1). Из характеристического уравнения имеем: =–2, =3. Составляем по общему правилу ФСР: =,=.

2). Общее решение: =.

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что для функции число не совпадает с характеристическими корнями ,, получаем =. Остается найти неопределенные коэффициенты .

4). Так как должно быть решением заданного уравнения, найдем производные: =, =0. Подставив , , в уравнение, получим тождество: , откуда находим: =–2, =. Значит: =.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+=, где , или =.

Ответ: общее решение: =.

Пример 3–381: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае: , . Используя формулу (3), получаем: → .

1). Из характеристического уравнения имеем: ==0, =3. Составляем по общему правилу ФСР: =1,= ,=.

2). Общее решение: =, где .

Замечание: из записей =1,= следует, что при использовании переменной учёт кратности характеристического корня отражается в виде: =, а при переходе к переменной – в виде: =.

Способ-2.

0). Применим подстановку: . Учитывая результаты применения Способа-1, сразу записываем уравнение: и ==0, =3.

1). Учитывая Замечание, записываем ФСР: =1 и ==, =.

2). Общее решение: =.

Ответ: общее решение уравнения: =.

Пример 4–383: Выделить решение уравнения: , удовлетворяющее краевым условиям: , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: =–1, =1.

2). Составляем ФСР: , и общее решение: =.

3). Используя краевые условия, запишем: =, =. Находим: ==. Следует частное решение: ==.

Замечание: Выражения для произвольных постоянных величин , а также частное решение, используют известную функцию – гиперболический синус.

Ответ: Частное решение: =.

Пример 5–385: Выделить решение уравнения: , удовлетворяющее краевым условиям: , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: .

2). ФСР: , . Общее решение: =. Вычислим производную: =.

3). Используя краевые условия, запишем: =, =. Находим: =. Следует частное решение: = – единственное решение.

Ответ: Частное решение: = – единственное решение.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое уравнение Эйлера?

2. Какие стандартные способы решения однородного уравнения Эйлера?

3. Какие стандартные способы решения неоднородного уравнения Эйлера?

4. Что значит «граничные условия» при решении ДУ?

5. Как ищут решение ДУ, удовлетворяющее заданным граничным (краевым) условиям?

Задачи для самоподготовки:

Пример C12–1: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Ответ: общее решение: =+.

Пример C12–2: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Ответ: общее решение уравнения: =.

Пример C12–3: Найти общее решение уравнения Эйлера: .

Ответ: общее решение уравнения: =.

Пример C12–4: Выделить решение ДУ: , удовлетворяющее краевым условиям: , .

Ответ: частное решение: =.

Пример C12–5: Выделить решение ДУ: , удовлетворяющее краевым условиям: , .

Ответ: частное решение для заданных граничных условий: не существует.

•• ☻☻ ••