Занятие 10. Линейные ду n-го порядка. Линейная зависимость решений линейного уравнения. Линейное однородное уравнение.

Ауд.

Л-2, Гл. 10

№ 207, 287, 301, 315, 317, 321, 323, 325, 333, 337.

10

☺ ☻ ☺

Общие сведения. При выполнении задания необходимо знать, что характеристические корни находят из характеристического уравнения. Характеристическое уравнение строят, формально заменяя в линейном однородном дифференциальном уравнении - го порядка с постоянными коэффициентами производную на степень :

, (1)

причем запись (1) можно реализовать в обоих направлениях: имея ДУ, построить характеристическое уравнение, и наоборот.

Если известны корни характеристического уравнения: , можно восстановить характеристическое уравнение (согласно известной теореме алгебры о разложении многочлена - степени в произведение линейных множителей):

, (2)

учитывая тождественность многочленов левой и правой частей (2).

Из школьной алгебры наиболее известен частный случай записи (2) для многочлена 2-й степени (теорема Вьета): , (3)

где и получены из тождественности левой и правой частей выражения (3).

Если значение коэффициента не задано, принимают = 1, что при выполнении заданий и следует применять.

Задача: Пусть заданы характеристические корни: некоторого дифференциального уравнения. Имея эти корни, записать ДУ, для которого числа являются характеристическими корнями.

Далее выполняем стандартные действия:

1). Запишем характеристический многочлен, используя формальную запись:

. (4)

2). В выражении (4) раскрываем все скобки, приводим подобные члены и записываем характеристический многочлен, начиная со старшего члена по убыванию.

В результате выполнения этого действия, получаем характеристический многочлен:

. (5)

Замечание: кому известны формулы Вьета для коэффициентов многочлена - степени, можно ими воспользоваться!

3). Имея выражение (5), строим ДУ, которому соответствует данный характеристический многочлен: . (6)

Замечание: запись (6) можно прочитывать как слева направо, так и справа налево, что важно при решении дифференциального уравнения!

4). Записываем ответ: – искомое дифференциальное уравнение.

Общие сведения. Наибольшие затруднения при решении дифференциального уравнения вызывает запись фундаментальной системы решений. Рассмотрим подробнее правила формирования ФСР по найденным характеристическим корням дифференциального уравнения:

1). Пусть характеристические корни , и дифференциального уравнения - действительные и различные. Для этих корней можно записать три частных решения ДУ , и , которые независимы. Из этих решений составляем ФСР (фундаментальную систему решений), которая далее может использоваться для записи общего решения.

2). Пусть характеристические корни , и действительные, причем: ==. Для этих корней можно записать три частных решения ДУ, и, которые независимы. Из этих решений составляем ФСР.

3). Пусть характеристические корни , и действительные, причем ===. Для этих корней можно записать три частных решения ДУ , и, которые независимы. Из этих решений составляем ФСР.

4). Пусть имеем характеристические корни: - действительный корень, - пара комплексно-сопряженных корней. Для корней , можно записать три частных решения ДУ, и , которые независимы. Из этих решений составляем ФСР.

••• ≡ •••

Пример 1–207: Имеем семейство прямых линий (не параллельны оси ): . Найти дифференциальное уравнение, для которого заданное семейство является решением.

Решение:

1). Продифференцируем заданное выражение: =, далее =0.

2). Уравнение =0: и есть искомое ДУ.

Ответ: уравнение: =0.

Пример 2–287: Исследовать на линейную зависимость систему функций: =, =, =.

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского:

=== 3.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 3–301: Имеем фундаментальную систему решений (ФСР): =, =, = линейного однородного уравнения. Составить это уравнение.

Решение:

1). Проверим, являются ли заданные функции независимыми, иначе, могут ли они быть ФСР. Составим определитель Вронского: ==/

2). На самом деле функции ФСР, соответствующие характеристическим корням ДУ будут: = 1 = – соответствует корень =0, == – отмечает кратный корень =0, = – соответствует корень =1.

3). Составим характеристический многочлен ДУ: ===0. По характеристическому многочлену «восстанавливаем» искомое уравнение: =0.

Ответ: уравнение: =0.

Пример 4–315: По данным корням: =3 и = –2 характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.

Решение:

1). Учтем стандартную запись уравнения 2-го порядка: .

2). В нашем случае получим: .

3). Составляем ФСР: , . Общее решение: =.

Ответ: дифференциальное уравнение: . ФСР: , . Общее решение уравнения: .

Пример 5–317: По данным корням: = характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.

Решение:

1). Учтем стандартную запись уравнения 2-го порядка: .

2). В нашем случае получим: .

3). Составляем ФСР: , и общее решение: .

Ответ: уравнение: . ФСР: , . Общее решение имеет вид: .

Пример 6–321: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Характеристическое уравнение: , его корни: , .

2). Составляем ФСР: =, = и общее решение: .

Ответ: ФСР: =, =. Общее решение: .

Пример 7–323: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: ==3.

2). Составляем ФСР: , и общее решение: .

Ответ: ФСР: , . Общее решение: .

Пример 8–325: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: =.

2). Составляем ФСР: , и общее решение: .

Ответ: ФСР: , . Общее решение: .

Пример 9–333: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Характеристическое уравнение: , его корни: =0, , .

2). ФСР уравнения: , , , , и общее решение: .

Ответ: ФСР: , , , , . Общее решение: .

Пример 10–337: Найти частное решение ДУ: , , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: =1, =4.

2). Составляем ФСР: , и общее решение: =. Найдем производную: .

3). Для заданных начальных условий: =, =. Находим: =1, =0. Следует частное решение: .

Ответ: Частное решение: .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Задано уравнение 2-го порядка. Как проверить, что функция есть решение уравнения?

2. Задано семейство кривых. Как найти уравнение, для которого семейство есть решение?

3. Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?

4. Что такое «определитель Вронского»?

5. Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?

6. Что такое «фундаментальная система решений – ФСР»?

7. Может ли понятие ФСР применяться к неоднородным уравнениям?

8. Как записывают общее решение линейного однородного дифференциального уравнения?

9. Каковы свойства общего решения ДУ?

10. Что значит решить задачу Коши для ДУ второго порядка?

11. Какова роль определителя Вронского при решении задачи Коши для ДУ n-го порядка?

Задачи для самоподготовки:

Пример C10–1: Показать, что данное выражение: является решением дифференциального уравнения: при любых значениях и .

Ответ: тождество подтверждает: заданное выражение есть решение уравнения: .

Пример C10–2: Имеем семейство окружностей постоянного радиуса: . Найти дифференциальное уравнение, для которого заданное семейство является решением.

Ответ: уравнение: .

Пример C10–3: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Ответ: система функций линейно независима.

Пример C10–4: Имеем фундаментальную систему решений (ФСР): , линейного однородного уравнения. Составить это уравнение.

Ответ: уравнение: .

Пример C10–5: Имеем фундаментальную систему решений (ФСР): , , линейного однородного уравнения. Составить это уравнение.

Ответ: уравнение: .

Пример C10–6: По данным корням: ==1 характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.

Ответ: уравнение: . ФСР: ,. Общее решение: .

Пример C10–7: Найти общее решение ДУ: .

Ответ: ФСР: , . Общее решение: .

Пример C10–8: Найти общее решение ДУ: .

Ответ: ФСР: , . Общее решение: .

Пример C10–9: Найти частное решение ДУ: , , .

Ответ: частное решение: .

•• ☻☻ ••