§ 5. Применение уравнений Клеро: задачи из геометрии.

Учитывая особые геометрические свойства решений уравнения Клеро, посмотрим, как они реализуются в геометрических задачах.

☺☺

Пример 6–08: Найти уравнение кривой, обладающей свойством: отрезок любой касательной к кривой в любой точке, заключенный между координатными осями, имеет постоянную длину .

Решение:

ВГлаве 1, в § 3 настоящего Пособия получены выражения: для координат =, = и для направленного отрезка =. Это значит, что =.

1). Согласно условию задачи, можем записать дифференциальное уравнение для искомой кривой:

=.

2). Левую часть уравнения преобразуем к виду: , после чего уравнение нетрудно записать в виде: .

2). Уравнение есть уравнение Клеро. Его общее решение записывается в виде:

.

3). Составим систему для определения огибающей линии для семейства кривых, заданного уравнением :

, или

4). Возводя в степень параметрические уравнения для переменных и , затем складывая полученные равенства, получим уравнение: +=.

Равенство , как известно, определяет астроиду (линия выделена красным).

Ответ: – общее решение; особое решение: += – астроида.

☻

§ 6. Применение уравнений Клеро: задачи из физики.

В Аналитической геометрии нередко применяются простые кинематические модели для построения кривых линий 2-го порядка. Особенно успешно применён отрезок длиной , который скользит своими концами по осям , : оказывается, любая точка этого отрезка описывает линию – эллипс.

В Примере, рассматриваемом ниже, этот же отрезок длиной также скользит своими концами по осям , , но с другой целью: он заметает часть плоскости .

☺☺

Пример 6–09: Пусть отрезок длиной скользит своими концами по осям , . Найти огибающую линию различных положений этого отрезка (семейства кривых).

Решение:

1). Положение отрезка, указанного в задаче, удобно определять при помощи перпендикуляра к скользящему отрезку. Обозначим угол, который образует этот перпендикуляр с осью , как угол.

2). Из прямоугольного треугольника, который образует отрезок с осями координат, нетрудно вычислить отрезки, выделяемые концами отрезка: на оси – отрезок, на оси– отрезок. В таком случае уравнение прямой, содержащей отрезок, то есть уравнение в отрезках, может быть записано в виде:

, или .

3). Учитывая участие в системе (9) производной по параметру, продифференцируем уравнение семейства по параметру. В результате получим выражение:

, или =.

Замечание: Семейство кривых таково, что любая из кривых семейства не имеет особых точек. В таком случае можем предполагать, что огибающей линия для исследуемого семейства кривых существует!..

4). Учитывая уравнения и, запишем систему уравнений, определяющую огибающую линию:

5). Второе равенство системы можно записать в виде:==(последнее записано, учитывая свойства дробей). Тогда легко получаем уравнения вида (2), указанные в общей теории:,. Эти уравнения определяютастроиду, заданную в параметрической форме. Это и есть огибающая исследуемого семейства кривых.

Ответ: огибающая линия: , , на рисунке выделена красным.

☻

Замечание:1). В Примере 6-08 показано применение дифференциальных уравнений, именно уравнений Клеро, для решения задач геометрии. В этом случае использовалось заданное дифференциальное свойство линии для нахождения самой линии. Огибающая линия семейства кривых была получена как результат применения общего алгоритма решения уравнения Клеро – побочный результат.

2). В Примере 6-09 нас заинтересовала огибающая как граница части плоскости, заметаемой отрезком.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое семейство кривых линий?

2. Можно ли рассматривать общее решение ДУ 1-го порядка как семейство кривых линий?

3. Что такое огибающая линия семейства кривых?

4. Как найти огибающую линию семейства кривых?

5. Что такое особая точка дифференциального уравнения?

6. Что такое особое решение дифференциального уравнения?

7. Какова стандартная запись уравнения Клеро?

8. Какова уравнение Клеро считают частным случаем уравнения Лагранжа?

9. Как найти особое решение уравнения Клеро?

• ◄ ≡ ► •