Занятие 16. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть: специальная и произвольная.
|
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 441, 443, 445. |
3 |
☺ ☻ ☺
Общие
сведения. Как и прежде, в предлагаемых
для самостоятельных упражнений заданиях
мы ограничиваемся системами, состоящими
из двух уравнений. Поэтому все общие
выражения, применяемые при решении
систем уравнений, относим только к
системам двух дифференциальных уравнений:
(1)
где
–
действительные числа (постоянные);
функции
,
– заданы;
,
– искомые, дифференцируемые функции.
Замечание:
многочлены
,
,
в общем случае имеют разные степени, в
частном случае это могут быть некоторые
числа.
Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:
=
+
=
·
+
·
+
, (2)
где обозначено:
–
общее решение заданной системы (1) ,
–
общее решение соответствующей однородной
системы,
–
частное решение заданной системы
уравнений (1).
Так как задача
поиска решения
подробно рассмотрена в разделе 3.2.
Остаётся рассмотреть задачу нахождения
решения
для случая, когда правая часть содержит
функции
,
специального вида. Функция
называется специальной, если она
составлена из сумм и произведений
элементарных
функций:
▫
–
многочлен степени
с коэффициентами в виде действительных
чисел.
▫
–
показательная
функция с основанием
,
–
действительное число.
▫
,
– функция с параметром
–
действительное число.
Если функция
=
·
+
·
,
то необходимо учитывать некоторые
особенности,
возникающие при нахождении частного
решения
:
1). Многочлены
и
в общем случае имеют разные степени, но
нас всегда будет интересовать
.
В частном случае возможно:
=1,
или
=0;
так же
=1,
или
=0.
2). При значении
=0
участие множителя
в записи
явно не просматривается.
3). При значении
=0
участие множителей
,
явно не просматривается.
В любом случае для
нас важно определить по записи
число
=
–
образующее число
функции
.
В частных случаях возможно:
=
и
=
.
Поиск частного
решения
проводится по тем же правилам, что и в
случае одного уравнения
-
го порядка, но с некоторыми изменениями.
Так, если функция
=
·
+
·
,
то частное решение следует искать в
виде: 
=
·
, (3)
где
,
,
,
– многочлены степени
=
;
число
– отражает кратность совпадения числа
и характеристического корня
системы; перечисленные многочлены
содержат неопределённые коэффициенты,
которые находят из тождеств, образующихся
после подстановки выражения:
в систему (1).
Завершается решение системы уравнений составлением её общего решения в соответствии с выражением (2).
Если функции
,
определяют несколько образующих чисел:
=
,
=
,..,
то в этом случае из совокупности функций
,
выделяют функции
,
,..,
соответствующие числам
,
..,
и для каждой из них находят частные
решения. В соответствии с теоремой
аддитивности частных решений записывают:
=
+
+… (4)
Приводимые ниже примеры иллюстрируют особенности решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
••• ≡ •••
Пример
1–441:
Решить
систему нелинейных уравнений:
(1)
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функции
):
=
= 0, откуда получаем:
=–3;
=2.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(2)
где
=
∙e–3t=
∙
,
=
∙e2t=
∙
, (3)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(4)
Для корня
=–3
система (4) имеет решение
=
;
для
=2:
=
.
Замечание: решение системы (4) проводится по известным правилам из курса «Линейная алгебра».
3). С учетом полученных
векторов
,
запишем общее решение однородной системы
дифференциальных уравнений: 
=
∙
∙
+
∙
∙
,
(5)
4). Так как функция:
– многочлен 1-й степени и образующее
число
не совпадает с характеристическими
корнями:
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде: 
=
,
ее производные:
=
. (6)
Подставляя (5) в
систему (1), получаем тождества:
(7)
Приравнивая
коэффициенты при степенях
и
,
получаем систему алгебраических
уравнений:
1) при
:
2) при
:
→
=–
,
=–
,
=–
,
=–
. (7)
5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
(8)
Ответ:
общее решение системы:
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
Пример
2–443:
Решить
систему нелинейных уравнений:
Решение:
При решении данного Примера воспользуемся теоремой о «суперпозиции» применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, т.е. позволяющие получить общее решение исходной системы:
1a:
→
число:
,
1b:
→
число:
.
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функций
,
):
=
= 0, откуда получаем:
=
=2
– корень кратности
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
,
и производные:
(2)
2). Подставляем (2) однородную систему для заданной системы и получаем тождества:
(3)
3). Приравнивая в
(3) коэффициенты при степенях:
и
,
получаем систему алгебраических
уравнений:
откуда
=
,
=
,
=
=
. (4)
Замечание: решение системы (4) проводится по известным правилам из курса «Линейная алгебра».
4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:
(5)
5). Частное решение
заданной системы уравнений, учитывая
системы (1a) и (1b),
запишем в виде: 
, (6)
6). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1a), учитывая совпадение
числа
с кратным характеристическим корнем:
, (7)
7). Подставим в (1a) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:
из которой найдем
неопределенные коэффициенты, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
:
при
: 
при
:
(8)
при
: 
при
:
откуда получаем:
=
=
=
,
,
.
Учитывая выражение (7), получим частное
решение для системы (1a):
. (9)
8). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1b), учитывая, что число
не совпадает с характеристическим
корнем:
, (10)
9). Подставим в (1 b) выражение (10) и его производную: получим систему тождеств:
откуда: a=–3,
b=–2. (11)
10). Учитывая выражение (10), получим частное решение для системы (1b):
. (12)
11). Учитывая (9) и (12), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:
, (13)
12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
.
(14)
Замечание:
выражение (14) получено с «поглощением»
числа
константой
.
Ответ:
Общее решение:
=
∙
.
Пример
3–445:
Решить
систему линейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функций
,
):
=
= 0, откуда находим:
=–i;
=i.
2). В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
=
+
,
(1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2)
3). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3)
4). Для
=–i
система (3) имеет решение:
.
Тогда можно записать:
. (4)
5). Для
=i
система (3) имеет решение:
.
Аналогично получаем:
. (5)
то есть решения
и
– комплексно-сопряженные.
6). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем:
=
,
=
(6)
7). С учетом выражений
(6) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7)
8). Для нахождения
искомых функций x(t),
y(t)
применяют метод «вариации произвольных
постоянных. Для этого считают
,
функциями переменной
,
которые находят из системы уравнений: 
или
(8)
9). Так как определитель системы (3) не равен нулю, система имеет решение:
или после
интегрирования:
(9)
где
,
– произвольные постоянные интегрирования.
Подставляя (9) в (7), получим общее решение
неоднородной системы уравнений:
=
=
. (10)
Ответ:
Общее решение:
=
.
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Как по записи системы уравнений 1-го порядка определить, что она нелинейная?
-
Почему линейная система неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами удовлетворяет требованиям теоремы «о существовании и единственности решений»?
-
Как записывают характеристический многочлен для системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как записывают общее решение системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как находят частное решение системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, если правая часть уравнений содержит специальные функции от независимой переменной?
-
Как находят частное решение системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, если правая часть уравнений содержит произвольные функции от независимой переменной?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C16–1: Решить
систему нелинейных уравнений:
Ответ:
общее решение:
=
∙
.
Пример
C16–2: Решить
систему нелинейных уравнений:
Ответ:
общее решение:
=
∙
.
•• ☻☻ ••