- •77 Ду. Занятия 9-13
- •Часть 2. Дифференциальные уравнения (ду) n-го порядка.
- •Занятие 9. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Занятие 10. Линейные ду n-го порядка. Линейная зависимость решений линейного уравнения. Линейное однородное уравнение.
- •Занятие 11. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение методами: «вариации произвольных постоянных» и «неопределенных множителей».
- •Занятие 12. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера.
- •2). В записи уравнения 3-го порядка использование коэффициента позволяет получать результаты для уравнения 2-го порядка при значении .
- •Занятие 13. Уравнения n-го порядка. Контрольная работа №2. Прием части - 2 бдз. Выдача части - 3 бдз.
- •Часть 3. Системы линейных дифференциальных уравнений.
- •Занятие 15. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами: общее и частное решения.
- •Занятие 16. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть: специальная и произвольная.
- •Занятие 17. Повторение и систематизация материала. Подготовка к экзамену.
Занятие 10. Линейные ду n-го порядка. Линейная зависимость решений линейного уравнения. Линейное однородное уравнение.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 207, 287, 301, 315, 317, 321, 323, 325, 333, 337. |
10 |
☺ ☻ ☺
Общие сведения. При выполнении задания необходимо знать, что характеристические корни находят из характеристического уравнения. Характеристическое уравнение строят, формально заменяя в линейном однородном дифференциальном уравнении - го порядка с постоянными коэффициентами производную на степень :
, (1)
причем запись (1) можно реализовать в обоих направлениях: имея ДУ, построить характеристическое уравнение, и наоборот.
Если известны корни характеристического уравнения: , можно восстановить характеристическое уравнение (согласно известной теореме алгебры о разложении многочлена - степени в произведение линейных множителей):
, (2)
учитывая тождественность многочленов левой и правой частей (2).
Из школьной алгебры наиболее известен частный случай записи (2) для многочлена 2-й степени (теорема Вьета): , (3)
где и получены из тождественности левой и правой частей выражения (3).
Если значение коэффициента не задано, принимают = 1, что при выполнении заданий и следует применять.
Задача: Пусть заданы характеристические корни: некоторого дифференциального уравнения. Имея эти корни, записать ДУ, для которого числа являются характеристическими корнями.
Далее выполняем стандартные действия:
1). Запишем характеристический многочлен, используя формальную запись:
. (4)
2). В выражении (4) раскрываем все скобки, приводим подобные члены и записываем характеристический многочлен, начиная со старшего члена по убыванию.
В результате выполнения этого действия, получаем характеристический многочлен:
. (5)
Замечание: кому известны формулы Вьета для коэффициентов многочлена - степени, можно ими воспользоваться!
3). Имея выражение (5), строим ДУ, которому соответствует данный характеристический многочлен: . (6)
Замечание: запись (6) можно прочитывать как слева направо, так и справа налево, что важно при решении дифференциального уравнения!
4). Записываем ответ: – искомое дифференциальное уравнение.
Общие сведения. Наибольшие затруднения при решении дифференциального уравнения вызывает запись фундаментальной системы решений. Рассмотрим подробнее правила формирования ФСР по найденным характеристическим корням дифференциального уравнения:
1). Пусть характеристические корни , и дифференциального уравнения - действительные и различные. Для этих корней можно записать три частных решения ДУ , и , которые независимы. Из этих решений составляем ФСР (фундаментальную систему решений), которая далее может использоваться для записи общего решения.
2). Пусть характеристические корни , и действительные, причем: ==. Для этих корней можно записать три частных решения ДУ, и, которые независимы. Из этих решений составляем ФСР.
3). Пусть характеристические корни , и действительные, причем ===. Для этих корней можно записать три частных решения ДУ , и, которые независимы. Из этих решений составляем ФСР.
4). Пусть имеем характеристические корни: - действительный корень, - пара комплексно-сопряженных корней. Для корней , можно записать три частных решения ДУ, и , которые независимы. Из этих решений составляем ФСР.
••• ≡ •••
Пример 1–207: Имеем семейство прямых линий (не параллельны оси ): . Найти дифференциальное уравнение, для которого заданное семейство является решением.
Решение:
1). Продифференцируем заданное выражение: =, далее =0.
2). Уравнение =0: и есть искомое ДУ.
Ответ: уравнение: =0.
Пример 2–287: Исследовать на линейную зависимость систему функций: =, =, =.
Решение:
1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского:
=== 3.
2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.
Ответ: система функций линейно независима.
Пример 3–301: Имеем фундаментальную систему решений (ФСР): =, =, = линейного однородного уравнения. Составить это уравнение.
Решение:
1). Проверим, являются ли заданные функции независимыми, иначе, могут ли они быть ФСР. Составим определитель Вронского: ==/
2). На самом деле функции ФСР, соответствующие характеристическим корням ДУ будут: = 1 = – соответствует корень =0, == – отмечает кратный корень =0, = – соответствует корень =1.
3). Составим характеристический многочлен ДУ: ===0. По характеристическому многочлену «восстанавливаем» искомое уравнение: =0.
Ответ: уравнение: =0.
Пример 4–315: По данным корням: =3 и = –2 характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.
Решение:
1). Учтем стандартную запись уравнения 2-го порядка: .
2). В нашем случае получим: .
3). Составляем ФСР: , . Общее решение: =.
Ответ: дифференциальное уравнение: . ФСР: , . Общее решение уравнения: .
Пример 5–317: По данным корням: = характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.
Решение:
1). Учтем стандартную запись уравнения 2-го порядка: .
2). В нашем случае получим: .
3). Составляем ФСР: , и общее решение: .
Ответ: уравнение: . ФСР: , . Общее решение имеет вид: .
Пример 6–321: Найти общее решение ДУ: .
Решение:
1). Характеристическое уравнение: , его корни: , .
2). Составляем ФСР: =, = и общее решение: .
Ответ: ФСР: =, =. Общее решение: .
Пример 7–323: Найти общее решение ДУ: .
Решение:
1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: ==3.
2). Составляем ФСР: , и общее решение: .
Ответ: ФСР: , . Общее решение: .
Пример 8–325: Найти общее решение ДУ: .
Решение:
1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: =.
2). Составляем ФСР: , и общее решение: .
Ответ: ФСР: , . Общее решение: .
Пример 9–333: Найти общее решение ДУ: .
Решение:
1). Характеристическое уравнение: , его корни: =0, , .
2). ФСР уравнения: , , , , и общее решение: .
Ответ: ФСР: , , , , . Общее решение: .
Пример 10–337: Найти частное решение ДУ: , , .
Решение:
1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: =1, =4.
2). Составляем ФСР: , и общее решение: =. Найдем производную: .
3). Для заданных начальных условий: =, =. Находим: =1, =0. Следует частное решение: .
Ответ: Частное решение: .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Задано уравнение 2-го порядка. Как проверить, что функция есть решение уравнения?
-
Задано семейство кривых. Как найти уравнение, для которого семейство есть решение?
-
Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?
-
Что такое «определитель Вронского»?
-
Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?
-
Что такое «фундаментальная система решений – ФСР»?
-
Может ли понятие ФСР применяться к неоднородным уравнениям?
-
Как записывают общее решение линейного однородного дифференциального уравнения?
-
Каковы свойства общего решения ДУ?
-
Что значит решить задачу Коши для ДУ второго порядка?
-
Какова роль определителя Вронского при решении задачи Коши для ДУ n-го порядка?
Задачи для самоподготовки:
Пример C10–1: Показать, что данное выражение: является решением дифференциального уравнения: при любых значениях и .
Ответ: тождество подтверждает: заданное выражение есть решение уравнения: .
Пример C10–2: Имеем семейство окружностей постоянного радиуса: . Найти дифференциальное уравнение, для которого заданное семейство является решением.
Ответ: уравнение: .
Пример C10–3: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .
Ответ: система функций линейно независима.
Пример C10–4: Имеем фундаментальную систему решений (ФСР): , линейного однородного уравнения. Составить это уравнение.
Ответ: уравнение: .
Пример C10–5: Имеем фундаментальную систему решений (ФСР): , , линейного однородного уравнения. Составить это уравнение.
Ответ: уравнение: .
Пример C10–6: По данным корням: ==1 характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.
Ответ: уравнение: . ФСР: ,. Общее решение: .
Пример C10–7: Найти общее решение ДУ: .
Ответ: ФСР: , . Общее решение: .
Пример C10–8: Найти общее решение ДУ: .
Ответ: ФСР: , . Общее решение: .
Пример C10–9: Найти частное решение ДУ: , , .
Ответ: частное решение: .
•• ☻☻ ••