Занятие 11. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение методами: «вариации произвольных постоянных» и «неопределенных множителей».
|
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 342, 346, 348, 352, 354, 356, 360, 362, 366, 370. |
10 |
☺ ☻ ☺
Пример
1–342:
Решить
дифференциальное уравнение:
методом вариации произвольных постоянных
величин.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
уравнение
→ корни
=–1,
=–2.
Построим ФСР:
,
.
2). Составим общее
решение однородного уравнения:
.
3). Составим систему
уравнений:
или:
Её решение:
=
,
=–
.
Интегрирование выражений для функций
и
достаточно просто, получаем:
,
.
4). Подставляя
найденные функции
и
в запись
,
получим общее решение неоднородного
дифференциального уравнения:
.
Так как слагаемое
можно включить в слагаемое
(свойство произвольной постоянной
величины), окончательно запишем:
.
Ответ: общее
решение:
.
Пример
2–346:
Написать
форму частного решения для уравнения:
.
Запись общего решения не требуется.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
уравнение
→ корни уравнения:
=
=4
– кратный корень.
2). Правая часть –
специальная → число
→ можно сразу записать частное решение
=
;
обнаруживаем совпадение числа
с
– кратности
2 → корректируем запись частного
решения:
=
.
Ответ:
=
.
Пример
3–348:
Написать
форму частного решения для уравнения:
.
Запись общего решения не требуется.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
уравнение
→ корни
=0,
=4.
2). Правая часть
просто преобразуется к виду:
=
+
– сумма функций специальных →
воспользуемся свойством «аддитивности»
решений:
а). Функции
=1
соответствует число
.
Общая запись частного решение уравнения:
.
Так как
совпадает с
,
корректируем запись:
.
б). Функции
=
соответствует число
.
Общая запись частного решение уравнения:
=
.
Так как
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то коррекции
записи
не требуется.
3). Частное решение
для исходного уравнения:
=
+
.
Ответ:
=
.
Пример
4–352:
Для
дифференциального уравнения
записать форму частного решения. Запись
общего решения не требуется.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
→ его корни
=
.
Построим ФСР:
=
,
=
.
2). Правая часть –
специальная → число
→ можно сразу записать, учитывая участие
многочлена первой (наибольшей!) степени:
=
.
Так как число
не совпадает с
,
коррекции записи
не требуется.
Ответ:
=
.
Пример 5–354: Решить линейное неоднородное уравнение: y′′–y=e–x.
Решение:
0). Правая часть –
специальная. Ей соответствует число
.
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
уравнение
→
корни
=–1,
=1.
Построим ФСР:
=
,
=
.
2). Составим общее
решение однородного уравнения:
.
3). Составим выражение
для частного решения: учитываем, что
число
совпадает с корнем
=–1;
тогда
=
.
Остается найти неопределенный коэффициент
.
4). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производные:
′=
,
′′=
.
Подставляя функцию
и её производные в уравнение, получаем
тождество:
и легко находим:
=–
,
и частное решение
=
.
5). Составим общее
решение неоднородного уравнения:
=
+
.
Ответ: общее
решение:
=
.
Пример
6–356:
Решить
линейное неоднородное уравнение:
.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
→ корни
=1,
=–4.
Построим ФСР:
=
,
=
.
Общее решение однородного уравнения:
=
.
2). Правая часть
просто преобразуется к виду:
=
+
=
+
– сумма функций специальных →
воспользуемся свойством «аддитивности»
решений:
а). Функции
=
соответствует число
.
Общая запись частного решение уравнения:
=
.
Так как
совпадает с
,
корректируем запись:
=
.
б). Функции
=
соответствует число
.
Общая запись частного решение уравнения:
=
.
Так как
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то коррекции
записи
не требуется.
3). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производные:
=
=
,
=
.
Подставляя функцию
и её производные в уравнение, получаем
тождество:
,
откуда находим:
=–
,
и частное решение
=
.
4). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производные:
=
,
=
.
Подставляя функцию
и её производные в уравнение, получаем
тождество:
,
откуда находим:
=
,
=
,
и частное решение
=
.
5). Частное решение
для исходного уравнения:
=
+
,
общее решение:
=
+
.
Ответ: общее
решение:
=
+
.
Пример
7–360:
Решить
линейное неоднородное уравнение:
.
Решение:
0). Правая часть –
специальная. Ей соответствует число
.
1). Найдем
характеристические корни уравнения:
уравнение
→
корни
=
.
Построим ФСР:
=
,
=
.
2). Составим общее
решение однородного уравнения:
.
3). Составим выражение
для частного решения. Учитывая, что
число
совпадает с характеристическими корнями
,
получаем
=
.
Остается найти неопределенные коэффициенты
.
4). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производные:
=
,
=
.
Подставляя функцию
и её производные в уравнение, получаем
тождество:
+
+
=
,
откуда находим
значения:
и записываем
=
.
5). Составим общее
решение неоднородного уравнения:
=
+
.
Ответ: общее
решение:
=
+
.
Пример
8–362:
Решить
линейное неоднородное уравнение:
.
Решение:
0). Правая часть –
специальная. Поставим ей в соответствие
число
.
1). Найдем
характеристические корни: уравнение
→ корни
=–
,
=
.
Построим ФСР:
=
,
=
.
2). Составим общее
решение однородного уравнения:
.
3). Составим выражение
для частного решения. Учитывая, что
число
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
получаем
=
.
Остается найти неопределенные коэффициенты
.
4). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производную:
=
.
Подставив
и
в уравнение, получим тождество:
–
=
,
откуда находим
значения:
и записываем
=
.
5). Составим общее
решение неоднородного уравнения:
=
+
.
Ответ: общее
решение:
=
.
Пример
9–366:
Решить
линейное неоднородное уравнение:
.
Решение:
0). Правая часть –
специальная. Поставим ей в соответствие
число
.
1). Найдем
характеристические корни: уравнение
→ корни
=1–
кратность корня 3. Построим ФСР:
=
,
=
=
.
2). Составим общее
решение однородного уравнения:
.
3). Составим выражение
для частного решения. Учитывая, что
число
совпадает с характеристическими
корнями
,
и
,
получаем
=
.
Остается найти неопределенный коэффициент
.
4). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производную:
=
,
=
,
=
.
Подставив
,
,
и
в уравнение, получим тождество:
–3
+3
=
,
откуда находим
значения:
и записываем
=
.
5). Составим общее
решение неоднородного уравнения:
=
+
.
Ответ: общее
решение:
=
+
.
Пример
10–370:
Решить
линейное неоднородное уравнение:
,
,
.
Решение:
0). Правая часть –
специальная. Поставим ей в соответствие
число
.
1). Найдем
характеристические корни: уравнение
→ корни
=0,
=2.
Построим ФСР:
=1,
=
.
2). Составим общее
решение однородного уравнения:
.
3). Составим выражение
для частного решения. Учитывая, что
число
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
получаем
=
.
Остается найти
неопределенный коэффициент
.
4). Так как
должно быть решением заданного
неоднородного уравнения, найдем
производную:
=
,
=
.
Подставив
,
и
в уравнение, получим
=–2
и
=
.
5). Составим общее
решение неоднородного уравнения:
=
+
=
.
6). Решаем задачу
Коши. Вычислим
=
и запишем систему уравнений, соответствующую
заданным начальным условиям:
откуда имеем:
=
и
=
.
Ответ: частное
решение:
=
.
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Чем отличается неоднородное линейное уравнение от уравнения однородного?
-
Как получают общее решение неоднородного линейного уравнения?
-
Что такое частное решение неоднородного уравнения?
-
Что такое «метод вариации произвольных постоянных»?
-
Как записывают
,
если
=
,
=
,
=
? -
Как записывают
,
если
=
?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C11–1: Решить
дифференциальное уравнение:
методом вариации произвольных постоянных
величин.
Ответ:
общее решение:
=
.
Пример
C11–2: Написать
форму частного решения для уравнения:
.
Запись общего решения не требуется.
Ответ:
=
.
Пример
C11–3: Написать
форму частного решения для уравнения:
.
Запись общего решения не требуется.
Ответ:
=
.
Пример
C11–4: Решить
линейное неоднородное уравнение:
.
Ответ:
общее решение:
=
+
.
Пример
C11–5:
Решить линейное неоднородное
уравнение:
.
Ответ:
общее решение:
=
+
+
.
Пример
C11–6:
Решить линейное неоднородное
уравнение:
,
y(0)=0,
y′(0)=2,
y′′(0)=2.
Ответ:
частное решение:
=
+
.
Пример
C11–7:
Решить линейное неоднородное
уравнение:
,
y(0)=–1,
y′(0)=0,
y′′(0)=1,
y′′′(0)=0.
Ответ:
частное решение:
=
+
.
•• ☻☻ ••